含參量積分的分析性質(zhì)及其應(yīng)用.doc

含參量積分的分析性質(zhì)及其應(yīng)用班級：11數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)一班 成績： 日期： 2012年11月5日 含參量積分的分析性質(zhì)及其應(yīng)用1. 含參量正常積分的分析性質(zhì)及應(yīng)用1.1含參量正常積分的連續(xù)性定理1 若二元函數(shù)在矩形區(qū)域上連續(xù),則函數(shù)=在a,b上連續(xù).例1 設(shè)（這個函數(shù)在x=y時不連續(xù)）,試證由含量積分所確定的函數(shù)在 上連續(xù).解 因為,所以當(dāng)y0,則sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1.-1,xy則 1, y1時, f(x,y)=-1,則,即F(x)= 1-2y,0y1又因F(y)在y=0與y=1處均連續(xù),因而F(y)在上連續(xù).例2 求下列極限：（1）; (2).解 （1）因為二元函數(shù)在矩形域R=-1,1-1.1上連續(xù),則由連續(xù)性定理得在-1,1上連續(xù).則. （2）因為二元函數(shù)在矩形域 上連續(xù),由連續(xù)性定理得,函數(shù)在上連續(xù).則例3 研究函數(shù)的連續(xù)性,其中f（x）在閉區(qū)間0,1上是正的連續(xù)函數(shù).解 對任意,取,使,于是被積函數(shù)在上連續(xù),根據(jù)含參量正常積分的連續(xù)性定理,則F（y）在區(qū)間上連續(xù),由的任意性知,F（y）在上連續(xù).又因,則F（y）在上連續(xù).當(dāng)y=0處.由于為0,1上的正值連續(xù)函數(shù),則存在最小值m0.,從而,但F(y)在y=0處不連續(xù),所以F（y）在上連續(xù),在y=0處不連續(xù).定理2 設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在區(qū)域G=(x,y)|上連續(xù),其中c(x),d(x)為a,b上的連續(xù)函數(shù),則函數(shù) F(x,y)= 在a,b上連續(xù). 例4 求.解 記.由于都是和x的連續(xù)函數(shù),由定理2知在處連續(xù),所以.例5 證明函數(shù)在上連續(xù).證明 對,令x-y=t,可推得.對于含多量正常積分,由連續(xù)性定理可得在上連續(xù),則在上連續(xù).1.2含參量正常積分的可微性定理3 若函數(shù)與其偏導(dǎo)數(shù)都在矩形區(qū)域R=a,b*c,d上連續(xù),則=在a,b上可微,且.定理4 設(shè),在R=a,b*p,q上連續(xù),c,d為定義在a,b上其值含于p,q內(nèi)的可微函數(shù),則函數(shù)F=在a,b上可微,且定理5 若函數(shù)及都在a,b;c,d上連續(xù),同時在c,d上及皆存在,并且aa(y)b,ab(y)b (cyd),則.證明 考慮函數(shù)F(y)在c,d上任何一點處得導(dǎo)數(shù),由于.現(xiàn)在分別考慮在點處得導(dǎo)數(shù).由定理5可得.由于,所以.應(yīng)用積分中值定理.這里在和之間.再注意到的連續(xù)性及b(y)的可微性,于是得到.同樣可以證明于是定理得證.例6 設(shè)求.解 應(yīng)用定理5有 .例7 設(shè)在的某個鄰域U上連續(xù),驗證當(dāng)時,函數(shù) （1）的n階導(dǎo)數(shù)存在,且解 由于（1）中被積函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在U上連續(xù),于是由定理4可得 同理 如此繼續(xù)下去,求得k階導(dǎo)數(shù)為特別當(dāng)時有于是例8 計算積分.解 考慮含參量積分顯然且函數(shù)在R=0,10,1上滿足定理3的條件,于是.因為所以 因此 .另一方面所以 1.3含參量正常積分的可積性定理6 若f在矩形區(qū)域R=上連續(xù),則和分別在和上可積.其中=dy,x,=dy.這就是說：在f連續(xù)性假設(shè)下,同時存在求積順序不同的積分：與,簡便記為與,前者表示f先對y求積然后對x求積,后者則表示先對x求積再對y求積.它們統(tǒng)稱為累次積分或更確切地稱為二次積分.由可積性的定理進(jìn)一步指出,在f連續(xù)性假設(shè)下,累次積分與求積順序無關(guān),即若f在矩形區(qū)域R=上連續(xù),則=.定理7 若f在矩形區(qū)域R=上連續(xù),g在上可積,則作為的函數(shù)在上連續(xù),且=.注意 推論中閉區(qū)間可以換成開區(qū)間或無窮區(qū)間,因為可積性定理是由連續(xù)性推得的,連續(xù)性是局部性質(zhì).例9 求I= （ba0）.解 由得I=,因為在矩形區(qū)域上連續(xù),由定理可得I=ln.例10 試求累次積分與,并指出它們?yōu)槭裁磁c定理的結(jié)果不符.解：=.=,由=,同理可得=,所以=.即,這與定理不符.因為= 不存在,所以在點處極限不存在,即在矩形區(qū)域上不連續(xù),不滿足定理的條件.例11 應(yīng)用積分號下的積分法求積分, .解 令,.因為所以在上連續(xù).所以=.令= , , 0 , .則在矩形區(qū)域上連續(xù),由定理可知=.2. 含參量反常積分的分析性質(zhì)及應(yīng)用2.1含參量反常積分的連續(xù)性定理8 設(shè)在）上連續(xù),若含參量反常積分=在I上一致連續(xù),則（x）在I上連續(xù).推論 在）上連續(xù),若在I上內(nèi)閉一致收斂,則（x）在I上連續(xù).這個定理也表明,在一致收斂的條件下,極限運算與積分運算可以交換：例12 證明在a,b（a0）上一致收斂;在0,b上不一致收斂.證明 x,y,有,而收斂（a0）,由M判別法,知反常積分在a,b（a0）上一致收斂.因（x）= 0,， 1,0.在x=0處不連續(xù),而在0 x b,0y + 內(nèi)連續(xù),由連續(xù)性定理知在0 x b上不一致連續(xù). 例13 回答對極限能否施行極限與積分運算順序的變換來求解？ 解 .而運算順序不能交換,是因為在0,b（b0）上不一致收斂,故不滿足含參量反常積分連續(xù)性條件.定理9 如果函數(shù)在a,+）上連續(xù),而且積分在上一致收斂,那么由（x）=所確定的函數(shù)在上連續(xù).證明 由于在上一致連續(xù),故對任意0,存在a,使得不等式0,存在0,當(dāng)u且 時, -.于是當(dāng)且-時, -=- - + +=.這就證明了在處是連續(xù)的.由于是中的任意點,所以在上連續(xù).這個定理也可以寫成：即在積分一致收斂的條件下,極限號與積分號可以交換.例14 討論函數(shù)的連續(xù)性區(qū)間.解 先看函數(shù)的定義域是什么,即上述積分在什么范圍內(nèi)收斂.在x=0附近,.所以當(dāng)-2時收斂.由此得知的定義域是（-2,2）.我們只需證明在任意a,b（-2,2）上連續(xù).根據(jù)定理9只要證明上面的積分在a,b上一致收斂.當(dāng)x時,設(shè)ab2,這時存在常數(shù)c使得而b-11,故由比較判別法,積分在（+,b一致收斂.當(dāng)x1,+）時,設(shè)-21,故有比較判別法,積分在a,+）上一致收斂,把積分合在一起,即知在a,b（-2,2）上一致收斂,故在（-2,2）上連續(xù).注意 與級數(shù)的情形一樣,積分的一致收斂只是保證連續(xù)的一個充分不必要條件.但在非負(fù)的條件下,積分的一致收斂便是連續(xù)的必要條件.2.2含參量反常積分的可微性定理10 設(shè)與在區(qū)域上連續(xù).若在上收斂,在上一致收斂,則在上可微,且.例15 求積分.解 記J(y)= ,有參量反常積分可微性定理推得= =,而,所以= =,.例16 對能否運用積分與求導(dǎo)運算順序變換求解.邏輯推理 驗證函數(shù)是否滿足可微性定理條件,若不滿足條件,則不能變換順序. 1,解 由于= 0,.因而在上不一致收斂,故不能運用含參量反常積分可微性定理.實際上,因=,則而在=0處為零.故積分與求導(dǎo)運算不能交換順序. 定理11（積分號下求導(dǎo)定理） 設(shè)與在上連續(xù).若在上收斂,而在上內(nèi)閉一致收斂,則在上可微,且.證明 設(shè)為一遞增且趨于的數(shù)列,記,n=1,2,且有=.由正常積分的連續(xù)性定理得 （n=1,2,）在上可微,且,n=1,2,由已知條件在上一致收斂,又因若含參變量反常積分關(guān)于一致收斂,則函數(shù)項級數(shù)關(guān)于一致收斂.從而函數(shù)項級數(shù)也在上一致收斂,根據(jù)函數(shù)項級數(shù)的逐項求導(dǎo)定理,即得在上可微,且.上述定理的結(jié)果也可記成.定理12 如果函數(shù)f和都在上連續(xù),積分在上一致收斂,那么在上可微,而且.證明 對于任意正整數(shù),令.又因為若函數(shù)f及其偏導(dǎo)數(shù)都在閉矩形上連續(xù),那么函數(shù)在上可微,而且.所以在上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù).由于在上一致收斂,所以函數(shù)列在上一致收斂,且因在上收斂于,故在上連續(xù)可微,且成立.例17 利用對參數(shù)的微分法,計算微分0,b0.解 把a看作參數(shù),記上面的積分為那么.為了說明微分運算和積分運算的交換是允許的,我們把a限制在區(qū)間中,這里是任意一個正數(shù).于是由于收斂,故由Weierstrass判別法知道,積分對中一致收斂,故由上述定理可知上面的運算成立.由于0是任意的,故在中成立.計算得,所以由于故最后得2.3含參量反常積分的可積性定理13設(shè)在a,bc, 上連續(xù),若在a,b上一致收斂,則在a,b上可積,且=.定理14 設(shè)在a,bc, 上連續(xù),若（1）關(guān)于y在c, 上內(nèi)閉一致收斂,關(guān)于x在a,上內(nèi)閉一致收斂；（