2018版高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.1.2棱柱棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征學(xué)案含解析新人教B版.docx

1.1.2棱柱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征1.了解多面體的定義及其分類.(重點(diǎn))2.理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義和結(jié)構(gòu)特征.(重點(diǎn))3.在棱柱、棱錐、棱臺(tái)中構(gòu)造恰當(dāng)?shù)奶卣鲌D形，研究其中的線段數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理1多面體的有關(guān)概念閱讀教材P6內(nèi)容，完成下列問題.1.定義由若干個(gè)平面多邊形所圍成的幾何體叫做多面體.2.相關(guān)概念圖11173.凸多面體把一個(gè)多面體的任意一個(gè)面延展為平面，如果其余的各面都在這個(gè)平面的同一側(cè)，則這樣的多面體就叫做凸多面體.如圖1118，觀察下列多面體，有什么共同特點(diǎn)？圖1118【解】(1)有兩個(gè)面相互平行；(2)其余各面都是平行四邊形；(3)每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都相互平行.教材整理2棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征閱讀教材P7“棱柱的結(jié)構(gòu)特征”至P10“練習(xí)”以上，完成下列問題.1.棱柱的結(jié)構(gòu)特征名稱結(jié)構(gòu)特征圖形及表示法分類棱柱有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.棱柱中，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面，簡(jiǎn)稱底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰的側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)用表示底面各頂點(diǎn)的字母表示棱柱，如上、下底面分別是四邊形ABCD、四邊形ABCD的四棱柱，可記為棱柱ABCDABCD依據(jù)底面多邊形的邊數(shù).例如：三棱柱(底面是三角形)，四棱柱(底面是四邊形)2.棱錐的結(jié)構(gòu)特征名稱結(jié)構(gòu)特征圖形及表示法分類棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱用頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母表示，如上圖中棱錐可表示為棱錐SABCD依據(jù)底面多邊形的邊數(shù).例如：三棱錐(底面是三角形)，四棱錐(底面是四邊形)3.棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征名稱結(jié)構(gòu)特征圖形及表示法分類棱臺(tái)用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺(tái).原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上底面.用上下底面的頂點(diǎn)表示棱臺(tái).如：上、下底面分別是四邊形ABCD、四邊形ABCD的四棱臺(tái)，可記為棱臺(tái)ABCDABCD按照棱臺(tái)底面多邊形的邊數(shù)分類.例如：三棱臺(tái)(由三棱錐截得)，四棱臺(tái)判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)有一個(gè)底面為多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體是棱錐.()(2)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等.()(3)棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形.()(4)棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形.()【答案】(1)(2)(3)(4)小組合作型棱柱、棱錐、棱臺(tái)的概念下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說法中，正確說法的序號(hào)是_.(1)用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái).(2)棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形.(3)棱錐的側(cè)面只能是三角形.(4)棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn).(5)棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】(1)錯(cuò)誤，若平面不與棱錐底面平行，用這個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺(tái)；(2)正確，棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；(3)正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形；(4)正確，棱臺(tái)是由平行于棱錐底面的平面截得的，故棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)；(5)錯(cuò)誤，如圖所示四棱錐被平面PBD截成的兩部分都是棱錐.【答案】(2)(3)(4)判斷一個(gè)幾何體是何種幾何體，一定要緊扣棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，注意概念中的特殊字眼，切不可馬虎大意，如棱柱的概念中的“相鄰”，棱錐的概念中的“公共頂點(diǎn)”，棱臺(tái)的概念中的“棱錐”“平行”等.再練一題1.下列關(guān)于棱柱的說法正確的個(gè)數(shù)是()四棱柱是平行六面體；有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱；底面是正多邊形的棱柱是正棱柱.A.1 B.2C.3D.4【解析】四棱柱的底面可以是任意四邊形；而平行六面體的底面必須是平行四邊形，故不正確.說法就是棱柱的定義，故正確；對(duì)比定義，顯然不正確；底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱，故不正確.【答案】A幾種常見四棱柱的關(guān)系下列說法中正確的是()A.直四棱柱是直平行六面體B.直平行六面體是長(zhǎng)方體C.六個(gè)面都是矩形的四棱柱是長(zhǎng)方體D.底面是正方形的四棱柱是正四棱柱【自主解答】直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，故A錯(cuò)；直平行六面體的底面不一定是矩形，故B錯(cuò)；C正確；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D錯(cuò).【答案】C幾種常見四棱柱的關(guān)系再練一題2.一個(gè)棱柱是正四棱柱的條件是()A.底面是正方形，有兩個(gè)面是矩形的四棱柱B.底面是正方形，兩個(gè)側(cè)面垂直于底面的四棱柱C.底面是菱形，且有個(gè)頂點(diǎn)處的兩條棱互相垂直的四棱柱D.底面是正方形，每個(gè)側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱【解析】選項(xiàng)A、B中，兩個(gè)面為相對(duì)側(cè)面時(shí)，四棱柱不一定是直四棱柱，C中底面不是正方形，故排除選項(xiàng)A、B、C，所以選D.【答案】D對(duì)多面體的識(shí)別和判斷如圖1119長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1.圖1119(1)這個(gè)長(zhǎng)方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？(2)用平面BCFE把這個(gè)長(zhǎng)方體分成兩部分后，各部分的幾何體還是棱柱嗎？若是棱柱指出它們的底面與側(cè)棱.【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】(1)這個(gè)長(zhǎng)方體是棱柱，是四棱柱，因?yàn)樗鼭M足棱柱的定義.(2)截面BCFE右側(cè)部分是三棱柱，它的底面是BEB1與CFC1，側(cè)棱是EF，B1C1，BC.截面左側(cè)部分是四棱柱，它的底面是四邊形ABEA1與四邊形DCFD1，側(cè)棱是AD，BC，EF，A1D1.正確判斷幾何體類型的方法要正確判斷幾何體的類型，就要熟練掌握各類簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征.對(duì)于有些四棱柱，互相平行的平面不只是兩個(gè)，所以對(duì)于底面來說并不固定.棱柱的概念中兩個(gè)面互相平行，指的是兩個(gè)底面互相平行.但由于棱柱的放置方式不同，兩個(gè)底面的位置就不一樣，但無論如何放置，都應(yīng)該滿足棱柱的定義.再練一題3.如圖1120，下列幾何體中，_是棱柱，_是棱錐，_是棱臺(tái)(僅填相應(yīng)序號(hào)).圖1120【解析】結(jié)合棱柱、棱錐和棱臺(tái)的定義可知是棱柱，是棱錐，是棱臺(tái).【答案】幾何體的計(jì)算問題一個(gè)棱臺(tái)的上、下底面積之比為49，若棱臺(tái)的高是4 cm，求截得這個(gè)棱臺(tái)的棱錐的高.【精彩點(diǎn)撥】本題主要考查棱臺(tái)和棱錐的聯(lián)系，解題的關(guān)鍵是理解棱臺(tái)的概念和運(yùn)用好圖形中的相似關(guān)系，可將棱臺(tái)還原為棱錐解決.【自主解答】如圖所示，將棱臺(tái)還原為棱錐，設(shè)PO是原棱錐的高，OO是棱臺(tái)的高，棱臺(tái)的上、下底面積之比為49，它們的底面對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)之比ABAB23，PAPA23.由于AOAO，即.PO12 cm，即原棱錐的高是12 cm.1.由于棱臺(tái)是由棱錐用平行于底面的平面截來的，因此棱臺(tái)上、下底面是相似多邊形.它們的面積比等于相似比的平方，而相似比又等于小、大棱錐的高之比、側(cè)棱長(zhǎng)之比.2.解答此類問題的關(guān)鍵是畫好圖形，找出棱臺(tái)與截得棱臺(tái)的棱錐的量的關(guān)系，畫圖時(shí)為了簡(jiǎn)便，也可以畫截面圖.再練一題4.如圖1121所示，正四棱臺(tái)AC的高是17 cm，兩底面的邊長(zhǎng)分別是4 cm和16 cm，求這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高.圖1121【解】設(shè)棱臺(tái)AC兩底面的中心分別是O和O，BC、BC的中點(diǎn)分別是E、E，連接OO、EE、OB、OB、OE、OE，則四邊形OBBO、OEEO都是直角梯形，且OO17 cm.在正方形ABCD中，BC16 cm，則OB8cm，OE8 cm.在正方形ABCD中，BC4 cm，則OB2 cm，OE2 cm.在直角梯形OOBB中，BB19(cm).在直角梯形OOEE中，EE5(cm).即這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為19 cm，斜高為5 cm.探究共研型棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征探究1若一個(gè)幾何體有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形，這個(gè)幾何體是否是棱柱？【提示】如圖所示的幾何體有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形，但這個(gè)幾何體不是棱柱而是兩個(gè)棱柱組合的幾何體.其原因是不具備條件“每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行”.探究2有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐嗎？【提示】未必是棱錐.如圖所示的幾何體，滿足各面都是三角形，但這個(gè)幾何體不是棱錐，因?yàn)樗粷M足條件“其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形”.探究3若一個(gè)幾何體有兩個(gè)面平行，且其余各面均為梯形，則它一定是棱臺(tái)嗎？【提示】未必是棱臺(tái)，因?yàn)樗鼈兊膫?cè)棱延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn)，如圖，用一個(gè)平行于楔形幾何體底面的平面去截楔形幾何體，截面與底面之間的幾何體雖有兩個(gè)面平行，其余各面是梯形，但它不是棱臺(tái)，所以看一個(gè)幾何體是否為棱臺(tái)，不僅要看是否有兩個(gè)面平行，其余各面是否為梯形，還要看其側(cè)棱延長(zhǎng)后是否交于一點(diǎn).如圖1122，以下關(guān)于幾何體的正確說法的序號(hào)為_.這是一個(gè)六面體；這是一個(gè)四棱臺(tái)；這是一個(gè)四棱柱；此幾何體可由三棱柱截去一個(gè)三棱柱得到；此幾何體可由四棱柱截去一個(gè)三棱柱得到.圖1122【精彩點(diǎn)撥】解答關(guān)于空間幾何體概念的判斷題，要注意緊扣定義，切忌只憑圖形主觀臆斷，同時(shí)注意分類討論思想的應(yīng)用.【解析】正確.因?yàn)橛辛鶄€(gè)面，屬于六面體的范圍.錯(cuò)誤.因?yàn)閭?cè)棱的延長(zhǎng)線不能交于一點(diǎn)，所以不正確.正確.如果把幾何體放倒就會(huì)發(fā)現(xiàn)是一個(gè)四棱柱.都正確.如圖所示.【答案】1.解答本題的關(guān)鍵是正確掌握棱柱的幾何特征，本題易出現(xiàn)認(rèn)為所分兩部分的幾何體一個(gè)是棱柱，一個(gè)是棱臺(tái)的錯(cuò)誤.2.在利用幾何體的概念進(jìn)行判斷時(shí)，要緊扣定義，注意幾何體間的聯(lián)系與區(qū)別，不要認(rèn)為底面就是上下位置，如此題，底面也可放在前后位置.再練一題5.如圖1123，能推斷這個(gè)幾何體是三棱臺(tái)的是()圖1123A.A1B12，AB3，B1C13，BC4B.A1B11，AB2，B1C11.5，BC2，A1C12，AC4C.A1B11，AB2，B1C11.5，BC3，A1C12，AC4D.A1B1AB，B1C1BC，C1A1CA【解析】因?yàn)槿馀_(tái)的上下底面相似，所以該幾何體如果是三棱臺(tái)，則A1B1C1ABC，所以，C正確.【答案】C1.下列幾何體中是棱柱的個(gè)數(shù)有()圖1124A.5個(gè) B.4個(gè) C.3個(gè) D.2個(gè)【解析】由棱柱的定義知是棱柱，選D.【答案】D2.對(duì)有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體，以下說法正確的是()A.棱柱 B.棱錐C.棱臺(tái)D.一定不是棱柱、棱錐【解析】有兩個(gè)面互相平行，故此多面體一定不是棱錐，其余各面都是梯形，所以也不是棱柱，棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，選D.【答案】D3.如圖1125所示，在棱錐ABCD中，截面EFG平行于底面，且AEAB13，已知BCD的周長(zhǎng)是18，則EFG的周長(zhǎng)為_.圖1125【解析】由