概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第9講.ppt

,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第九講,3.4 邊緣分布,3.4.1 邊緣分布函數(shù),二維隨機(jī)向量 (X,Y) 作為一個(gè)整體, 有分布函數(shù) F( x, y)，其分量 X與Y 都是隨機(jī)變量，有各自的分布函數(shù)，分別記成 FX(x) 和 FY(y)，,分別稱為X的邊緣分布函數(shù)和Y的邊緣分布函數(shù)；稱 F(x, y) 為 (X, Y) 的聯(lián)合分布函數(shù)。,FX(x)=PXx=PXx,Y=F(x,)， FY(y)=PYy=PX,Yy=F(,y).,X與Y的邊緣分布函數(shù)實(shí)質(zhì)上就是一維隨機(jī)變量X或Y的分布函數(shù)。稱其為邊緣分布函數(shù)的是相對于 (X,Y) 的聯(lián)合分布而言的。 同樣地，(X, Y) 的聯(lián)合分布函數(shù) F(x, y)是相對于 (X, Y) 的分量X和Y的分布而言的。,注意:,求法,則 X 的邊緣概率分布為,Y 的邊緣概率分布為,設(shè)(X, Y ) 是二維離散型隨機(jī)向量，聯(lián)合概率分布為,3.4.2 二維離散型隨機(jī)向量的邊緣分布,解：,例1：求例3.2.1(P59)中(X,Y)的分量X和Y的邊緣分布。,把這些數(shù)據(jù)補(bǔ)充到前面表上,解：,例2： (打開書P59),求例3.2.2中 (X,Y) 的分量X和Y的邊緣分布。,PX=0 = PX=0, Y=0+PX=0, Y=1 = 0.00013+0.19987 = 0.20000, PX=1 = PX=1, Y=0+PX=1, Y=1 = 0.00004+0.79996 = 0.80000, PY=0 = PX=0, Y=0+PX=1, Y=0 = 0.00013+0.00004 = 0.00017, PY=1 = PX=0, Y=1+PX=1, Y=1 = 0.19987+0.79996 = 0.99983.,把這些數(shù)據(jù)補(bǔ)充到例3.2.2的表中，得,3.4.2 連續(xù)型隨機(jī)向量的邊緣概率密度,若 (X, Y) 的聯(lián)合概率密度為 f (x, y)，則,X的邊緣概率密度為,Y 的邊緣概率密度為,例3：若(X,Y)服從矩形區(qū)域 axb，cyd 上均勻分布，則邊緣概率密度分別為,注：本例中X與Y都是服從均勻分布的隨機(jī)變量。 但對其它非矩形區(qū)域上的均勻分布不一定有上述結(jié)論。,例4：設(shè)(X,Y)服從單位圓域 x2+y21上的均勻分布。求X和Y的邊緣概率密度。,解:,當(dāng)|x|1時(shí),當(dāng)-1x1時(shí),( 注意積分限的確定方法 ),熟練時(shí)，被積函數(shù)為零的部分可以不寫。,由X 和Y 在問題中地位的對稱性, 將上式中的 x 改為 y，得到 Y 的邊緣概率密度,例5：設(shè)(X, Y)的概率密度為,求 (1). c的值; (2). 邊緣密度。,= 5c/24=1,c = 24/5;,解: (1).,解: (2),注意積分限,注意取值范圍,注意積分限,注意取值范圍,即,例6：設(shè) (X, Y) 求X和Y 的邊緣概率密度。,解： 由,說明,對于確定的 1, 2, 1, 2, 當(dāng) 不同時(shí), 對應(yīng)不同的二維正態(tài)分布。但它們的邊緣分布是相同的，所以在考慮多維隨機(jī)向量時(shí)，不但要考慮它們的邊緣分布，還要考慮隨機(jī)向量各分量之間的關(guān)系。,X與Y之間的關(guān)系的信息是包含在 (X, Y) 的聯(lián)合概率密度函數(shù)之內(nèi)的。 在下一章將指出：對于二維正態(tài)分布而言，參數(shù) 正好刻畫了X和Y之間關(guān)系的密切程度。 因此，僅由X和Y的邊緣概率密度 (或邊緣分布) 一般不能確定 (X,Y) 的聯(lián)合概率密度函數(shù) (或概率分布)。,3.5 條件分布,第一章中，我們介紹了條件概率的概念 ,在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率,將其推廣到隨機(jī)變量：,設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)變量 X與Y，在給定Y 取某個(gè)或某些值的條件下，求X的概率分布。這個(gè)分布就是條件分布。,3.5.1 條件分布的概念,例如：考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從中隨機(jī)抽取一個(gè)學(xué)生，分別以 X和Y 表示其體重和身高。則 X和Y都是隨機(jī)變量，它們都有一定的概率分布。,體重X,身高Y,體重X 的分布,身高Y 的分布,現(xiàn)在限制180Y190(cm)，在這個(gè)條件下求X的條件分布，這就意味著要從該校的學(xué)生中把身高在180cm和190cm間的那些人都挑出來， 然后在挑出來的學(xué)生中求其體重的分布。,容易想象：這個(gè)分布與不加這個(gè)條件時(shí)的分布會(huì)很不一樣。,例如：在條件分布中體重取大值的概率會(huì)顯著地增加 。,3.5.2 離散型隨機(jī)變量的條件分布,定義1: 設(shè) (X, Y) 是二維離散型隨機(jī)向量，對固定的 j，若 P(Y=yj) 0，則稱,為在Y=yj 條件下, 隨機(jī)變量X的條件概率分布。,條件分布是一種概率分布，具有概率分布的一切性質(zhì)。例如：,i=1,2, ,對固定的 i，若P(X=xi) 0，則稱,為在X=xi條件下, 隨機(jī)變量Y 的條件概率分布。,例 1:,求書中p59, 例3.2.1中Y 的條件分布。,解：在例3.4.1中已求出X 的邊緣分布(見上表)。,在X=0條件下，,在 X=1 條件下，,解：,例 2：求例3.2.2中被調(diào)查者吸煙的條件下得肺癌的概率和不吸煙的條件下得肺癌的概率。,3.5.3 連續(xù)型隨機(jī)變量的條件概率密度,設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)向量，由于對任意 x, y, P(X=x)=0, P(Y=y)=0，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，這時(shí)要使用極限的方法得到條件概率密度。,給定y，對于任意固定的正數(shù) ，若概率 P( y- 0，于是，對于任意 x，,是在條件 y-Y y+ 之下，X的條件分布。,定義2：設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，給定 y, 若對任意固定正數(shù)，P( y- 0，且對任意實(shí)數(shù) x，極限,存在，則稱此極限為在條件 Y=y下X的條件分布函數(shù)，記成 FX|Y(x|y)。,若存在 fX|Y(x|y), 使得,則稱 fX|Y(x|y)為在條件 Y=y 下X的條件概率密度函數(shù)，簡稱條件概率密度。,同理，當(dāng) fX (x) 0 時(shí)，,定理1：設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為 f (x, y)，Y的邊緣概率密度為fY (y)。若f (x, y) 在點(diǎn)(x, y) 處連續(xù), 當(dāng) fY (y) 0 時(shí)，,證明：,求 P(X1|Y=y)。,為此, 需求出,例3：設(shè)(X,Y) 的概率密度是,由于,于是，對 y 0,故對 y 0,P(X1|Y=y),例4：設(shè) (X,Y) 服從單位圓上均勻分布，即其概率密度為,求,解： X的邊緣密度為,當(dāng) |x|1時(shí), 有,即 ：當(dāng)|x|1時(shí), 有,X作為已知變量,X已知下Y 的 條件密度,解：概率密度不為零的區(qū)域如右圖所示。,例 5：設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度為,求條件概率密度和條件概率,當(dāng) y(0,1 時(shí)， fY (y) 0，,當(dāng) x(-1,1)時(shí)，fX(x)0，,例 6：設(shè)店主在每日開門營業(yè)時(shí)，放在柜臺(tái)上的貨物量為 Y, 當(dāng)日銷售量為 X, 假定一天中不再往柜臺(tái)上補(bǔ)充貨物, 于是 XY。根據(jù)歷史資料，(X,Y)的概率密度為,求 (1).給定Y=y條件下, X的條件概率密度； (2).給定Y=10條件下, X5的概率； (3).如果Y=20件呢?,解: (1).,y(0,20 時(shí)，fY(y)0，,這個(gè)結(jié)果表明：當(dāng) y(0, 20 時(shí)，X的條件分布是 0, y 上的均勻分布。,(2). 當(dāng) Y=10