數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中應(yīng)用.ppt

數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法在化學(xué)中的應(yīng)用,李振華 復(fù)旦大學(xué)化學(xué)系表面化學(xué)實(shí)驗(yàn)室,講義,/teacher/lizh/lizh.htm,緒論,統(tǒng)計(jì)方法是一種用于收集、表示、分析和解釋通過觀察和實(shí)驗(yàn)而得到的基本數(shù)據(jù)的方法，是人類認(rèn)識(shí)自然和社會(huì)的重要手段。 上海股票市場(chǎng)收益率分布模型統(tǒng)計(jì)研究 在運(yùn)用正態(tài)分布假設(shè)的GARCH模型來(lái)描述金融收益序列的條件分布時(shí)，正態(tài)分布假設(shè)常常被拒絕，人們用一些具有尖峰、厚尾特性的分布，如t分布、GED分 布來(lái)替代正態(tài)分布假設(shè)，從而得到一系列GARCH模型的擴(kuò)展形式，如GARCH-t模型、GARCH-GED模型等。本文依據(jù)嚴(yán)密的統(tǒng)計(jì)分析方法選擇了 GARCH-t(1,1)模型描述上證綜指對(duì)數(shù)收益率序列的分布。最后，根據(jù)各項(xiàng)模型檢驗(yàn)結(jié)果說明，用GARCH-t(1,1)模型描述上證綜指收益率序 列是有充分理由的。 統(tǒng)計(jì)定價(jià)模型與股票投資決策2007年 第15期 ，作者: 高祥寶, 閆惠敏,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,3,韓寒代筆之爭(zhēng),/448946/3.html 首先從邏輯角度講，方舟子應(yīng)該證明 P( A | F) 大于一個(gè)很大的值如95% 。這里 A是方的假設(shè)， 比如 “三重門是韓父寫的”F是 所有可觀測(cè)的客觀事實(shí)的集合。這里方可以用兩種方法去證明 P(A|F) 95%. 第一種是找到一些列的獨(dú)立證據(jù) F1,F2, F3 每一個(gè)證據(jù) P(A|Fi) 都很大，比如他能找到證人證明什么時(shí)間，什么地點(diǎn)由什么證人看到了聽說了韓父代寫，或者手稿上的字跡能證明是韓父的。這些都是硬的證據(jù)，方?jīng)]有。這沒有關(guān)系，方可以采用另外一種方法證明，那就是對(duì)于某一個(gè)事實(shí)Fk, 如果 P( Fk|a ) 很小，這里a是A的補(bǔ)集。（也就是a =”三重門是韓寒自己寫的“）那么通過貝耶斯公式反推P( A | F)，如果P( Fk|a ) 足夠小，那么P( A | F)是可以大于95%的。 這種也是方一直在采用的方法，但使用這種方法的問題在于，根據(jù)公式，P ( A | F) = P(AF)/P(F) = ( P(F1|A)*P(F2|A)*P(Fn|A)*P(A) ) / (P(F1|A)*P(F2|A)*P(Fn|A)*P(A) + (P(F1|a)*P(F2|a)*P(Fn|a)*P(a) )也就是說，如果F由很多n個(gè)獨(dú)立的事實(shí)組成，那么，你如果只找到了個(gè)很小的P( Fk|a )是不能推斷P( A | F)很大的。也就是說，如果這里有100萬(wàn)個(gè)事實(shí)，你找到了100個(gè) 令人質(zhì)疑的事實(shí) 根本沒用，除非你的那些令人質(zhì)疑的事實(shí)的概率極其小 。 這也就是我們金融領(lǐng)域常說的data mining. 也就是，在同一個(gè)sample里不停的用各種方法去找股票的規(guī)律，最后你總能找到“一些”的規(guī)律，比如，“每個(gè)月的第一天股價(jià)總是上升的”之類的。你用統(tǒng)計(jì)方法做假設(shè)檢驗(yàn)， t-value都好高，但是沒用，因?yàn)槟闶窍瓤吹搅薙ample再做的檢驗(yàn)。同理，方舟子把韓寒的資料不停的翻，不停的找，總能找出點(diǎn)什么異常的，但是這根本無(wú)法證明什么。除非方舟子可以做 out of sample test. 比如，方舟子用他的假設(shè)來(lái)推斷一些事實(shí)存在于他還沒看過的/不知道的韓寒的書，資料，或者事件，那才能算得上證據(jù)。不然的話，今天證明這個(gè)，明天證明那個(gè)，不過就是一個(gè)data mining 的游戲而已。,韓寒代筆之爭(zhēng),/note/200344586/ 【例四】假設(shè)有一個(gè)要證明韓寒作品有代筆的實(shí)驗(yàn)。 零假設(shè)：韓寒作品沒有代筆 備擇假設(shè)：韓寒作品有代筆 選擇顯著性水平=？（且預(yù)設(shè)檢驗(yàn)力1-=？） 選擇樣本、收集數(shù)據(jù)，計(jì)算p值。 若p，則無(wú)法拒絕零假設(shè)。,紅樓夢(mèng)前80回與后40回作者之爭(zhēng),早在 1980 年，在美國(guó)威斯康星大學(xué)召開的“首屆國(guó)際紅樓夢(mèng)研討會(huì)”上，該校華裔學(xué)者陳炳藻教授首次報(bào)告了他在這方面的研究工作（見 4 ， 5 ），此后還出版了專著（見 6 ）。陳教授將紅樓夢(mèng) 120 回分為三組，每組 40 回，并將兒女英雄傳作為對(duì)照組進(jìn)行比較研究。他從每組中任取 8 萬(wàn)字，挑出名詞、動(dòng)詞、形容詞、副詞、虛詞這 5 種詞，然后運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法算出各組之間用詞的相關(guān)程度，結(jié)果發(fā)現(xiàn)： 紅樓夢(mèng)前 80 回與后 40 回所用詞匯的相關(guān)程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過紅樓夢(mèng)與兒女英雄傳所用詞匯的相關(guān)程度，并由此推斷：前 80 回與后 40 回均為曹雪芹一人所作。,紅樓夢(mèng)前80回與后40回作者之爭(zhēng),但是，我國(guó)華東師范大學(xué)陳大康教授得出了迥異的結(jié)論 (1987 ， 7) 。他也把紅樓夢(mèng) 120 回分成三組，每組 40 回，并統(tǒng)計(jì)了其中所含詞、字、句等 88 個(gè)項(xiàng)目。他發(fā)現(xiàn)，這些詞在前兩組出現(xiàn)的規(guī)律相同，而與后 40 回卻不一致；關(guān)于用字特點(diǎn)和句式規(guī)律，前兩組也是驚人的吻合，而后 40 回則迥異。由此推斷：后 40 回非曹雪芹所作（但含有少量殘稿） 本文以數(shù)據(jù)分析為基礎(chǔ)，以統(tǒng)計(jì)學(xué)中“兩個(gè)獨(dú)立二項(xiàng)總體的等價(jià)性檢驗(yàn)”為基本方法，很清楚明確地證明：紅樓夢(mèng)前 80 回與后 40 回在飲食與花卉的描寫上確實(shí)存在非常顯著的差異；在樹木的描寫上也存在明顯差異。不過，這種差異還不能說明紅樓夢(mèng)前 80 回與后 40 回出自不同的作者。,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,統(tǒng)計(jì)學(xué)是“對(duì)令人困惑費(fèi)解的問題做出數(shù)字設(shè)想的藝術(shù)?！?-美國(guó) David Freedman 統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門處理數(shù)據(jù)中變異性的科學(xué)和藝術(shù)。 - John M.LastA Dictionary of Epidemiology 科學(xué)與藝術(shù)的不同在于不同的人處理相同的問題可能得到不同的結(jié)果,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,實(shí)驗(yàn)化學(xué)的基礎(chǔ)是測(cè)量,實(shí)驗(yàn)化學(xué)學(xué)科作為一門實(shí)驗(yàn)科學(xué),一直被認(rèn)為是有著很大欠缺的,那就是欠缺嚴(yán)格性、邏輯性以及精確性的理論。 測(cè)量具有隨機(jī)可變性、不確定性、模糊性。統(tǒng)計(jì)學(xué)可解決前兩種問題.,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,測(cè)量的重要性,在美國(guó)芝加哥大學(xué)社會(huì)科學(xué)研究館的正面，刻有這樣一段銘文：“假若你不能測(cè)量，你的知識(shí)就是貧乏和不能令人滿意的?！?實(shí)際上，這句話還應(yīng)該這樣來(lái)補(bǔ)充：“假如你只懂得測(cè)量，那么你對(duì)世界的認(rèn)識(shí)將是可憐的?！?數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,不能片面強(qiáng)調(diào)測(cè)量的精確性,長(zhǎng)期以來(lái)，我們已習(xí)慣于把科學(xué)知識(shí)看成是許多確實(shí)無(wú)誤的陳述的集合，化學(xué)中同樣也是這樣，充斥著決定論。 片面地追求所謂精確性，其結(jié)果只能是將認(rèn)識(shí)過程中的某一部分加以近似化、簡(jiǎn)單化，最終常會(huì)走向形而上學(xué)，乃至神秘主義。,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,二.統(tǒng)計(jì)學(xué)的歷史及作用,統(tǒng)計(jì)學(xué)的歷史一般認(rèn)為開始于十七世紀(jì)中葉，最初的統(tǒng)計(jì)學(xué)出現(xiàn)在德國(guó)和英國(guó)，被稱為古典統(tǒng)計(jì)學(xué)。統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展史上曾形成過記述學(xué)派、政治算術(shù)學(xué)派、數(shù)理學(xué)派這三個(gè)主要學(xué)派。十九世紀(jì)中葉，數(shù)理學(xué)派的代表人物比利時(shí)科學(xué)家凱特勒（L.A.J. Quetelet）將概率論正式引進(jìn)到統(tǒng)計(jì)學(xué)中之后，也就開始了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展時(shí)期。,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在科學(xué)研究中得到了極其廣泛的應(yīng)用,主要地是由于以下幾個(gè)原因： 窺一斑而知全豹：科學(xué)實(shí)驗(yàn)的研究對(duì)象具體地只能是極小一部分樣品，研究的最后結(jié)果也只能是從這一小部分樣品的研究結(jié)果出發(fā)來(lái)作出統(tǒng)計(jì)推斷，也就是運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法推斷出研究對(duì)象的全體來(lái)。 歸納規(guī)律：科學(xué)實(shí)驗(yàn)中不可避免地會(huì)存在著大量隨機(jī)誤差的問題，要從這些隨機(jī)現(xiàn)象中去得出準(zhǔn)確可靠的研究結(jié)果，這只能依賴于數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法和原理。 優(yōu)化和試驗(yàn)設(shè)計(jì)：科學(xué)實(shí)驗(yàn)經(jīng)常要進(jìn)行各種條件試驗(yàn)，諸如合成路線、配方設(shè)計(jì)、工藝條件、壽命試驗(yàn)等等，這就需要運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的原理和方法來(lái)進(jìn)行優(yōu)化和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在科學(xué)研究中得到了極其廣泛的應(yīng)用,函數(shù)關(guān)系：科學(xué)實(shí)驗(yàn)中總要研究各個(gè)變量之間的關(guān)系，并進(jìn)而進(jìn)行科學(xué)的預(yù)測(cè)和推斷，而這些是離不開數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用的。 數(shù)據(jù)處理：隨著現(xiàn)代科學(xué)研究的發(fā)展，各種測(cè)量?jī)x器的計(jì)算機(jī)化給我們帶來(lái)了“數(shù)據(jù)爆炸”，如何來(lái)處理這些大量的數(shù)據(jù)，并要能從這些數(shù)據(jù)中獲取更多的甚至意想不到的信息，只有數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)技術(shù)才能給我們以可靠的保證。,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,三.統(tǒng)計(jì)方法在化學(xué)中應(yīng)用的意義,應(yīng)該說化學(xué)這一學(xué)科基本上還是一門實(shí)驗(yàn)學(xué)科，因此化學(xué)工作者掌握數(shù)理統(tǒng)計(jì)的原理及其應(yīng)用的必要性和實(shí)際意義也就顯得尤為重要。只有正確地運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，才能夠幫助我們?cè)诨瘜W(xué)實(shí)驗(yàn)中，從表面雜亂無(wú)章的現(xiàn)象里去尋找出有意義的統(tǒng)計(jì)結(jié)論來(lái)；才能使我們能更有成效地進(jìn)行各門化學(xué)領(lǐng)域中的科學(xué)研究，確?？茖W(xué)研究取得可靠、準(zhǔn)確的結(jié)果并進(jìn)而得以發(fā)現(xiàn)客觀規(guī)律；才能使我們從大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、實(shí)驗(yàn)資料中去揭示和獲取更多的化學(xué)信息。,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,第一章 隨機(jī)變量和分布函數(shù),第一節(jié) 幾個(gè)基本的統(tǒng)計(jì)學(xué)概念 1-1 總體和樣本 1-2 隨機(jī)現(xiàn)象 1-3 隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,第一章 第一節(jié),$1.1 總體和樣本 總體：滿足指定條件的眾多數(shù)據(jù)的集合 有限總體 無(wú)限總體 樣本：從總體中抽取一部分實(shí)測(cè)的個(gè)體或單位的集合 容量：樣本中含有個(gè)體的數(shù)目 樣品：組成樣本的每一單位或個(gè)體,樣本,總體,樣品,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,第一章 第一節(jié),$1.1.1 必然事件與隨機(jī)事件 必然事件：滿足一定條件后一定發(fā)生或一定不發(fā)生的事件 隨機(jī)事件：滿足一定條件后不一定發(fā)生的事件,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,$1.1.2 頻率和概率（幾率）,頻率：,概率：,0 P 1 必然事件： P = 1 不可能事件：P = 0,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,Table 硬幣投擲實(shí)驗(yàn),數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,第一章 第一節(jié),$1.1.3 隨機(jī)變量 實(shí)驗(yàn)中所可能出現(xiàn)的結(jié)果的量(X)。 離散型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的取值僅僅是有限個(gè)，或是可列的無(wú)窮多個(gè)。 連續(xù)型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的取值是充滿某一區(qū)間的，并且落在任一區(qū)間的概率也是確定的。 隨機(jī)變量所取的數(shù)值：x,$1.2 分布函數(shù),第二節(jié) 分布函數(shù) $1.2.1 分布函數(shù)的定義、類型和性質(zhì) $1.2.2 概率密度函數(shù),數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,$1.2 分布函數(shù),$1.2.1 分布函數(shù)的定義、類型和性質(zhì) 累積分布函數(shù)(Cumulative Distribution Function, CDF): 設(shè)x是一任意實(shí)數(shù)或事件，X取得小等于x的數(shù)值，的概率為P(Xx), F(x) (= P(Xx) )就稱為隨機(jī)變量X的累積分布函數(shù)，記為： F(x) = P(Xx),數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,$1.2 分布函數(shù),$1.2.1 分布函數(shù)的定義、類型和性質(zhì) 對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1, x2, 且x1 x2有， Px1xx2=Pxx2-Pxx1 = F(x2)-F(x1) 因此，若已知x的累積分布函數(shù)，就可以知道x落在任一區(qū)間(x1, x2)上的概率，在這個(gè)意義上說，累積分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,$1.2.1,累積分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,F(x)為增函數(shù)，當(dāng)x2 x1時(shí)，F(xiàn)(x2) F(x1) F(x)為右連續(xù),$1.2 分布函數(shù),$1.2.2 概率密度分布函數(shù)(Probability Density Function, PDF) 對(duì)于一維連續(xù)實(shí)隨機(jī)變量x，任何一個(gè)滿足下列條件的函數(shù)f(x)都可以被定義為其概率密度函數(shù)：,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,顯然,$1.2.3 概率質(zhì)量函數(shù),概率質(zhì)量函數(shù)(Probability Mass Function, PMF): 是離散隨機(jī)變量在各特定取值上的概率 概率質(zhì)量函數(shù)和概率密度函數(shù)不同之處在于：概率密度函數(shù)是對(duì)連續(xù)隨機(jī)變量定義的，本身不是概率，只有對(duì)連續(xù)隨機(jī)變量的取值進(jìn)行積分后才是概率。 離散隨機(jī)變量概率質(zhì)量函數(shù)的不連續(xù)性決定了其累積分布函數(shù)也不連續(xù)。,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,$1.2.4 平均值，期望值，偏差，方差,均值，期望值 平均值,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,X的期望值(expectation value)，有時(shí)用來(lái)表示,如果x是連續(xù)型隨機(jī)變量：,$1.2.3 量度數(shù)據(jù)離散程度(dispersion)的統(tǒng)計(jì)量,極差 一組數(shù)據(jù)中最大值和最小值之差,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,平均絕對(duì)偏差,方差(Variance) 樣本方差,$1.2.3 量度數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量,方差(Variance) 總體方差,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviation),相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差(Relative Standard Deviation),樣本方差 S2 是對(duì)總體方差2的無(wú)偏估計(jì),$1.2.3 量度數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量,連續(xù)性隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,$1.3 化學(xué)中常用的分布函數(shù),$1.3.1 二項(xiàng)式分布 $1.3.2 泊松分布 $1.3.3 麥克斯威爾分布,$1.3.1 二項(xiàng)式分布,每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果而不受以前試驗(yàn)結(jié)果影響的分布。其中一種事件的概率p，另一種的概率q(1-q)。 如果在n次獨(dú)立試驗(yàn)下，求A出現(xiàn)次數(shù)x的概率分布，這一分布的概率質(zhì)量函數(shù)即為： P(x) = Cnx px qn-x (x = 0，1，2 n，0p1 ) 這個(gè)概率函數(shù)給出的分布就叫做二項(xiàng)式分布，即二項(xiàng)式(p+q)n的展開式。二項(xiàng)分布常用于軍事射擊和工業(yè)檢查中，在化學(xué)中可用于計(jì)算質(zhì)譜中同位素峰的強(qiáng)度比以及根據(jù)塔板理論推導(dǎo)氣液色譜的流出曲線。,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,二項(xiàng)式分布,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,例1-2色譜的塔板理論,（一）塔板理論的四個(gè)基本假設(shè) 1在柱內(nèi)一小段高度內(nèi)組分分配瞬間達(dá)平衡（H理論塔板高度） 2載氣非連續(xù)而是間歇式（脈動(dòng)式）進(jìn)入色譜柱，每次進(jìn)氣一個(gè)塔板體積 3樣品和載氣均加在第0號(hào)塔板上，且忽略樣品沿柱方向的縱向擴(kuò)散 4分配系數(shù)在各塔板上是常數(shù) 根據(jù)塔板理論，待分離組分流出色譜柱時(shí)的濃度沿時(shí)間呈現(xiàn)二項(xiàng)式分布，當(dāng)色譜柱的塔板數(shù)很高的時(shí)候，二項(xiàng)式分布趨于正態(tài)分布。,楊世鉞, 色譜法溶質(zhì)以二項(xiàng)式展開分布的簡(jiǎn)明推導(dǎo), 化學(xué)通報(bào), 1989, 02, 47-49.,例1-3,有一化學(xué)藥品的混合過程在正常情況下會(huì)有10%的可能混合不合格，今在一批藥品中抽驗(yàn)8個(gè)樣品，發(fā)現(xiàn)有2個(gè)不合要求，檢驗(yàn)員欲拒收整批藥品，試問這一決定是否正確？,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,解： P(x=2) = Cnx px qn-x = C82 0.12 0.910-2 = 0.149 計(jì)算表明，在總體合不格率為10%的情況下抽檢出兩個(gè)不合格的概率為14.9%，因此不應(yīng)拒收這批藥品。,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,$1.3.2 泊松分布,當(dāng)某事件出現(xiàn)的概率很低(P1)時(shí)，二項(xiàng)分布就成為泊松分布。由法國(guó)數(shù)學(xué)家Poisson于1838年發(fā)表。 泊松分布適合于描述單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)。如某一服務(wù)設(shè)施在一定時(shí)間內(nèi)到達(dá)的人數(shù)，電話交換機(jī)接到呼叫的次數(shù)，汽車站臺(tái)的候客人數(shù)，機(jī)器出現(xiàn)的故障數(shù)，自然災(zāi)害發(fā)生的次數(shù)等等。,泊松分布,泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)為： （x = 0，1，2，為參數(shù)） ： 單位時(shí)間(或單位面積)內(nèi)隨機(jī)事件的平均發(fā)生數(shù) 性質(zhì)： x的期望值等于方差即： = = 2：,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,PMF,CDF,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,例1-4 400ml微生物溶液中含微生物的濃度是0.5只/毫升，抽出1毫升，其中所含微生物的只數(shù)x服從什么分布？含3只及3只以上微生物的可能性有多少？ 解：溶液中總共有微生物n = 0.5400 = 200只，每一只微生物落入抽檢的1毫升溶液中的概率p = 1/400，不落入的概率q = 399/400。如看有幾只微生物落入抽檢的1毫升溶液中就相當(dāng)于一個(gè)n = 200時(shí)的獨(dú)立試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，所以x服從二項(xiàng)分布。,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,由于 = np = 0.5比較小，可以用泊松分布來(lái)近似計(jì)算。 P(n3) = 1 - P(n3) = 1 - P(n=0) - P(n=1) - P(n=2) = 1 e-0.5 0.5e-0.5 0.52e-0.5 /2 = 1 - 0.6065 - 0.3033 - 0.0758 = 0.0144 因?yàn)楦怕屎苄?，?.5只/毫升條件下，抽檢1毫升是不大可能發(fā)現(xiàn)3只或3只以上的。如真抽到，就說明并不是這個(gè)濃度，而是大大超過了.,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,$1.3.3 麥克斯威爾分布,直角坐標(biāo)下速度的概率密度分布,球坐標(biāo)下速度的概率密度分布,速率的概率密度分布,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,第二章 正態(tài)分布 $2.1 頻率和概率,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,圖2-1 測(cè)量數(shù)據(jù)的頻率密度直方圖。,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,圖2-1 頻率密度分布逐漸接近正態(tài)分布示意,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,$2.2 正態(tài)分布（ 高斯分布）與正態(tài)曲線,假設(shè)在一定條件下，對(duì)某一個(gè)量x進(jìn)行無(wú)限多次重復(fù)的等精度測(cè)量，得到一系列數(shù)據(jù)x1，x2， xn，則各測(cè)量值的頻數(shù)密度分布將會(huì)從鋸齒形圖（見直方形圖）轉(zhuǎn)變成為一條平滑的曲線，該曲線的分布就稱為正態(tài)分布。因?yàn)殡S機(jī)誤差是服從正態(tài)分布的，所以正態(tài)分布又常稱為（隨機(jī)）誤差分布。,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,正態(tài)分布的歷史,正態(tài)分布最早是棣莫佛在1734年發(fā)表的一篇關(guān)于二項(xiàng)分布文章中提出的。拉普拉斯在1812年發(fā)表的分析概率論中對(duì)棣莫佛的結(jié)論作了擴(kuò)展?，F(xiàn)在這一結(jié)論通常被稱為棣莫佛拉普拉斯定理。 拉普拉斯在誤差分析試驗(yàn)中使用了正態(tài)分布。勒讓德于1805年引入最小二乘法這一重要方法；而高斯則宣稱他早在1794年就使用了該方法，并通過假設(shè)誤差服從正態(tài)分布給出了嚴(yán)格的證明。 正態(tài)分布這個(gè)名字還被Charles S. Peirce, Francis Galton, Wilhelm Lexis在1875分別獨(dú)立的使用。這個(gè)術(shù)語(yǔ)是不幸的，因?yàn)樗磻?yīng)和鼓勵(lì)了一種謬誤，即很多概率分布都是正態(tài)的。 這個(gè)分布被稱為“正態(tài)”或者“高斯”正好是Stigler名字由來(lái)法則的一個(gè)例子，這個(gè)法則說“沒有科學(xué)發(fā)現(xiàn)是以它最初的發(fā)現(xiàn)者命名的”。,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,中心極限定理 數(shù)學(xué)家們對(duì)正態(tài)分布曲線做了將近有300年的研究，證明了當(dāng)每次測(cè)量都受到很多微小隨機(jī)因素的影響時(shí)，測(cè)量的總誤差就具有正態(tài)分布，當(dāng)然對(duì)于這種斷定不應(yīng)在沒有證據(jù)的情況下就予以接受。 統(tǒng)計(jì)學(xué)告訴我們，只要測(cè)量的次數(shù)n足夠多，樣本平均值的分布總可服從正態(tài)分布，而不論它原來(lái)是什么分布。這就是中心極限定理。 中心極限定理的重要意義在于，根據(jù)這一定理的結(jié)論，其他概率分布可以用正態(tài)分布作為近似。,二項(xiàng)式,泊松,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,智商分布曲線,IQ test: http:/www.iqtest.dk/main.swf,IQ,Richard Herrnstein and Charles Murray The Bell Curve (1994) 智商70%左右來(lái)源于遺傳，和環(huán)境關(guān)系不大 Leon J. Kamin (1927-) Now: Indiana University Chairman (1968): Department of Psychology at Princeton University The Science and Politics of IQ (1974),IQ and Race,In his 2006 book Race Differences in Intelligence Lynn adopted the ten-category classification scheme of human genetic variation introduced in The History and Geography of Human Genes by Luigi Cavalli-Sforza and colleagues. Lynn argues that mean IQ varies by genetic clusters, or “race“. According to his calculations, the East Asian cluster (Chinese, Japanese and Koreans) has the highest mean IQ at 105, followed by Europeans (100), Inuit-Eskimos (91), South East Asians (87), Native American Indians (87), Pacific Islanders (85), South Asians & North Africans (84), sub-Saharan Africans (67), Australian Aborigines (62), and Kalahari Bushmen & Congo Pygmies (54).360,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,正態(tài)分布:通常用N(,2)來(lái)表示總體平均值（期望值）為 ，方差為2的正態(tài)分布。 正態(tài)分布概率密度函數(shù)(PDF) f(x)又叫正態(tài)分布曲線，由下式來(lái)表示：,.,，,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,累積概率分布函數(shù)(CDF),數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,$2.2.3 正態(tài)分布的性質(zhì),從圖2-3 可以看到，正態(tài)曲線的形狀是由決定的，而決定曲線的位置。,累積分布函數(shù)(CDF),數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,68,95,99,2,3,2,3,f(x),x,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,$2.3 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和概率的計(jì)算,討論正態(tài)分布曲線 令u = (x-)/，則,記當(dāng)=0； 2=1時(shí)的正態(tài)分布，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N(0,1),數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,$2.3 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和概率的計(jì)算,因此：,u = (x-)/,du = dx/,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,正態(tài)分布表：,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,第三節(jié) 概率的計(jì)算 例2-2 設(shè)隨機(jī)變量X服從N(, 2)，試計(jì)算下列范圍中的概率 (1) (-, +); (2) (-2, +2); (3) (-3, +3);,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,例2-3根據(jù)資料，30-40歲男子血清膽固醇值(mmol/l)極近正態(tài)分布N(4.72，0.77)， 試求：該年齡健康男子血清膽固醇值(1)大于6.20的概率；(2)大于4.00且小于5.50的概率。,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,第四節(jié) 和正態(tài)分布有關(guān)的一些樣本分布,自由度,統(tǒng)計(jì)學(xué)上的自由度（degree of freedom, df），是指當(dāng)以樣本的統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)總體的參數(shù)時(shí)， 樣本中獨(dú)立或能自由變化的資料的個(gè)數(shù)，稱為該統(tǒng)計(jì)量的自由度。這里我們用k或v來(lái)表示。 例如，在估計(jì)總體的平均數(shù)時(shí)，樣本中的k個(gè)數(shù)全部加起來(lái)， 其中任何一個(gè)數(shù)都和其他資料相獨(dú)立，從其中抽出任何一個(gè)數(shù)都不影響其他資料（這也是隨機(jī)抽樣所要求的）。 因此一組資料中每一個(gè)資料都是獨(dú)立的，所以自由度就是估計(jì)總體參數(shù)時(shí)獨(dú)立資料的數(shù)目，而平均數(shù)是根據(jù)k個(gè)獨(dú)立資料來(lái)估計(jì)的，因此自由度為k。,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,學(xué)生t-分布(Students t-distribution),實(shí)際工作中，難以做到測(cè)量無(wú)限多的樣本。在小樣本的情況下，未知，如果用測(cè)定樣本所得到的標(biāo)準(zhǔn)偏差S來(lái)代替，此時(shí)測(cè)量值及其偏差就不再符合正態(tài)分布了。 1908年，英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家W.S. Gosset證明了：在未知而以樣本的標(biāo)準(zhǔn)差S去代替時(shí)，此時(shí)遵守的將是t-分布。 若x1，x2， xn是由服從正態(tài)分布的總體中隨機(jī)抽取的樣本值，,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,那么統(tǒng)計(jì)量,如果知道總體平均值，即期望值，和標(biāo)準(zhǔn)差，則可定義：,t-分布的幾率密度分布函數(shù),v是自由度 注意：對(duì)于一個(gè)容量是n的樣本，其v=n-1。,數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,t-分布的概率密度函數(shù)(PDF),數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,t-分布的累積分布函數(shù)(CDF),數(shù)理統(tǒng)計(jì)在化學(xué)中的應(yīng)用,t-分布的應(yīng)用t檢驗(yàn)(Students t-test),學(xué)生t分布應(yīng)用在當(dāng)對(duì)呈正態(tài)分布的母群體(總體)的均值進(jìn)行估計(jì)。它是對(duì)兩個(gè)樣本均值差異進(jìn)行顯著性測(cè)試的學(xué)生t檢驗(yàn)的基礎(chǔ)。t檢驗(yàn)改進(jìn)了Z檢驗(yàn)(Z-test)，不論樣本數(shù)量大或小皆可應(yīng)用。在樣本數(shù)量大（超過120等）時(shí)，可以應(yīng)用Z檢驗(yàn)，但Z檢驗(yàn)用在小的樣本會(huì)