數(shù)論中若干問題和進(jìn)展.ppt

數(shù)論中的若干問題和進(jìn)展,徐飛,一. 概述,Peano公理：自然數(shù)（正整數(shù)）和零。 減法：整數(shù) Z。 除法：有理數(shù) Q。 極限：實(shí)數(shù) R。(, 2, ) 求解代數(shù)方程 ：復(fù)數(shù) C。,一. 概述,數(shù)論大致分為兩類問題： 1）素?cái)?shù)問題。如Riemann猜想，Goldbach猜想等。 2）整系數(shù)多項(xiàng)式方程的整數(shù)解。如Fermat猜想，BSD猜想等。,二. 素?cái)?shù),如果正整數(shù)m整除正整數(shù)n，稱m是n的 一個(gè)因子。 如果正整數(shù)p的因子只有1和p，那么p稱 為素?cái)?shù)。 如 2，3，5，7，11，13，17，19 等等。,二. 素?cái)?shù),算術(shù)基本定理：任何一個(gè)正整數(shù)都可表示為 素?cái)?shù)的乘積。不考慮乘積秩序，表達(dá)式唯一。 如：4=2x2, 6=2x3，12=2x2x3 等等。,二. 素?cái)?shù),定理（Euclid）：素?cái)?shù)有無限多。 證法一：如果素?cái)?shù)只有有限多個(gè)，記為 那么根據(jù)算術(shù)基本定理， 的素?cái)?shù)因子就一定不是上述的素?cái)?shù)，矛盾！,二. 素?cái)?shù),證法二（Riemann)：根據(jù)算術(shù)基本定理， 其中s是大于1的實(shí)數(shù)。 如果素?cái)?shù)只有有限多，那么無論s取什么 值等式右邊都是有限值，而等式左邊當(dāng)s=1時(shí) 是發(fā)散的。矛盾！,二. 素?cái)?shù),利用證法二可以證明： 定理（Dirichlet)：等差級(jí)數(shù) a，a+d，a+2d， ，a+nd， 中如果a和d互素，那么該等差 級(jí)數(shù)中會(huì)有無限多個(gè)素?cái)?shù)。,二. 素?cái)?shù),Riemann zeta 函數(shù) 滿足函數(shù)方程s1-s。 (Riemann猜想)： Riemann zeta函數(shù)的非平 凡零點(diǎn)在實(shí)部為1/2的豎直線。,二. 素?cái)?shù),如果p和p+2都是素?cái)?shù)，稱（p，p+2）為 孿生素?cái)?shù)。 如（3，5）； （5，7）； （11，13）； （17，19）等等。 猜想：孿生素?cái)?shù)有無限多對(duì)？,二. 素?cái)?shù),Green-Tao定理： 對(duì)任意正整數(shù)n，存在長(zhǎng)度為n且每一項(xiàng)都 是素?cái)?shù)的等差級(jí)數(shù)。 例如： 3，7，11 (n=3) 5，11，17，23，29 (n=5),二.素?cái)?shù),目前用計(jì)算機(jī)明確找到最長(zhǎng)的素?cái)?shù)等差級(jí)數(shù) 是 6171054912832631+366384x223092870xk: k=0,1,2,24 ,二.素?cái)?shù),猜想1: (Goldbach 猜想) 任意大于2的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)素?cái)?shù)的和。 猜想2: (Schinzel 猜想): 首項(xiàng)系數(shù)為正的整系數(shù)不可約多項(xiàng)式, 若沒 有固定正因子, 則存在無限多個(gè)素?cái)?shù)可表示為 該多項(xiàng)式的形式。,二.素?cái)?shù),特例: (Landau 猜想) 是否存在無限多素?cái)?shù)可寫為 x +1的形式？ 類似地，可以有多個(gè)變?cè)腿舾蓚€(gè)多項(xiàng) 式的Schinzel 猜想。,二.素?cái)?shù),Dirichlet 定理： 對(duì)任給定的非退化本原二元二次型，都存 在無限多個(gè)素?cái)?shù)可表示為該二元二次型的形 式。 Iwaniec 將這個(gè)結(jié)果推廣到二元二次非退化 本原多項(xiàng)式情形。,二.素?cái)?shù),Friedlander-Iwaniec （1998）定理： 存在無限多個(gè)素?cái)?shù)可以表示為 x + y 的形式。 Heath-Brown （2001）定理： 存在無限多個(gè)素?cái)?shù)可以表示為 x + 2y 的形式。,三. 丟番圖方程,整數(shù)為系數(shù)的多項(xiàng)式方程都稱為丟番圖方程。 希爾伯特第十問題：是否存在一個(gè)能確定整 系數(shù)多項(xiàng)式方程有無整數(shù)解的算法？ 答案：否。(Davies-Putnam-Robinson-Matijasevic-Cudnovskii),三. 丟番圖方程,必要條件： 1）方程在實(shí)數(shù)域上有解。 2）方程模任何整數(shù)m有解。,三. 丟番圖方程,例：方程 沒有整數(shù)解。（沒有實(shí)數(shù)解）。 例：方程 沒有整數(shù)解。（模3沒有解）。,三. 丟番圖方程,設(shè) 為素?cái)?shù)。 由中國剩余定理：,三. 丟番圖方程,對(duì)素?cái)?shù)p，考慮 （乘積拓?fù)洌?的閉包。記為Zp。 上述必要條件:方程在實(shí)數(shù)域R和Zp上均 有解。此時(shí)稱方程局部有解。,四.線性方程,由帶余除法法：線性方程有整數(shù)解當(dāng)且 僅當(dāng)方程局部有解，即上述必要條件也是充 分條件。,五.二次方程, 一個(gè)二次齊次整系數(shù)方程有本原解當(dāng)且 僅當(dāng)該方程局部有非平凡解。 （Hasse-Minkowski 定理） 一般一個(gè)二次整系數(shù)方程局部有解推不 出它有整數(shù)解。這個(gè)問題有比較完整的答 案，但仍沒有得到徹底解決。,五.二次方程,例(Fermat)：若二次齊次方程F(x,y,z)=0有 一個(gè)非平凡的整數(shù)解，則該方程有無限多組 本原整數(shù)解，由 Q參數(shù)化。 費(fèi)馬的證明： F(x,y,z)=0有非平凡的整數(shù) 解一一對(duì)應(yīng)于 的有理解。,五.二次方程,(Fermat-Gauss): 一個(gè)整數(shù)可表為兩個(gè)整 數(shù)的平方和當(dāng)且僅當(dāng)局部可表為兩平方和。 (Gauss-Legendre):一個(gè)整數(shù)可表為三個(gè)整 數(shù)的平方和當(dāng)且僅當(dāng)局部可表為三平方和。 (Lagrange):每個(gè)正整數(shù)可表為四個(gè)整數(shù)的 平方和。,六.三次方程,三次齊次多項(xiàng)式局部有非平凡解推不出 該方程有整數(shù)解。 三元三次齊次光滑整系數(shù)多項(xiàng)式給出射 影空間虧格為1的一條光滑曲線。判定這類 整系數(shù)方程是否存在非平凡的本原的整數(shù) 解仍沒有一般的方法。,六.三次方程,如果三元三次齊次光滑整系數(shù)多項(xiàng)式方程 有一個(gè)非平凡的本原的整數(shù)解，稱該方程為 橢圓曲線。記為E。 橢圓曲線上非平凡的本原的整數(shù)解 E(Z) 構(gòu)成一個(gè)有限生成的交換群。(Mordell 定理),六.三次方程,根據(jù)有限生成交換群的結(jié)構(gòu)定理 E(Z) Z E(Z) 定理(Mazur)：E(Z) 16 猜想： 可任意大？,六.三次方程,除有限多個(gè)素?cái)?shù)外，E模素?cái)?shù)p成為有限 域上的一條橢圓曲線。定義： 其中 =p+1- #E( ) 。 稱為E的L-函數(shù)。,六.三次方程,定理(Wiles，Taylor-Wiles，Taylor，)： E的L-函數(shù)可解析開拓到全復(fù)平面并滿足 函數(shù)方程s 2-s。 BSD猜想：E的L函數(shù)在s=1處零點(diǎn)的階= 。,六.三次方程,定理(Kolyvagin，Gross-Zagier)： 當(dāng)E的L-函數(shù)在s= 1的階1時(shí)，BSD猜想 成立。,七. 高次方程,定理（Siegel）：次數(shù)大于2的兩個(gè)變?cè)恼禂?shù)多項(xiàng)式（光滑）方程僅有有限多個(gè)整數(shù)解。 定理（Faltings）：次數(shù)大于3的三個(gè)變?cè)R次（光滑）多項(xiàng)式至多僅有有限多個(gè)非平凡的本原解。,七. 高次方程,定理（Wiles): 如果n2, 方程 的整數(shù)解滿足 xyz=0。,七. 高次方程,Euler猜想：方程 x + y + z = w 沒有正整數(shù)解。 反例