高中數(shù)學(xué)第二章基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.3冪函數(shù)學(xué)案（含解析）新人教版.docx

2.3冪函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解冪函數(shù)的概念，會求冪函數(shù)的解析式(易錯點).2.結(jié)合冪函數(shù)yx，yx2，yx3，y，yx的圖象，掌握它們的性質(zhì)(重點).3.能利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)冪的大小(重點).知識點1冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)yx叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù).【預(yù)習(xí)評價】(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)函數(shù)yx是冪函數(shù).()(2)函數(shù)y2x是冪函數(shù).()(3)函數(shù)yx是冪函數(shù).()提示(1)函數(shù)yx符合冪函數(shù)的定義，所以是冪函數(shù)；(2)冪函數(shù)中自變量x是底數(shù)，而不是指數(shù)，所以y2x不是冪函數(shù)；(3)冪函數(shù)中x的系數(shù)必須為1，所以yx不是冪函數(shù).知識點2冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)五個冪函數(shù)的圖象：(2)冪函數(shù)的性質(zhì)：冪函數(shù)yxyx2yx3yxyx1定義域RRR0，)(，0)(0，)值域R0，)R0，)y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x0，)，增x(，0，減增增x(0，)，減x(，0)，減公共點都經(jīng)過點(1，1)【預(yù)習(xí)評價】(1)設(shè)函數(shù)f(x)x，則f(x)是()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(2)3.173與3.713的大小關(guān)系為_.解析(1)易知f(x)的定義域為R，又f(x)f(x)，故f(x)是奇函數(shù).(2)易知f(x)x3在(0，)上是減函數(shù)，又3.17f(3.71)，即3.1733.713.答案(1)A(2)3.1733.713題型一冪函數(shù)的概念【例1】(1)在函數(shù)yx2，y2x2，y(x1)2，y3x中，冪函數(shù)的個數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3(2)若f(x)(m24m4)xm是冪函數(shù)，則m_.解析(1)根據(jù)冪函數(shù)定義可知，只有yx2是冪函數(shù)，所以選B.(2)因為f(x)是冪函數(shù)，所以m24m41，即m24m50，解得m5或m1.答案(1)B(2)5或1規(guī)律方法判斷函數(shù)為冪函數(shù)的方法(1)只有形如yx(其中為任意實數(shù)，x為自變量)的函數(shù)才是冪函數(shù)，否則就不是冪函數(shù).(2)判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為yx(為常數(shù))的形式，函數(shù)的解析式為一個冪的形式，且：指數(shù)為常數(shù)，底數(shù)為自變量，底數(shù)系數(shù)為1.形如y(3x)，y2x，yx5形式的函數(shù)都不是冪函數(shù).反過來，若一個函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)也必具有這一形式.【訓(xùn)練1】若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，且滿足f(4)3f(2)，則f的值等于_.解析設(shè)f(x)x，因為f(4)3f(2)，432，解得：log23，f.答案題型二冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2】(1)如圖所示，圖中的曲線是冪函數(shù)yxn在第一象限的圖象，已知n取2，四個值，則相應(yīng)于C1，C2，C3，C4的n依次為()A.2，2B.2，2C.，2，2，D.2，2，(2)點(，2)與點分別在冪函數(shù)f(x)，g(x)的圖象上，問當(dāng)x為何值時，分別有：f(x)g(x)；f(x)g(x)；f(x)0時，n越大，yxn遞增速度越快，故C1的n2，C2的n；當(dāng)ng(x)；當(dāng)x1時，f(x)g(x)；當(dāng)x(0，1)時，f(x)g(x).規(guī)律方法解決冪函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的兩個原則(1)依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在x(0，1)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低)；在x(1，)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡記為指大圖高).(2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)與0，1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于yx1或yx或yx3)來判斷.【訓(xùn)練2】如圖是函數(shù)yx(m，nN*，m，n互質(zhì))的圖象，則()A.m，n是奇數(shù)，且1C.m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且1解析由圖象可知yx是偶函數(shù)，而m，n是互質(zhì)的，故m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，又當(dāng)x(1，)時，yx的圖象在yx的圖象下方，故，所以.(2)因為冪函數(shù)yx1在(，0)上是單調(diào)遞減的，又.【遷移1】(變換條件)若將例3(1)中的兩數(shù)換為“與”，則二者的大小關(guān)系如何？解因為30.3，而yx0.3在(0，)上是單調(diào)遞增的，又3，所以30.3，即.【遷移2】(變換條件)若將例3(1)中的兩數(shù)換為“與0.3”，則二者的大小關(guān)系如何？解因為y1在(0，)上為減函數(shù)，又0.3，又因為函數(shù)y2x在(0，)上為增函數(shù)，且0.3，所以0.3，所以0.3.規(guī)律方法比較冪值大小的三種基本方法課堂達(dá)標(biāo)1.已知冪函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點，則f(2)()A. B.4 C. D.解析設(shè)冪函數(shù)為yx，冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，4，yx，f(2)2，故選C.答案C2.下列函數(shù)中，其定義域和值域不同的函數(shù)是()A.yx B.yx C.yx D.yx解析A中定義域、值域都是R；B中定義域、值域都是(0，)；C中定義域、值域都是R；D中定義域為R，值域為0，).答案D3.設(shè)a，則使函數(shù)yxa的定義域是R，且為奇函數(shù)的所有a的值是()A.1，3 B.1，1C.1，3 D.1，1，3解析當(dāng)a1時，yx1的定義域是x|x0，且為奇函數(shù)；當(dāng)a1時，函數(shù)yx的定義域是R且為奇函數(shù)；當(dāng)a時，函數(shù)yx的定義域是x|x0，且為非奇非偶函數(shù).當(dāng)a3時，函數(shù)yx3的定義域是R且為奇函數(shù).故選A.答案A4.函數(shù)yx的圖象是()解析顯然函數(shù)定義域為R，且滿足“f(x)f(x)”，說明函數(shù)是奇函數(shù).又由當(dāng)0xx，當(dāng)x1時，x，則.從而8，所以.課堂小結(jié)1.冪函數(shù)yx的底數(shù)是自變量，指數(shù)是常數(shù)，而指數(shù)函數(shù)正好相反，底數(shù)是常數(shù)，指數(shù)是自變量.2.冪函數(shù)在第一象限內(nèi)指數(shù)變化規(guī)律在第一象限內(nèi)直線x1的右側(cè)，圖象從上到下，相應(yīng)的指數(shù)由大變小；在直線x1的左側(cè)，圖象從下到上，相應(yīng)的指數(shù)由大變小.3.簡單冪函數(shù)的性質(zhì)(1)所有冪函數(shù)在(0，)上都有定義，并且當(dāng)自變量為1時，函數(shù)值為1，即f(1)1.(2)如果0，則冪函數(shù)在0，)上有意義，且是增函數(shù).(3)如果0，則冪函數(shù)在x0處無意義，在(0，)上是減函數(shù).基礎(chǔ)過關(guān)1.已知冪函數(shù)yf(x)的圖象過點，則log2f(2)的值為()A. B. C.2 D.2解析由題意設(shè)f(x)xn，由冪函數(shù)yf(x)的圖象過點，n.f(x)x，f(2)2，log2f(2)log22.答案A2.函數(shù)yx2在區(qū)間上的最大值是()A. B. C.4 D.4解析易知yx2在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x時，函數(shù)yx2的最大值是4.答案C4.若冪函數(shù)y(m22m2)x4m2在x(0，)上為減函數(shù)，則實數(shù)m的值是_.解析因為函數(shù)y(m22m2)x4m2既是冪函數(shù)又是(0，)上的減函數(shù)，所以解得m3.答案35.當(dāng)時，冪函數(shù)yx的圖象不可能經(jīng)過第_象限.解析當(dāng)1，1，3時，yx的圖象經(jīng)過第一、三象限；當(dāng)時，yx的圖象經(jīng)過第一象限.答案二、四6.比較下列各組數(shù)的大小：(1)1.10.1，1.20.1；(2)0.240.2，0.250.2；(3)0.20.3，0.30.3，0.30.2.解(1)由于函數(shù)yx0.1在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，又因為1.11.2，所以1.10.11.20.1.(2)由于函數(shù)yx0.2在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，又因為0.240.250.2.(3)首先比較指數(shù)相同的兩個數(shù)的大小，由于函數(shù)yx0.3在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，而0.20.3，所以0.20.30.30.3.再比較同底數(shù)的兩個數(shù)的大小，由于函數(shù)y0.3x在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，而0.20.3，所以0.30.30.30.2.所以0.20.30.30.30.30.2.7.已知冪函數(shù)yx3m9(mN*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，)上單調(diào)遞減，求滿足(a3)(52a)的a的取值范圍.解因為函數(shù)在(0，)上單調(diào)遞減，所以3m90，解得m3，又mN*，所以m1，2.因為函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以3m9為偶數(shù)，故m1，則原不等式可化為(a3)52a0或52aa30或a3052a，解得a或a0，n0，由x1右側(cè)指數(shù)逆時針增大，知n1，由圖象上凸知0m1，故選B.答案B9.如圖，函數(shù)yx的圖象是()解析冪函數(shù)yx是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，所以可排除選項A，B，C，選D.答案D10.已知冪函數(shù)f(x)x，若f(102a)f(a1)，則a的取值范圍是_.解析因為f(x)x(x0)，易知f(x)在(0，)上為增函數(shù)，又f(102a)f(a1)，所以解得所以3a5.答案(3，511.若yxa24a9是偶函數(shù)，且在(0，)內(nèi)是減函數(shù)，則整數(shù)a的值是_.解析由題意得，a24a9應(yīng)為負(fù)偶數(shù)，即a24a9(a2)2132k(kN*)，(a2)2132k，當(dāng)k2時，a5或1；當(dāng)k6時，a3或1.答案1，3，5，112.已知冪函數(shù)yf(x)x2m2m3，其中mx|2x2，xZ，滿足：(1)是區(qū)間(0，)上的增函數(shù)；(2)對任意的xR，都有f(x)f(x)0.求同時滿足(1)，(2)的冪函數(shù)f(x)的解析式，并求x0，3時f(x)的值域.解因為mx|2x2，xZ，所以m1，0，1.因為對任意xR，都有f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，所以f(x)是奇函數(shù).當(dāng)m1時，f(x)x2只滿足條件(1)而不滿足條件(2)；當(dāng)m1時，f(x)x0條件(1)，(2)都不滿足.當(dāng)m0時，