高中數(shù)學4.1數(shù)學歸納法素材新人教A版.docx

庖丁巧解牛知識巧學 一、數(shù)學歸納法的定義證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學題,可用下列方法來證明它們的正確性:(1)驗證當n取第一個值n0(例如n0=1)時命題成立,(2)假設(shè)當n=k(kN*，kn0)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立.完成這兩步，就可以斷定這個命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法叫做數(shù)學歸納法. 從數(shù)學歸納法的定義我們可以看出，它強調(diào)的就是兩個基本步驟.數(shù)學歸納法的兩個步驟，是問題的兩個方面，一個是命題成立的基礎(chǔ)，一個是命題之間可遞推的依據(jù)，二者缺一不可.缺步驟（2），則證明就是“一葉障目，以一代全”不能保證命題對所有的自然數(shù)n都成立；而缺步驟（1），則證明就成了“空中樓閣”，也難以保證命題對所有自然數(shù)n都成立.我們通常稱第（1）步為奠基步驟. 記憶要訣 總結(jié)以上的分析，歸納如下：“奠基步驟不能少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉.”如果同學們能正確地理解了數(shù)學歸納法證明的要義，才能輕松自如地運用它，而不致誤用.誤區(qū)警示 數(shù)學歸納法的兩個步驟，是問題的兩個方面，一個是命題成立的基礎(chǔ)，一個是命題之間可遞推的依據(jù)，二者缺一不可. 疑問：既然第（2）步已經(jīng)證明了任兩個連續(xù)自然數(shù)對應的命題的遞推關(guān)系，那么第（1）步是否是多余的？請看如下例子：對于欲證的命題：1+2+3+n=n(n+1)+1.第二步證明為:若n=k時命題成立，即1+2+3+k=k(k+1)+1,則當n=k+1時，1+2+3+k+(k+1)=k(k+1)+1+(k+1)=(k+1)(k+2)+1,即當n=k+1時命題也成立.但我們會發(fā)現(xiàn)：當n=1時，左式=1，右式=2，顯然命題不成立.辨析比較 歸納法與數(shù)學歸納方法 我們在研究問題時，還常常用到如下的一種思維方法，即從特殊到一般的思維方法，舉例如下：1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42, ,我們由此發(fā)現(xiàn)并得出如下結(jié)論：1+2+3+（n-1）+n+(n-1)+3+2+1=n2(nN). 這就是考察具有1+2+3+(n-1)+n+(n-1)+3+2+1特征的某幾個式子的數(shù)值后，發(fā)現(xiàn)了蘊含其中的共性之后而得到的一個結(jié)論.這種思維方法（或推理方法）我們稱之為歸納法.由歸納法得到的結(jié)論未必正確，接下來的問題就是確認由歸納法得到的結(jié)論的正確性.確認的方法是什么呢？或許結(jié)論不正確，那么可尋找一反例推翻該結(jié)論；或許結(jié)論是正確的，那么我們需對此予以嚴格的證明.如何證明？ 注意到1+2+3+（n-1）+n+（n-1）+3+2+1=n2（nN），實際上是n=1，2，3，的無窮多個等式的概括寫法，因此要證明上述等式，就需要對n=1，2，3，的無窮多個等式逐一證明.事實上，這是做不到的.因此需要一種用以證明這種結(jié)論的一般證明方法，這種證明方法就是數(shù)學歸納法. 從上述可知，歸納法和數(shù)學歸納法是有區(qū)別的.歸納法只是我們從特殊到一般的思維方法，它歸納的結(jié)論未必正確，而數(shù)學歸納法是一種變態(tài)的演繹法，是證明與自然數(shù)有關(guān)的某些命題的方法.二、數(shù)學歸納法的特點 1.無窮性：數(shù)學歸納法所證明的與自然數(shù)有關(guān)的命題，實際上就是關(guān)于自然數(shù)的無窮性命題，命題的無窮性是我們用演繹法無法證明的，所以數(shù)學歸納法恰恰就是有效地利用遞推關(guān)系證明了命題無窮性的正確. 2.有窮性：與自然數(shù)有關(guān)的命題具有無窮性，但是數(shù)學歸納法的基本步驟是有窮的，僅僅只有兩個步驟，但這兩個步驟是缺一不可的.數(shù)學歸納法是在可靠的基礎(chǔ)上利用命題本身具有傳遞性,運用“有限”的手段來解決“無限”的問題.三、數(shù)學歸納法的核心 在驗證命題n=n0正確的基礎(chǔ)上,證明命題具有傳遞性,而第二步實際上是以一次邏輯的推理代替了無限的驗證過程.所以說數(shù)學歸納法是一種合理、切實可行的科學證題方法，實現(xiàn)了有限到無限的飛躍. 深化升華 如何理解第二步驟？能否正確理解它關(guān)系到我們能否正確運用數(shù)學歸納法證題.同學們知道無窮多塊多米諾骨牌倒下的兩個必要條件：(1)起始的第一塊骨牌倒下；(2)如果任意相鄰的兩塊骨牌中前一塊倒下導致后一塊倒下.那么我們就可保證在啟動第一塊骨牌后，所有的骨牌都會倒下.上述數(shù)學歸納法的兩個步驟，是否很像多米諾骨牌的兩個必要條件. 數(shù)學歸納法的第（2）步要做的是證明一種遞推關(guān)系，即由n=k（kN，kn0）時命題成立去證明n=k+1時命題成立，而“n=k時命題成立”是作為導出“n=k+1時命題成立”的前提，因此采用了“假設(shè)當n=k（n0）時命題成立”的形式.切勿理解為n=k時，命題是果真成立，它只不過是為了導出n=k+1時命題成立的一個假設(shè)罷了，也正因為如此，在推證n=k+1時的命題時，需用到n=k時所假設(shè)的命題.（我們通常把這一假設(shè)稱為“歸納假設(shè)”）典題熱題知識點一： 數(shù)學歸納法的定義例1 求證：12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1).思路分析：本題就是考查對數(shù)學歸納法的理解，兩個步驟一個是命題成立的基礎(chǔ)，一個是命題之間可遞推的依據(jù)，二者缺一不可.證明：（1）當n=1時，左式=12=1，右式=1(1+1)(21+1)=1,左式=右式.當n=1時，命題成立（奠基步驟）.(2)假設(shè)當n=k(1)時，命題成立，即12+22+32+k2=k(k+1)(2k+1).（歸納假設(shè)）則當n=k+1時，右式=12+22+32+k2+(k+1)=k(k+1)(2k+1)+(k+1)2=(k+1)k(2k+1)+6(k+1)=(k+1)(k+2)(2k+3)=右式.當n=k+1時，命題也成立.由（1）（2）可知，對于一切自然數(shù)n，命題都成立.（結(jié)論）方法歸納 用數(shù)學歸納法證題要注意下面幾點：(1)證題的兩個步驟缺一不可，要認真完成第一步的驗證過程；(2)成敗的關(guān)鍵取決于第二步對n=k+1的證明：突破對“歸納假設(shè)”的運用；用好命題的條件；(3)正確選擇與命題有關(guān)的知識及變換技巧.知識點二： 數(shù)學歸納法證明整除性問題例2 用數(shù)學歸納法證明下述整除問題：求證：11n+2+122n+1(nN*)被133整除.思路分析：數(shù)學歸納法證明有關(guān)數(shù)或式的整除問題時，要充分利用整除的性質(zhì)，若干個數(shù)（或整式）都能被某一個數(shù)（或整式）整除，則其和、差、積也能被這個數(shù)（或整式）整除.證明：()當n=1時，113+123=1 331+1 728=3 059=13323能被133整除，當n=1時命題正確；()假設(shè)當n=k時命題正確，即11k+2+122k+1能被133整除，當n=k+1時，11k+3+122k+3=11(11k+2+122k+1)+122k+3-11122k+1=11(11k+2+122k+1)+122k+1(122-11)=11(11k+2+122k+1)+122k+1133.能被133整除，即當n=k+1時命題也正確.由()()知命題對nN*都正確.方法歸納 （1）證明整除性問題時，常用到以下整除的性質(zhì)：若a|b，且a|c，則a|(bc);若a|b，則a|bc，“a|b”表示a能整除b或b能被a整除.（2）在由n=k時命題成立，證明n=k+1，命題也成立時，要注意設(shè)法化去增加的項，通常要用到拆項、結(jié)合、添項、減項、分解、化簡等技巧.知識點三： 數(shù)學歸納法證明幾何計數(shù)問題例3 已知n個圓中每兩個圓相交于兩點，且無三圓過同一點，用數(shù)學歸納法證明：這n個圓將平面劃分成n2-n+2塊區(qū)域.思路分析：用數(shù)學歸納法解幾何問題.證明：（）當n=1時,1個圓將平面分成2部分，而2=12-1+2，當n=1時命題正確.()假設(shè)n=k時命題正確，即滿足條件的k個圓將平面劃分成k2-k+2部分，當n=k+1時，平面上增加了第k+1個圓，它與原來的k個圓的每一個圓都相交于兩個不同點，共2k個交點.而這2k個點將第k+1個圓分成2k段弧，每段弧將原來的一塊區(qū)域隔成了兩塊區(qū)域，區(qū)域的塊數(shù)增加了2k塊，k+1個圓將平面劃分成的塊數(shù)為(k2-k+2)+2k=k2+k+2=(k+1)2-(k+1)+2，n=k+1時命題也正確，根據(jù)()()知命題對nN*都正確.誤區(qū)警示 用數(shù)學歸納法證明幾何問題是教材中一種題型，但由于這種題型的證明主要是文字推理為主，所以語言一定精確，要能準確地描述第二步的假設(shè)，合理清晰地推導出結(jié)論.知識點四： 數(shù)學歸納法證明數(shù)列問題例4 用數(shù)學歸納法證明：如果an是一個等差數(shù)列，那么an=a1+(n-1)d對一切nN*都成立.思路分析：我們知道等差、等比數(shù)列的通項公式都是通過遞推得出結(jié)論的，無法用演繹法證明它們的無窮性，數(shù)學歸納法以一次邏輯的推理代替了無限的驗證過程.證明：（1）當n=1時，左=a1，右=a1+(1-1)d=a1，所以等式成立.(2)假設(shè)當n=k(kN)時等式成立，即ak=a1+(k-1)d.那么ak+1=ak+d=a1+(k-1)d+d=a1+(k+1)-1d.當n=k+1時，等式成立，由(1)(2)知對任何nN*等式成立.方法歸納 因為數(shù)列的通項公式，前n項和公式都是關(guān)于自然數(shù)n的函數(shù)，所以在關(guān)于這類問題的證明上，如果我們無法確定其他比較簡便的證明方法，那么數(shù)學歸納法是證明它們的一種有效方法.知識點五： 數(shù)學歸納法證明恒等式問題例5 用數(shù)學歸納法證明：（1）1(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2)=n2(n-1)(n+1).（2）=n2n-1.思路分析：(1)恒等式是我們用數(shù)學歸納法證明的常見題型，關(guān)鍵就是第二步n=k+1時的提取公式、分解因式等技巧的合理使用.(2)這是一個有關(guān)組合數(shù)的問題，它的明顯特征是每個組合數(shù)的系數(shù)與組合數(shù)的上標相同，同時它又是一個自然數(shù)命題，這就決定了它的證明方法的多樣性.證明：(1)（）當n=1時，左邊=1(12-12)=0，右邊=1202=0，左邊=右邊，n=1時等式成立.()假設(shè)n=k時等式成立，即1(k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2)=k2(k-1)(k+1)，當n=k+1時，左邊=1(k+1)2-12+2(k+1)2-22+k(k+1)2-k2+(k+1)(k+1)2-(k+1)2=1(k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2)+1(2k+1)+2(2k+1)+k(2k+1)=k2(k-1)(k+1)+(2k+1)=k(k+1)(k-1)+2(2k+1)=k(k+1)(k2+3k+2)=(k+1)2k(k+2)=右邊，即n=k+1時等式成立，根據(jù)()與()，等式對nN*都正確.(2)方法1：()當n=1時，左邊=C11=1=20=右邊，等式成立.()假設(shè)n=k時等式成立，即=k2-1，當n=k+1時，左邊=2k+2k2k-1=（k+1）2k=右邊.等式也成立.由()()知等式對nN*都成立.方法2：f(n)=0,f(n)=+(n-1)+0,由+得：2f（n）=n(+2+3+n)=n2n,f(n)=n2n-1.方法歸納 （1）在第（）步的證明中，必須清楚n=k時，n=k+1時所列等式的左右兩邊分別如何表達，并能正確使用歸納假設(shè)，尤其是代數(shù)變形能力（如因式分解、通分、拆項、湊項）的運用要熟練.（2）證明與自然數(shù)有關(guān)的命題時，數(shù)學歸納法并不是唯一的證明方法，第2小題就很好地說明了這個問題，所以我們應該優(yōu)先考慮常用的通法，現(xiàn)成的公式、定理等來證明，迅速作出抉擇是否用數(shù)學歸納法證明，以達到“化繁為簡”的目的.問題探究交流討論探究 問題 數(shù)學歸納法是證明與自然數(shù)命題的有效手段，是不是所有的自然數(shù)命題都能用數(shù)學歸納法證明呢？我們一起來嘗試用數(shù)學歸納法證明這樣一個命題：（nN+）.探究過程:這是一個與自然數(shù)n有關(guān)的不等式命題，同學們已經(jīng)能熟練的運用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，同學們會很自然的想到用數(shù)學歸納法來證明，那么大家不妨嚴格按照數(shù)學歸納法的兩個步驟來嘗試一下. 同學甲：（1）n=1時，左邊=，右邊=，則左邊右邊，不等式成立. 同學乙：（2）假設(shè)n=k時，不等式成立，即+.當n=k+1時，左邊=.n=k+1時，不等式也成立.根據(jù)（1）（2），原不等式對nN+都成立.老師：上面的證明正確嗎？如果不正確，問題出在哪里？同學丙：上面的證明不正確，可能是代數(shù)變形的方法不對吧.老師：甲、乙兩位同學是嚴格按照數(shù)學歸納法的兩個步驟來證明的，這本身并沒有問題，真正的錯誤原因是+0,且前n項和Sn=(an+)，求a1,a2,a3,a4,猜想an的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明你的猜想.探究過程:我們通過計算數(shù)列an的前4項，去主動發(fā)現(xiàn)它們所具備的規(guī)律（在形式上與自然數(shù)的關(guān)系），大膽猜想數(shù)列an的通項公式，然后利用數(shù)學歸納法證明我們猜想的正確性. 同學甲：通過計算，解得a1=1;a2=-1;a3=-;a4=-. 同學乙：由以上所求得的結(jié)果之形式，不難猜想an=. 同學丙：下面證明這個猜想：()當n=1時，a1=1=，猜想正確.（）假設(shè)n=k時，猜想正確，即ak=.則n=k+1時，Sk+1=Sk+ak+1=(