數(shù)學精神與方法第一講.ppt

數(shù)學精神與方法,第一講 從數(shù)學是什么談起,數(shù)學是什么歷史的理解,數(shù)學是人類文化中歷史最悠久的知識領域之一，是人類文明的一個重要組成部分。從遠古曲指計數(shù)到借助高速電子計算機進行大型科學計算，從勾股定理的發(fā)現(xiàn)到抽象公理化系統(tǒng)的產生，數(shù)學經過了五千余年的發(fā)展演變歷程。即使作為一門獨立而理性的學科，她也有兩千五百年的歷史了。 與其他學科領域相比，數(shù)學的發(fā)展具有很強的累積性。,數(shù)學正是經過這種發(fā)展的長期累積過程才鑄就出今天這般宏大的思想理論體系。數(shù)學常常被人們比喻成一棵茂密的大樹，她包含著并且正在生長出越來越多分枝。按照美國數(shù)學評論（Mathematical Reviews）的分類，當前數(shù)學學科包含60多個二級學科，400多個三級學科，更細的分科難以統(tǒng)計。可以說，數(shù)學歷經五千余年的累積演進，已經發(fā)展成為適用面最廣泛、應用功能最強大的學科；而且，她還是人們最信得過的學科之一，被稱作科學的基礎。,公元前6世紀以前，數(shù)學主要是關于“數(shù)”的研究，主要是計數(shù)、初等算術與算法，而幾何則只能看作是應用算術。這一歷史階段，數(shù)學在古埃及、巴比倫、印度與中國等地區(qū)得到率先發(fā)展。 從公元前6世紀開始，數(shù)學在希臘蓬勃興起并得到空前發(fā)展。希臘人主要對幾何感興趣，突出了對“形”的研究；他們當然也沒有忽略對“數(shù)”的研究，但卻將“數(shù)”放在了幾何的形式下去考察（只有少數(shù)例外，如丟番圖）。從那時起，一直到17世紀，數(shù)學的研究對象是數(shù)與形靜止的、常量的數(shù)與形；而且，兩千兩百年間數(shù)學的研究對象沒有本質的變化。數(shù)學于是成為了關于數(shù)與形的學問。,亞里士多德（Aristotle , 384322BCE）,“數(shù)學是量的科學?！?亞里士多德，世界古代史上最偉大的哲學家、科學家和教育家。他把科學分為：（1）理論的科學(數(shù)學、自然科學和后來被稱為形而上學的第一哲學)；（2）實踐的科學(倫理學、政治學、經濟學、戰(zhàn)略學和修飾學)；（3）創(chuàng)造的科學，即詩學。,笛卡爾（R. Descartes, 1596-1650）,“凡是以研究順序（order）和度量（measure）為目的的科學都與數(shù)學有關。” 由笛卡爾、費馬（P. de Fermat, 1601-1665）開創(chuàng)的解析幾何學，為數(shù)學乃至整個科學樹起了一座劃時代的里程碑，數(shù)學從此由常量時代進入了變量時代這標志著數(shù)學發(fā)展邁入了近代數(shù)學時期。,笛卡爾是法國哲學家兼數(shù)學家，其解析幾何的思想發(fā)表于1637年。,微積分的創(chuàng)立無疑是17世紀數(shù)學最為重要的成就，也是科學發(fā)展史上最重大的事件之一。由牛頓（Isaac Newton, 1642-1727）和萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716）所制定的微積分，本質上就是關于運動與變化的數(shù)學，它使科學家們能夠以數(shù)學為工具去深入研究行星運動、機械運動、流體運動以及動植物生長等等。因此，數(shù)學在牛頓和萊布尼茲生活的時代已經成為研究數(shù)與形、運動與變化的學問。,數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關系的科學。,弗里德里希恩格斯 (Friedrich Engels，1821-1895),然而，就在恩格斯所在的19世紀，數(shù)學家不僅僅研究現(xiàn)實世界中的數(shù)學對象，而且開始關注并研究數(shù)學自身的大量基礎性問題，而這類問題以數(shù)學自身的協(xié)調、完備以及模式化為目的只是出于使數(shù)學自身達到完美與統(tǒng)一的需要。 從19世紀后期開始，數(shù)學成為了研究數(shù)與形、運動與變化以及數(shù)學自身問題的學問，而且數(shù)學理論的論述呈現(xiàn)以公理化傾向為特征的規(guī)范形式。從此，數(shù)學發(fā)展進入了所謂現(xiàn)代數(shù)學階段。這種對數(shù)學自身問題的研究，實現(xiàn)了數(shù)與形的統(tǒng)一，促成了數(shù)學與邏輯的融合，開辟了全新而廣闊的數(shù)學發(fā)展空間和應用領域，從根本上刷新了人類的數(shù)學觀念。,康托爾（G. Cantor 1845-1918）,“數(shù)學是絕對自由發(fā)展的學科，它只服從明顯的思維。就是說，它的概念必須擺脫自相矛盾，并且必須通過定義而確定地、有秩序地與先前已經建立和存在的概念相聯(lián)系?！?康托爾是德國數(shù)學家，他關于集合論和拓撲學的論著使自己成為其思想對當代數(shù)學發(fā)生最大影響的人物之一。,羅素（B. Russell, 1872-1970）,“數(shù)學可以定義為這樣一門學科，我們永遠不知道其中所說的是什么，也不知道所說的內容是否正確?！?羅素，哲學家、數(shù)學家，英國人。他提出的羅素悖論撼動了整個數(shù)學理論的基礎，引發(fā)了第三次數(shù)學危機。,20世紀初，英國哲學家兼數(shù)學家羅素（B. Russell, 1872-1970）給數(shù)學下了如下一個定義： “純粹數(shù)學完全由這樣一類論斷組成，假定某個命題對某些事物成立，則可推出另外某個命題對同樣這些事物也成立。這里既不管第一個命題是否成立，也不管使此命題成立的那些事物究竟是什么，。只要我們的假定是關于一般事物的，而不是關于某些特殊事物的，那么我們的推理就構成為數(shù)學。這樣，數(shù)學可以定義為這樣一門學科，我們永遠不知道其中所說的（事物）是什么，也不知道所說的內容（斷語）是否正確。”,數(shù)學是什么？,20世紀80年代，一批美國學者將數(shù)學簡單地定義為關于“模式”的科學： “數(shù)學這個領域已被稱作模式的科學，其目的是要揭示人們從自然界和數(shù)學本身的抽象世界中所觀察到的結構和對稱性。”,這里的“模式”有著極廣泛的內涵，包括了數(shù)的模式、形的模式、運動的模式、變化的模式、通信的模式、推理的模式、行為的模式、 ；這些模式可以是現(xiàn)實中的模式，也可以是人腦所發(fā)明的模式，甚至是由其他模式所引出的模式或眾多模式一起才能表現(xiàn)出來的模式。,搜索并揭示隱藏模式的過程是在交織著許多對立面的斗爭中進行的，這些對立面是：具體與抽象、特殊與一般、有限與無限、離散與連續(xù)、算法的與存在的、隨機的與決定論的、精確的與近似的，等等。正是這些對立面的相互作用、反復綜合并在更高層面上達成統(tǒng)一，在不停地推動著數(shù)學的創(chuàng)造、更新和應用，在生動地體現(xiàn)著數(shù)學理論的思想脈搏和蓬勃生機。因此，這些對立統(tǒng)一因素構成了數(shù)學科學發(fā)展的基本要素，理應在數(shù)學教育中作為通識知識加以系統(tǒng)地闡釋。,數(shù)學是抽象的，追求精確性和可靠性,combinatorial mathematics 組合數(shù)學 commutative mathematics 可交換數(shù)學 constructive mathematics 構造性數(shù)學 discrete mathematics 離散數(shù)學 computational mathematics 計算數(shù)學 basic numerical mathematics 基本數(shù)值數(shù)學 engineering mathematics 工程數(shù)學,philosophy of mathematics 數(shù)學哲理 pure mathematics 純粹數(shù)學 reliability mathematics 可靠性數(shù)學 Roman mathematics 羅馬數(shù)學 elementary mathematics 初等數(shù)學 univeral mathematics 普通數(shù)學 classical mathematics 經典數(shù)學,隨著數(shù)學家開發(fā)模式的范圍自然地、無限制地擴張到任何領域中去，數(shù)學的歷史邊界已完全消失，同樣數(shù)學應用的邊界也沒有了：現(xiàn)代數(shù)學不再只是自然科學和工程技術領域（如物理學、化學、生物學、生態(tài)學、各種工程設計和控制技術等）的語言，它與計算機相結合已經成為眾多行業(yè)和部門（如銀行業(yè)、制造業(yè)、醫(yī)藥業(yè)、統(tǒng)計與審計部門、信息處理與信息安全部門等）以及社會科學領域（如經濟學、社會學、歷史學、心理學、考古學、語言學等）必不可少的工具。,applied mathematics 應用數(shù)學 astronautical mathematics 航天數(shù)學 biological mathematics 生物數(shù)學 bridge mathematics 橋牌中的數(shù)學 business mathematics 商業(yè)數(shù)學, 營業(yè)數(shù)學 economic mathematics 經濟數(shù)學 engineering mathematics 工程數(shù)學 vague mathematics 模糊數(shù)學 social mathematics 社會數(shù)學,數(shù)學應用的邊界沒有了,environmental mathematics 環(huán)境數(shù)學 finite mathematics 有窮數(shù)學, 有限數(shù)學 fixed-point mathematics 定點運算 floating-point mathematics 浮點運算 fuzzing fuzzy mathematics 模糊數(shù)學 higher mathematics 高等數(shù)學 insurance mathematics 保險數(shù)學 interval mathematics 區(qū)間數(shù)學,intuitionistic mathematics 直覺主義數(shù)學 managerial mathematics 管理數(shù)學 modern mathematics 【教】現(xiàn)代數(shù)學(教育運動口號) new mathematics 【教】新數(shù)學(教育運動口號) numerical mathematics 數(shù)值數(shù)學, 計算數(shù)學 operational mathematics 運算數(shù)學,源自希臘語 mathmatik (tekhn) 數(shù)學的（科學） , mathmatikos的陰性詞 數(shù)學的 ,數(shù)學 具有藝術的特征,“知道重大發(fā)明特別是那些絕非偶然的經過深思熟慮而得到的重大發(fā)明的真正起源是很有益的。這不僅在于歷史可以給每一位發(fā)明者以應有的評價，從而鼓舞其他人去爭取同樣的榮譽，而且還在于通過一些光輝的范例可以促進發(fā)現(xiàn)的藝術，揭示發(fā)現(xiàn)的方法?！?萊布尼茲（G. Leibniz, 1646-1716）,萊布尼茲是德國數(shù)學家。他是微積分的發(fā)明者，他所引進的微積分算法和符號比牛頓的算法和符號影響大得多，并沿用至今。,希爾伯特（ D. Hilbert , 1862-1943 ),“數(shù)學科學是一個不可分割的整體，它的生命力正是在于各個部分之間的聯(lián)系。