3.1.1兩角差的余弦公式(教、學(xué)案).doc

3.1.1兩角差的余弦公式一、教材分析兩角差的余弦公式是人教a版高中數(shù)學(xué)必修4第三章三角恒等變換第一節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式第一節(jié)課的內(nèi)容。本節(jié)主要給出了兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，獨(dú)立思索，自己得出相應(yīng)的結(jié)論。二、教學(xué)目標(biāo)1.引導(dǎo)學(xué)生建立兩角差的余弦公式。通過(guò)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，并為建立其他和差公式打好基礎(chǔ)。2.通過(guò)課題背景的設(shè)計(jì)，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。3.在探究公式的過(guò)程中，逐步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)合作交流的能力。三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn) 兩角差余弦公式的探索和簡(jiǎn)單應(yīng)用。難點(diǎn) 探索過(guò)程的組織和引導(dǎo)。四、學(xué)情分析之前學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的性質(zhì)，以及平面向量的運(yùn)算和應(yīng)用，在此基礎(chǔ)上，要考慮如何利用任意角的正弦余弦值來(lái)表示，牢固的掌握這個(gè)公式，并會(huì)靈活運(yùn)用公式進(jìn)行下一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。五、教學(xué)方法1.自主性學(xué)習(xí)法：通過(guò)自學(xué)掌握兩角差的余弦公式.2.探究式學(xué)習(xí)法：通過(guò)分析、探索、掌握兩角差的余弦公式的過(guò)程.3.反饋練習(xí)法：以練習(xí)來(lái)檢驗(yàn)知識(shí)的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距六、課前準(zhǔn)備1.學(xué)生準(zhǔn)備：預(yù)習(xí)兩角差的余弦公式，理解兩種方法的推理過(guò)程。2.教師準(zhǔn)備：課前預(yù)習(xí)學(xué)案，課內(nèi)探究學(xué)案，課后延伸拓展學(xué)案。七、課時(shí)安排：1課時(shí)八、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 以學(xué)校教學(xué)樓為背景素材（見(jiàn)課件）引入問(wèn)題。并針對(duì)問(wèn)題中的用計(jì)算器或不用計(jì)算器計(jì)算求值，以激趣激疑，導(dǎo)入課題。 教師問(wèn)：想一想: 學(xué)校因某次活動(dòng)的需要,需從樓頂?shù)腸點(diǎn)處往該點(diǎn)正對(duì)的地面上的a點(diǎn)處拉一條鋼繩,為了在購(gòu)買(mǎi)鋼繩時(shí)不至于浪費(fèi),你能算一算到底需要多長(zhǎng)鋼繩嗎? (要求在地面上測(cè)量,測(cè)量工具:皮尺,測(cè)角器)問(wèn)題：（1）能不能不用計(jì)算器求值 ： ， ，（2）設(shè)計(jì)意圖：由給出的背景素材，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活，喚起學(xué)生解決問(wèn)題的興趣，和拋出新知識(shí)引起學(xué)生的疑惑，在興趣和疑惑中，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引導(dǎo)學(xué)習(xí)方向。（二）、研探新知1.三角函數(shù)線(xiàn)法：?jiǎn)枺涸鯓幼鞒鼋?、的終邊。怎樣作出角的余弦線(xiàn)om怎樣利用幾何直觀尋找om的表示式。設(shè)計(jì)意圖：盡量用動(dòng)畫(huà)課件把探索過(guò)程展示出來(lái)，使學(xué)生能從幾何直觀角度加強(qiáng)對(duì)公式結(jié)構(gòu)形式的認(rèn)識(shí)。（1） 設(shè)角終邊與單位圓地交點(diǎn)為p1，。（2） 過(guò)點(diǎn)p作pmx軸于點(diǎn)m，那么om就是 的余弦線(xiàn)。（3） 過(guò)點(diǎn)p作paop1于a，過(guò)點(diǎn)a作abx軸于b，過(guò)點(diǎn)p作pcab于c那么 oa表示 ，ap 表示，并且于是 om=ob+bm =ob+cp =oa+ap = 最后要提醒學(xué)生注意，公式推導(dǎo)的前提條件：、都是銳角，且2.向量法：?jiǎn)枺航Y(jié)合圖形，明確應(yīng)選哪幾個(gè)向量，它們?cè)趺幢硎荆?怎樣利用向量數(shù)量積的概念和計(jì)算公式得到結(jié)果。 對(duì)探索的過(guò)程進(jìn)一步嚴(yán)謹(jǐn)性的思考和處理，從而得到合理的科學(xué)結(jié)論。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷利用向量知識(shí)解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)向量方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的簡(jiǎn)潔性。如圖,建立單位圓o由向量數(shù)量積的概念,有aobxy 由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,有因?yàn)?、都是任 意 角,所以也是任意角,但由誘導(dǎo)公式以總可找到一個(gè)，使得 。 于是對(duì)于任意角、都有 例1. 利用差角余弦公式求的值 （求解過(guò)程讓學(xué)生獨(dú)立完成，注意引導(dǎo)學(xué)生多方向、多維度思考問(wèn)題）解法1：解法2：變式訓(xùn)練：利用兩角差的余弦公式證明下列誘導(dǎo)公式：（1）； （2） （讓學(xué)生聯(lián)系公式和本題的條件，考慮清楚要計(jì)算，應(yīng)作那些準(zhǔn)備。） 解：由，得又由，是第三象限角，得所以讓學(xué)生結(jié)合公式，明確需要再求哪些三角函數(shù)值，可使問(wèn)題得到解決。變式訓(xùn)練：（三）、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 1.利用兩角和（差）的余弦公式，求【點(diǎn)評(píng)】：把一個(gè)具體角構(gòu)造成兩個(gè)角的和、差形式，有很多種構(gòu)造方法，例如：，要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.2.求值 3化簡(jiǎn) 提示：利用拆角思想的變換技巧（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)變式訓(xùn)練，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)公式的理解和應(yīng)用，體驗(yàn)公式既可正用、逆用，還可變用.還可使學(xué)生掌握“變角”和“拆角”的思想方法解決問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生的靈活思維品質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力，促進(jìn)思維的創(chuàng)新。） （四）發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)本節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩角和與差的余弦公式，要求同學(xué)們掌握公式的推導(dǎo)，能熟練運(yùn)用公式，注意公式的逆用。在解題過(guò)程中注意角、的象限，也就是符號(hào)問(wèn)題，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.課下完成本節(jié)的課后練習(xí)以及課后延展作業(yè)，課本習(xí)題2.3.4(設(shè)計(jì)意圖：布置下節(jié)課的預(yù)習(xí)作業(yè)，并對(duì)本節(jié)課鞏固提高。教師課后及時(shí)批閱本節(jié)的延伸拓展訓(xùn)練。)九、板書(shū)設(shè)計(jì)兩角差的余弦公式1.三角函數(shù)線(xiàn)法 2.向量法例1 變式訓(xùn)練 例2 變式訓(xùn)練當(dāng)堂訓(xùn)練1. 2.3. 4.十、教學(xué)反思本節(jié)主要考察如何用任意角的正弦余弦值來(lái)表示，回顧公式 的推導(dǎo)過(guò)程，觀察公式的特征，注意符號(hào)區(qū)別以及公式中角，的任意性，特別要注意公式既可正用、逆用，還可變用(即要活用).還要注意掌握“變角”和“拆角”的思想方法解決問(wèn)題.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)自己小結(jié)，反思學(xué)習(xí)過(guò)程，加深對(duì)公式及其推導(dǎo)過(guò)程（包括發(fā)現(xiàn)、猜想、論證的數(shù)學(xué)化的過(guò)程）的理解。 十一、學(xué)案設(shè)計(jì)(見(jiàn)下頁(yè)) 臨清三中數(shù)學(xué)組 編寫(xiě)人：趙娜 審稿人： 劉桂江 李懷奎3.1.1兩角差的余弦公式課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)預(yù)習(xí)兩角差的余弦公式，體會(huì)兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程 ，尤其是向量法的運(yùn)用。二、 預(yù)習(xí)內(nèi)容閱讀課本相關(guān)內(nèi)容，經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，進(jìn)一步體會(huì)向量方法作用，并回答以下問(wèn)題：1. 如何用任意角的正弦余弦值來(lái)表示；2. 如何求出的值;3. 會(huì)求的值嗎？三、 提出疑惑疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案一、 學(xué)習(xí)內(nèi)容通過(guò)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，并為建立其他和差公式打好基礎(chǔ)。二、 學(xué)習(xí)過(guò)程 探究一：（1）能不能不用計(jì)算器求值 ： ， ，（2）探究二：兩角差的余弦公式的推導(dǎo)1.三角函數(shù)線(xiàn)法：?jiǎn)枺涸鯓幼鞒鼋?、的終邊。怎樣作出角的余弦線(xiàn)om怎樣利用幾何直觀尋找om的表示式。2.向量法：?jiǎn)枺航Y(jié)合圖形，明確應(yīng)選哪幾個(gè)向量，它們?cè)趺幢硎荆?怎樣利用向量數(shù)量積的概念和計(jì)算公式得到結(jié)果。 對(duì)探索的過(guò)程進(jìn)一步嚴(yán)謹(jǐn)性的思考和處理，從而得到合理的科學(xué)結(jié)論。 例題整理例1. 利用差角余弦公式求的值 變式訓(xùn)練：利用兩角差的余弦公式證明下列誘導(dǎo)公式：（1）； （2）變式訓(xùn)練：。三、 反思總結(jié)本節(jié)主要考察如何用任意角的正弦余弦值來(lái)表示，回顧公式 的推導(dǎo)過(guò)程，觀察公式的特征，注意符號(hào)區(qū)別以及公式中角，的任意性，特別要注意公式既可正用、逆用，還可變用(即要活用).在求值的過(guò)程中，還要注意掌握“變角”和“拆角”的思想方法解決問(wèn)題.四、 當(dāng)堂檢測(cè)1.利用兩角和（差）的余弦公式，求2.求值 3化簡(jiǎn) 課后練習(xí)與提高一、選擇題1. 的值為 （ ）a. b. c. d. 2. 的值為 （ ）a. b. c. d .3.已知，則的值等于（ ）a. b. c. d. 二、填空題4.化簡(jiǎn)= 5.若，則= 三、解答題、6.已知，求的值. 3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本節(jié)的主要內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，為了引起學(xué)生學(xué)習(xí)本章的興趣，理解以?xún)山遣畹挠嘞夜綖榛A(chǔ)，推導(dǎo)兩角和、差正弦和正切公式的方法，體會(huì)三角恒等變換特點(diǎn)的過(guò)程，理解推導(dǎo)過(guò)程，掌握其應(yīng)用從而激發(fā)學(xué)生對(duì)本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)興趣和求知欲。二、教學(xué)目標(biāo)掌握兩角和與差公式的推導(dǎo)過(guò)程；培養(yǎng)學(xué)生利用公式求值、化簡(jiǎn)的分析、轉(zhuǎn)化、推理能力；發(fā)展學(xué)生的正、逆向思維能力，構(gòu)建良好的思維品質(zhì)。三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：兩角和與差公式的應(yīng)用和旋轉(zhuǎn)變換公式；難點(diǎn)：兩角和與差公式變asinabcosa為一個(gè)角的三角函數(shù)的形式。四、學(xué)情分析 五、教學(xué)方法1溫故、推新，循序漸進(jìn)，以學(xué)生為主體逐步掌握本節(jié)知識(shí)要點(diǎn)2學(xué)案導(dǎo)學(xué)：見(jiàn)后面的學(xué)案。3新授課教學(xué)基本環(huán)節(jié)：預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑情境導(dǎo)入、展示目標(biāo)合作探究、精講點(diǎn)撥反思總結(jié)、當(dāng)堂檢測(cè)發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)六、課前準(zhǔn)備多媒體課件七、課時(shí)安排：1課時(shí)八、教學(xué)過(guò)程（一）復(fù)習(xí)式導(dǎo)入：大家首先回顧一下兩角和與差的余弦公式：；這是兩角和與差的余弦公式，下面大家思考一下兩角和與差的正弦公式是怎樣的呢？提示：在第一章我們用誘導(dǎo)公式五（或六）可以實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化，這對(duì)我們解決今天的問(wèn)題有幫助嗎？讓學(xué)生動(dòng)手完成兩角和與差正弦和正切公式. 讓學(xué)生觀察認(rèn)識(shí)兩角和與差正弦公式的特征，并思考兩角和與差正切公式.（學(xué)生動(dòng)手）通過(guò)什么途徑可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同時(shí)除以，得到注意：以上我們得到兩角和的正切公式，我們能否推倒出兩角差的正切公式呢？注意：（二）例題講解例1、已知是第四象限角，求的值.解：因?yàn)槭堑谒南笙藿?，得?，于是有 兩結(jié)果一樣，我們能否用第一章知識(shí)證明？例2、利用和（差）角公式計(jì)算下列各式的值：（1）、；（2）、；（3）、解：分析：解此類(lèi)題首先要學(xué)會(huì)觀察，看題目當(dāng)中所給的式子與我們所學(xué)的兩角和與差正弦、余弦和正切公式中哪個(gè)相象.（1）、；（2）、；（3）、例3、化簡(jiǎn)解：此題與我們所學(xué)的兩角和與差正弦、余弦和正切公式不相象，但我們能否發(fā)現(xiàn)規(guī)律呢？ 思考：是怎么得到的？，我們是構(gòu)造一個(gè)叫使它的正、余弦分別等于和的.（三）反思總結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)。本節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩角和與差正弦、余弦和正切公式，我們要熟記公式，在解題過(guò)程中要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.教師組織學(xué)生反思總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，并進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)。設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)并對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單的反饋糾正。（課堂實(shí)錄）（四）發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)。設(shè)計(jì)意圖：布置下節(jié)課的預(yù)習(xí)作業(yè)，并對(duì)本節(jié)課鞏固提高。教師課后及時(shí)批閱本節(jié)的延伸拓展訓(xùn)練。九、板書(shū)設(shè)計(jì)十、教學(xué)反思注重教學(xué)過(guò)程，注重探索，應(yīng)貫穿于每一節(jié)課的始終。充分挖掘知識(shí)之間、例題之間、例題與練習(xí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過(guò)不斷地提出問(wèn)題、解決問(wèn)題，逐步培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。 在后面的教學(xué)過(guò)程中會(huì)繼續(xù)研究本節(jié)課，爭(zhēng)取設(shè)計(jì)的更科學(xué)，更有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)，也希望大家提出寶貴意見(jiàn)，共同完善，共同進(jìn)步!十一、學(xué)案設(shè)計(jì)(見(jiàn)下頁(yè)) 臨清三中數(shù)學(xué)組 編寫(xiě)人：管瑞臣 審稿人：劉桂江 李懷奎3.1.2 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，初步運(yùn)用公式求一些角的三角函數(shù)值；2.經(jīng)歷兩角和與差的三角公式的探究過(guò)程，提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力；二、預(yù)習(xí)內(nèi)容1、在一般情況下sin(+)sin+sin,cos(+)cos+cos. 2、已知，那么( )a、 b、 c、 d、3.在運(yùn)用公式解題時(shí)，既要注意公式的正用，也要注意公式的反用和變式運(yùn)用.如公式tan()= 可變形為：tantan=tan()(1tantan);tantan=1-,4、又如：asin+bcos= (sincos+cossin)= sin(+),其中tan=等，有時(shí)能收到事半功倍之效. =_.三、提出疑惑同學(xué)們，通過(guò)你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的余弦公式，以及兩角和與差的正弦、正切公式，了解公式間的內(nèi)在聯(lián)系。2.能應(yīng)用公式解決比較簡(jiǎn)單的有關(guān)應(yīng)用的問(wèn)題。學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：1. 教學(xué)重點(diǎn)：兩角和、差正弦和正切公式的推導(dǎo)過(guò)程及運(yùn)用；2. 教學(xué)難點(diǎn)：兩角和與差正弦、余弦和正切公式的靈活運(yùn)用.二、學(xué)習(xí)過(guò)程（一）復(fù)習(xí)式導(dǎo)入：大家首先回顧一下兩角和與差的余弦公式：動(dòng)手完成兩角和與差正弦和正切公式.觀察認(rèn)識(shí)兩角和與差正弦公式的特征，并思考兩角和與差正切公式.通過(guò)什么途徑可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同時(shí)除以，得到注意：以上我們得到兩角和的正切公式，我們能否推倒出兩角差的正切公式呢？注意：（二）例題講解例1、已知是第四象限角，求的值.例2、利用和（差）角公式計(jì)算下列各式的值：（1）、；（2）、；（3）、例3、化簡(jiǎn) （三）反思總結(jié) (四)當(dāng)堂檢測(cè)(a)(b)(c)(d)(a)(b)(d)(a)(b)(c)(d)參考答案1、 2、c 3、a 4、 5、1 6、 課后練習(xí)與提高1. 已知求的值（ ）2. 若3、函數(shù)的最小正周期是_.4、為第二象限角， 3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教學(xué)目標(biāo)以?xún)山呛驼?、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推導(dǎo)過(guò)程，掌握其應(yīng)用.二、教學(xué)重、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：以?xún)山呛偷恼?、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式；教學(xué)難點(diǎn)：二倍角的理解及其靈活運(yùn)用.三、學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：研討式教學(xué)四、教學(xué)設(shè)想：（一）復(fù)習(xí)式導(dǎo)入：大家首先回顧一下兩角和的正弦、余弦和正切公式，；我們由此能否得到的公式呢？（學(xué)生自己動(dòng)手，把上述公式中看成即可），（二）公式推導(dǎo)：；思考：把上述關(guān)于的式子能否變成只含有或形式的式子呢？；注意： （三）例題講解例1、已知求的值解：由得又因?yàn)橛谑?；例、已知求的值解：，由此得解得或（四）課堂練習(xí)：詳見(jiàn)學(xué)案（五）小結(jié)：本節(jié)我們學(xué)習(xí)了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我們要熟記公式，在解題過(guò)程中要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用.（六）作業(yè)：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 臨清三中數(shù)學(xué)組 編寫(xiě)人：張光福 審稿人： 劉桂江 李懷奎3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)回顧兩角和正弦、余弦和正切公式，為推到二倍角的正弦、余弦和正切公式做好鋪墊。二、預(yù)習(xí)內(nèi)容 請(qǐng)大家首先回顧一下兩角和的正弦、余弦和正切公式： ； ； 。三、提出疑惑我們由此能否得到的公式呢？（學(xué)生自己動(dòng)手，把上述公式中看成即可）。課內(nèi)探究學(xué)案一、公式推導(dǎo)：；思考：把上述關(guān)于的式子能否變成只含有或形式的式子呢？