概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)JA(48,3-4)1.ppt

三 、 頻 率 與 概 率,1） 頻率的定義和性質(zhì),定義: 在相同的條件下，進(jìn)行了n 次試驗(yàn)， 在這 n 次試驗(yàn)中，事件 A 發(fā)生的次數(shù) nA 稱為 事件 A 發(fā)生的頻數(shù)。比值 n A / n 稱為事件 A 發(fā)生的頻率，并記成 fn(A) 。,第一章 概率論的基本概念,1 隨機(jī)事件的概率,第一章 概率論的基本概念,它具有下述性質(zhì):,1 隨機(jī)事件的概率,2 ） 頻率的穩(wěn)定性,實(shí) 驗(yàn) 者 德摩根 蒲 豐 K 皮爾遜 K 皮爾遜,n nH fn(H),2048 4040 12000 24000,1061 2048 6019 12012,0.5181 0.5096 0.5016 0.5005,第一章 概率論的基本概念,1 隨機(jī)事件的概率,頻 率 穩(wěn) 定 值 概率,事件發(fā)生 的頻繁程度,事件發(fā)生 的可能性的大小,頻率的性質(zhì),概率的公理化定義,第一章 概率論的基本概念,1 隨機(jī)事件的概率,3） 概率的定義,定義 設(shè) E 是隨機(jī)試驗(yàn)，S 是它的樣本空間，對(duì)于 E 的每一個(gè)事件 A 賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為 P(A), 稱為事件 A 的概率，要求集合函數(shù) P( . ) 滿足下列條件：,第一章 概率論的基本概念,1 隨機(jī)事件的概率,4 ） 概率的性質(zhì)與推廣,第一章 概率論的基本概念,1 隨機(jī)事件的概率,第一章 概率論的基本概念,1 隨機(jī)事件的概率,第一章 概率論的基本概念,1 隨機(jī)事件的概率,性質(zhì) 9,第一章 概率論的基本概念,1 隨機(jī)事件的概率,要求：熟練掌握概率的性質(zhì),第一章 概率論的基本概念,1）加法原理：完成某件事有兩類方法，第一類有n種，第二類有m種，則完成這件事共有n+m種方法。,3） 排列： (1)有重復(fù)排列:在有放回選取中，從n個(gè)不同元素中取 r個(gè)元素進(jìn)行排列，稱為有重復(fù)排列，其總數(shù)為 。,四、排列組合公式,2）乘法原理：完成某件事有兩個(gè)步驟，第一步有n種方法，第二步有m種方法，則完成這件事共有nm種方法。,1 隨機(jī)事件的概率,第一章 概率論的基本概念,4）組合： （1）從 n 個(gè)不同元素中取 r 個(gè)元素組成一組，不考慮其順序，稱為組合，其總數(shù)為,（2）選排列：在無放回選取中，從 n 個(gè)不同元素中取 r 個(gè)元素進(jìn)行排列，稱為選排列，其總數(shù)為,1 隨機(jī)事件的概率,說明 ：如果把 n 個(gè)不同元素分成兩組，一組 r 個(gè)，另一組 n-r 個(gè)，組內(nèi)元素不考慮順序，那么不同分法有 種。,第一章 概率論的基本概念,（2）多組組合：把n個(gè)不同元素分成k組 , 使第 組有 個(gè)元素， ，若組內(nèi)元素不考 慮順序，那么不同分法有 種。,（3）常用組合公式：,1 隨機(jī)事件的概率,說明：熟練運(yùn)用排列組合公式對(duì)求概率問題 是很重要的。,2 等可能概型,等可能概型（古典概型）,第一章 概率論的基本概念,生活中有這樣一類試驗(yàn)，它們的共同特點(diǎn)是： 樣本空間的元素只有有限個(gè)； 每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。,一、 等可能概型（古典概型）,我們把這類實(shí)驗(yàn)稱為等可能概型，考慮到它在概 率論早期發(fā)展中的重要地位，又把它叫做古典概型。,第一章 概率論的基本概念,2等可能概型,設(shè) S =e1, e2, en , 由古典概型的等可能性，得,又由于基本事件兩兩互不相容；所以,第一章 概率論的基本概念,2等可能概型,若事件 A 包含 k 個(gè)基本事件，即 A =e1, e2, ek , 則有 ：,第一章 概率論的基本概念,2等可能概型,例 1 把一套4卷本的書隨機(jī)地?cái)[放在書架上，問： 恰 好排成序（從左至右或從右至左）的概率是多少？,解：,第一章 概率論的基本概念,2等可能概型,將書隨機(jī)地?cái)[放在書架上，每一種放法就是一 個(gè)基本事件，共有放法4！種。,把書恰好排成序有兩種放法。 所以，所求概率為,例 2 將 n 只球隨機(jī)的放入 N (N n) 個(gè)盒子中去， 求每個(gè)盒子至多有一只球的概率(設(shè)盒子的容量不限）。,解： 將 n 只球放入 N 個(gè)盒子中去, 共有,而每個(gè)盒子中至多放一只球, 共有,第一章 概率論的基本概念,思考：某指定的n 個(gè)盒子中各有一球的概率。,2等可能概型,此例可以作為許多問題的數(shù)學(xué)模型，比如用此公式可以得出： “在一個(gè)有64人的班級(jí)里，至少有兩人生日相同”的概率為 99.7%。,n p,20 23 30 40 50 64 100,0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997,經(jīng)計(jì)算可得下述結(jié)果：,第一章 概率論的基本概念,等可能概型,2等可能概型,例3 同時(shí)擲 5 顆骰子，試求下列事件的概率： A = 5 顆骰子不同點(diǎn) ； B = 5 顆骰子恰有 2 顆同點(diǎn) ； C = 5 顆骰子中有 2 顆同點(diǎn)，另外 3 顆 同是另一個(gè)點(diǎn)數(shù),第一章 概率論的基本概念,2等可能概型,解：,第一章 概率論的基本概念,等可能概型,2等可能概型,例4 設(shè)有 N 件產(chǎn)品，其中有 M 件次品，今從中任 取 n 件，問其中恰有 k ( k M ) 件次品的概率是多少?,又 在 M 件次品中取 k 件，所有可能的取法有,在 N-M 件正品中取 n-k 件, 所有可能的取法有,解：在 N 件產(chǎn)品中抽取 n 件，取法共有,第一章 概率論的基本概念,等可能概型,2等可能概型,于是所求的概率為：,此式即為超幾何分布的概率公式。,由乘法原理知：在 N 件產(chǎn)品 中取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有,第一章 概率論的基本概念,等可能概型,2等可能概型,2） 有放回抽樣,而在 N 件產(chǎn)品 中取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有,于是所求的概率為：,從 N 件產(chǎn)品中有放回地抽取n 件產(chǎn)品進(jìn)行排列，可能的排列數(shù)為 個(gè)，將每一排列看作基本事件，總數(shù)為 。,此式即為二項(xiàng)分布的概率公式。,第一章 概率論的基本概念,等可能概型,2等可能概型,第一章 概率論的基本概念,2等可能概型,例 5 某接待站在某一周曾接待過 12 次來訪，已 知所有這 12 次接待都是在周二和周四進(jìn)行的。問 是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的？,解：假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有規(guī)定，各來訪者在 一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12 次 接待來訪者都在周二、周四的概率為: 212/712=0.0000003， 即千萬(wàn)分之三。,人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件 在一次實(shí)驗(yàn)中幾乎是不發(fā)生的”（稱之為實(shí)際推 斷原理）。現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗(yàn)中 竟然發(fā)生了，從而可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的。,第一章 概率論的基本概念,等可能概型,2等可能概型,例 6 將 n個(gè)男生和m個(gè)女生(mn) 隨機(jī)地排成一列,問：任意兩個(gè)女生都不相鄰的概率是多少？,解：,第一章 概率論的基本概念,2等可能概型,任意兩個(gè)女生都不相鄰時(shí)，,首先n個(gè)男生的排法有n!種，,每?jī)蓚€(gè)相鄰男生之間有一個(gè)位置可以站女生，還有隊(duì) 列兩側(cè)各有一個(gè)位置可以站女生，這樣m個(gè)女生共有 n+1個(gè)位置可以站，,所以，任意兩個(gè)女生都不相鄰這一事件的概率為,n+m個(gè)學(xué)生隨機(jī)地排成一列共有排法(n+m)!種,總共排法有 種。,思考題：如果這n+m個(gè)學(xué)生不是排成一列，而是排成一個(gè)圓狀，首尾相接，這時(shí)，任意兩個(gè)女生都不相鄰的概率是多少？,第一章 概率論的基本概念,2等可能概型,例 7 袋中有 a只白球，b 只黑球從中將球取出 依次排成一列，問第 k 次取出的球是黑球的概率,解： 設(shè) A=“第 k 次取出的球是黑球”,第一章 概率論的基本概念,2等可能概型,例 8 從 19 這 9 個(gè)數(shù)中有放回地取出 n 個(gè). 試求取出的 n 個(gè)數(shù)的乘積能被 10 整除的概率 解：A =取出的 n 個(gè)數(shù)的乘積能被 10 整除； B = 取出的 n 個(gè)數(shù)至少有一個(gè)偶數(shù) ； C =取出的 n 個(gè)數(shù)至少有一個(gè) 5 則 A = B C.,第一章 概率論的基本概念,2等可能概型,第一章 概率論的基本概念,街頭摸獎(jiǎng)問題：,一位賭主在街頭設(shè)攤“摸彩”，他拿著一個(gè)布袋，內(nèi)裝6個(gè)紅球和6個(gè)綠球，除顏色不同外，球的形狀、大小、質(zhì)量都相同。每次讓人從袋中摸出6個(gè)球，輸贏規(guī)則為：,6個(gè)全紅得100元 5紅1綠 得50元 4紅2綠 得20元 3紅3綠 得-100元 2紅4