微分形式的基本方程流體力學(xué).ppt

,B3.1 微分形式的質(zhì)量守恒方程,B3.1.1 流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性原理,不可壓縮流體流進(jìn)控制體的質(zhì)量應(yīng)等于流出控制體的質(zhì)量， 稱其為流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性原理。,17世紀(jì)，哈維發(fā)現(xiàn)人體血液循環(huán)理論,質(zhì)量守恒在易變形的流體中的體現(xiàn)流動(dòng)連續(xù)性。,歷史上對(duì)連續(xù)性的認(rèn)識(shí),古 代，漏壺、水流計(jì)時(shí),16世紀(jì)，達(dá)芬奇指出河水流速與河橫截面積成反比,18世紀(jì)，達(dá)朗貝爾推導(dǎo)不可壓縮流體微分形式連續(xù)性方程,B3.1.1 流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性原理(2-1),B3.1.1 流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性(2-2),17世紀(jì)哈維：血液循環(huán)理論,解剖發(fā)現(xiàn)：從心臟到動(dòng)脈末端血液單向 流動(dòng)，從靜脈末端到心臟也 是單向流動(dòng),定量測量：每小時(shí)流出心臟血液245kg,大膽預(yù)言：從動(dòng)脈到靜脈再回心臟,45年后發(fā)現(xiàn)：毛細(xì)血管的存在,血液循環(huán)理論流體連續(xù)性原理的勝利,血液循環(huán)圖,B3.1.2 微分形式的連續(xù)性方程,x，y，z方向凈流出質(zhì)量為,因密度變化引起的質(zhì)量減少為,由質(zhì)量守恒定律,單位時(shí)間單位體積內(nèi),B3.1.2 微分形式的連續(xù)性方程(2-1),B3.1.2 微分形式的連續(xù)性方程(2-2),用場量公式并運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念，微分形式連續(xù)性方程為,或改寫為：,左邊代表一點(diǎn)鄰域內(nèi)流體體積的相對(duì)膨脹速率，右邊代表密度相對(duì)減少率。連續(xù)性方程適用于任何同種流體。,不可壓縮流體連續(xù)性方程,例B3.1.2 不可壓縮流動(dòng)連續(xù)性方程,求： v,解： 由不可壓縮流動(dòng)連續(xù)性方程的二維形式,可得,（B3.1.11）,B3.2 作用在流體元上的力,B3.2.1 體積力和表面力,1.體積力,單位質(zhì)量流體上的體積力,單位體積流體上的體積力,B3.2.1 體積力和表面力(2-1),B3.2.1 體積力和表面力(2-2),2.表面力,表面力定義：作用在單位平面面積元上的短程力。,n面積元外法線單位矢,n面積元內(nèi)法線單位矢,（注意： 和 不一定與 垂直）,B3.2.2 重力場,在直角坐標(biāo)系的重力場中,稱為重力勢，代表單位質(zhì)量流體具有的重力勢能,B3.2.2 重力場,B3.2.3 應(yīng)力場,1.運(yùn)動(dòng)粘性流體中的應(yīng)力狀態(tài),B3.2.3 應(yīng)力場(4-1),表面應(yīng)力的分量式,B3.2.3 應(yīng)力場(4-2),作用在外法矢沿x軸向的面積元dAx上三個(gè)應(yīng)力分量如圖示,B3.2.3 應(yīng)力場(4-3),2.靜止流體中的應(yīng)力狀態(tài),結(jié)論：靜止流體中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)只用一個(gè)標(biāo)量靜壓強(qiáng)p表示.,B3.2.3 應(yīng)力場(4-4),3.應(yīng)力的常用表達(dá)式,運(yùn)動(dòng)粘性流體中的(平均)壓強(qiáng),在法向應(yīng)力中把壓強(qiáng)分離出來,為附加法向應(yīng)力分量（與流體元線應(yīng)變率有關(guān)）,壓強(qiáng)矩陣 偏應(yīng)力矩陣,應(yīng)力矩陣表示為,例B3.2.3 平面線性剪切流中的應(yīng)力狀態(tài),已知：平面線性剪切流,求： 應(yīng)力狀態(tài),切應(yīng)力,法向應(yīng)力,（k為常數(shù)）,例B3.2.3A 剛體旋轉(zhuǎn)流動(dòng):純旋轉(zhuǎn)(2-1),已知：二維不可壓縮平面流場為,求： 試分析該流場中的應(yīng)力狀態(tài),（k為常數(shù)）,流體中任一點(diǎn)的法向應(yīng)力為,切向應(yīng)力為,例B3.2.3A 剛體旋轉(zhuǎn)流動(dòng):純旋轉(zhuǎn)(2-2),B3.3 微分形式的動(dòng)量方程,按牛頓第二定律，長方體流體元的運(yùn)動(dòng)方程為,各面元上 x 方向表面應(yīng)力的分量如圖示。,B3.3 微分形式的動(dòng)量方程(2-1),表面力合力 dFsx 由應(yīng)力梯度造成,x方向的體積力分量為,將dFsx和dFbx代入運(yùn)動(dòng)方程，并利用 和質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念，可化為,同理可得,上式稱為粘性流體運(yùn)動(dòng)一般微分方程，適用于任何流體。,B3.3 微分形式的動(dòng)量方程(2-2),B3.4 納維斯托克斯方程,斯托克斯假設(shè)：1.將牛頓粘性定律從一維推廣到三維； 2.流體各向同性； 3.靜止時(shí)法向應(yīng)力等于靜壓強(qiáng)。,均代入粘性流體運(yùn)動(dòng)一般微分方程,對(duì)牛頓流體（常數(shù)）,B3.4 納維斯托克斯方程(4-1),不可壓縮條件（常數(shù)）,B3.4 納維斯托克斯方程(4-2),可得均質(zhì)不可壓縮牛頓流體的納維-斯托克斯方程(NS方程),NS方程的適用條件是：,B3.4 納維斯托克斯方程(4-3),NS方程的矢量式為,NS方程的意義和求解：,物理意義是：慣性力與體積力、壓力、粘性力平衡,對(duì)不同的流動(dòng)專題可作不同程度的簡化（見專題篇）。,B3.4 納維斯托克斯方程(4-4),B3.5 邊界條件與初始條件,1.常見邊界條件,(1)固體壁面,粘性流體：不滑移條件(圖a),無粘性流體：法向速度連續(xù)(圖b),v = v固,vn = v n固,(2)外流無窮遠(yuǎn)條件,v = v， p = p,B3.5 邊界條件與初始條件 (2-1),(3)內(nèi)流出入口條件,v = vin (out)， p = p in (out),(4)自由面條件,2.初始條件,定常流時(shí)無初始條件,不定常流時(shí)給出某時(shí)刻的參數(shù)值：,v(t0), p (t0), (t0) 等,B3.5 邊界條件與初始條件(2-2),例B3.5.1A 沿斜坡的重力粘性層流(3-1),已知：不可壓牛頓流體在重力作用下沿斜坡()作定常層流流動(dòng)，流層 深h，自由面上為大氣壓（p0）。,(a),求： (1) 速度分布 (2) 壓強(qiáng)分布 (3) 切應(yīng)力分布 (4) 流量,(b),(c),例B3.5.1A 沿斜坡的重力粘性層流(3-2),因v0，由（a）式,由（c）式,積分兩次,流量,速度分布為,切應(yīng)力分布,例B3.5.1A 沿斜坡的重力粘性層流(3-3),由邊界條件(2): y=0 , u=0 可得 C2 =0,由邊界條件(3): y=b ,B3.6壓強(qiáng)場,由NS方程,B3.6 壓強(qiáng)場,B3.6.1 靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布,均質(zhì)靜止流體 = 常數(shù)，uvw0,在重力場中,上式說明：z方向壓強(qiáng)梯度由單位體積流體的重力決定。,積分可得,B3.6.1 靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布 (3-1),1.壓強(qiáng)分布一般表達(dá)式,由N-S方程可得,B3.6.1 靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布(3-2),2.具有自由液面的重力液體 壓強(qiáng)公式,為自由面上的壓強(qiáng)，h為淹深,(1)在垂直方向壓強(qiáng)與淹深成線性關(guān)系,(2)在水平方向壓強(qiáng)保持常數(shù),B3.6.1 靜止重力流體中的壓強(qiáng)分布(3-3),3.等壓面,在連通的同種流體中的等壓強(qiáng)面稱為等壓面。,在靜止重力流體中的等壓面為水平面,h常數(shù),非等壓面,11 為不連通液體,22 為不同液體,例B3.6.1 靜壓強(qiáng)分布圖,B3.6.2 壓強(qiáng)計(jì)示方式與單位,壓強(qiáng)計(jì)示方式,習(xí)慣上取,壓強(qiáng)基準(zhǔn),真空度,完全真空,表壓強(qiáng),大氣壓強(qiáng),B3.6.2 壓強(qiáng)計(jì)算方法與單位(2-1),由壓強(qiáng)公式,p0提供壓強(qiáng)基準(zhǔn),B3.6.2 壓強(qiáng)計(jì)算方法與單位(2-2),2.壓強(qiáng)單位,標(biāo)準(zhǔn)大氣壓atm(標(biāo)準(zhǔn)國際大氣模型),液柱高：,國際單位制（SI）：帕斯卡Pa,毫米汞柱mmHg（血壓計(jì)）,米水柱mH2O （水頭高）,測壓管高度 h = pA /g,例B3.6.2 單管測壓計(jì)（21）,已知：圖示密封容器中液體(),在A點(diǎn)接上單管測壓計(jì),求： 與測壓管高度h 的關(guān)系,h為被測點(diǎn)的淹深，稱為測壓管高度.,例B3.6.2 U形管測壓計(jì)（22）,求： ( ,表壓強(qiáng) 真空壓強(qiáng) 絕對(duì)壓強(qiáng)）,例B3.6.2A U形管差壓計(jì),已知：圖示盛滿水封閉容器高差 , U形管水銀測壓計(jì)中液面差h =10cm,求： ( ,表壓強(qiáng) 絕對(duì)壓強(qiáng)）,B3.6.3 運(yùn)動(dòng)流場中的壓強(qiáng)分布,壓強(qiáng)系數(shù),1.慣性力對(duì)壓強(qiáng)分布的影響,p 0，v 0為參考值，對(duì)外流場取p，v,B3.6.3 運(yùn)動(dòng)