2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第2節(jié)二項(xiàng)式定理教學(xué)案含解析.docx

第二節(jié)二項(xiàng)式定理考綱傳真會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題1二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理：(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)；(2)通項(xiàng)公式：Tr1Canrbr，它表示第r1項(xiàng)；(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)C，C，C.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)描述對(duì)稱性與首末等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即CC增減性二項(xiàng)式系數(shù)C當(dāng)k(nN*)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的最大值當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， 中間的一項(xiàng)取得最大值當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)和相等，同時(shí)取得最大值1CCCC2n.2CCCCCC2n1.基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)Cankbk是(ab)n的展開式中的第k項(xiàng)( )(2)二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng)( )(3)(ab)n的展開式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無(wú)關(guān)( )(4)通項(xiàng)Tk1Cankbk中的a和b不能互換( )答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)(12x)4展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為( )A6 B6C24 D24A(12x)4展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C6.故選A.3(教材改編)二項(xiàng)式的展開式中x3y2的系數(shù)是( )A5 B20C20 D5A二項(xiàng)式5的通項(xiàng)為Tr1C (2y).根據(jù)題意，得解得r2.所以x3y2的系數(shù)是C(2)25.故選A.4(教材改編)的值為( )A1 B2C2 019 D2 0192 020B原式1.故選A.5(1x)n的二項(xiàng)展開式中，僅第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則n_.10T6Cx5，又僅有第6項(xiàng)的系數(shù)最大，n10.二項(xiàng)展開式的有關(guān)問(wèn)題【例1】(1)(x22)的展開式的常數(shù)項(xiàng)是( )A3 B2C2 D3(2)(2018廣州二模)的展開式中，x3y3的系數(shù)是_(用數(shù)字作答)(1)D(2)120(1)能夠使其展開式中出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，由多項(xiàng)式乘法的定義可知需滿足：第一個(gè)因式取x2項(xiàng)，第二個(gè)因式取項(xiàng)得x2C(1)45；第一個(gè)因式取2，第二個(gè)因式取(1)5得2(1)5C2，故展開式的常數(shù)項(xiàng)是5(2)3，故選D.(2)表示6個(gè)因式x2y的乘積，在這6個(gè)因式中，有3個(gè)因式選y，其余的3個(gè)因式中有2個(gè)選x2，剩下一個(gè)選，即可得到x3y3的系數(shù)即x3y3的系數(shù)是CC(2)203(2)120.規(guī)律方法求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)的方法,求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)Tk1的特點(diǎn)，一般需要建立方程求k，再將k的值代回通項(xiàng)求解，注意k的取值范圍(k0，1，2，n).(1)第m項(xiàng)：此時(shí)k1m，直接代入通項(xiàng)；(2)常數(shù)項(xiàng)：即這項(xiàng)中不含“變?cè)?，令通?xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為0建立方程；(3)有理項(xiàng)：令通項(xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為整數(shù)建立方程.,特定項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題及相關(guān)參數(shù)值的求解等都可依據(jù)上述方法求解.(4)求特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)要多從組合的角度求解，一般用通項(xiàng)公式太麻煩. (1)若的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，則實(shí)數(shù)a的值為( )A2 B.C2 D(2)已知在的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則展開式中所有的有理項(xiàng)分別是_(1)A(2)x2，x2(1)的展開式的通項(xiàng)為Tr1，令123r0，得r4.故C，即，解得a2.故選A.(2)由Tr1r.第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，r5時(shí)有0，即n10.當(dāng)時(shí)，即r2,5,8時(shí)Z，所以展開式中的有理項(xiàng)分別為x2，x2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用考法1二項(xiàng)式系數(shù)的和【例2】(1)在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為321，則x2的系數(shù)為( )A50 B70C90 D120(2)(2019汕頭質(zhì)檢)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，則實(shí)數(shù)m的值為_(1)C(2)3或1(1)令x1，則n4n，所以n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和為4n，又二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，所以2n32，解得n5.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr1Cx5rrC3rx5r，令5r2，得r2，所以x2的系數(shù)為C3290，故選C.(2)令x0，則(2m)9a0a1a2a9，令x2，則m9a0a1a2a3a9，又(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39，(2m)9m939，m(2m)3，m3或m1.考法2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)【例3】設(shè)m為正整數(shù)，(xy)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(xy)2m1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a7b，則m( )A5 B6C7 D8B根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，(xy)2m的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)有一項(xiàng)，即Ca，(xy)2m1的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)有兩項(xiàng)，即CCb.又13a7b，所以13C7C，將各選項(xiàng)中m的取值逐個(gè)代入驗(yàn)證，知m6滿足等式規(guī)律方法1.“賦值法”普遍適用于恒等式，對(duì)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法.2.若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0a2a4偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1a3a5 (1)若的展開式中含x的項(xiàng)為第6項(xiàng)，設(shè)(13x)na0a1xa2x2anxn，則a1a2an的值為_(2)已知的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和為32，的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_(1)255(2)40(1)n展開式的第k1項(xiàng)為Tk1C(x2)nkC(1)kx2n3k，當(dāng)k5時(shí)，2n3k1，n8.對(duì)(13x)8a0a1xa2x2a8x8，令x1，得a0a1a828256.又當(dāng)x0時(shí)，a01，a1a2a8255.(2)的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和為32，所以2n32，所以n5.令x1，得的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和為(1a)(21)52，所以a1，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C(1)3253C(1)225240.1(2017全國(guó)卷)(1x)6展開式中x2的系數(shù)為( )A15 B20 C30 D35C因?yàn)?1x)6的通項(xiàng)為Cxr，所以(1x)6展開式中含x2的項(xiàng)為1Cx2和Cx4.因?yàn)镃C2C230，所以(1x)6展開式中x2的系數(shù)為30.故選C.2(2015全國(guó)卷)(x2xy)5的展開式中，x5y2項(xiàng)的系數(shù)為( )A10 B20 C30 D60C法一：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解(x2xy)5(x