2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第7章解析幾何初步7.4幾何問題的代數(shù)解法學(xué)案湘教版.docx

74幾何問題的代數(shù)解法學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解坐標(biāo)法的意義，并會(huì)用坐標(biāo)法研究問題2進(jìn)一步掌握用解析法處理平面幾何問題預(yù)習(xí)導(dǎo)引1解決幾何問題的基本方法解析法解析法是解決解析幾何、立體幾何等問題的重要方法，它是把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，通過建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系加以分析研究解決問題的方法2用坐標(biāo)方法解決平面幾何問題的“三步曲”為：(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；(2)通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；(3)把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論并作答要點(diǎn)一用解析法證明幾何問題例1ABD和BCE是邊AB，BC在直線AC上且位于直線AC同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形，用坐標(biāo)法證明：|AE|CD|.證明如圖，以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，取AC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系設(shè)ABD和BCE的邊長分別為a，c，則A(a，0)，E(，c)，C(c，0)，D(，a)，于是|AE|.|CD|.所以|AE|CD|.規(guī)律方法坐標(biāo)法的基本步驟第一步：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系用坐標(biāo)表示有關(guān)量第二步：進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系跟蹤演練1在ABC中，D是BC邊上任意一點(diǎn)(D與B，C不重合)，且|AB|2|AD|2|BD|DC|，求證：ABC為等腰三角形證明如圖，作AOBC，垂足為O，以BC所在直線為x軸，以O(shè)A所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系設(shè)A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0)因?yàn)閨AB|2|AD|2|BD|DC|，所以由兩點(diǎn)間的距離公式，得b2a2d2a2(db)(cd)，即(db)(bd)(db)(cd)，又db0，故bdcd，即bc.所以ABC為等腰三角形要點(diǎn)二代數(shù)問題的幾何解法例2求函數(shù)y的值域解顯然函數(shù)的定義域?yàn)镽，y.設(shè)P(x，0)，A(，)，B(，)為平面上三點(diǎn)，則|PA|，|PB|.y|PB|PA|.|PB|PA|AB|，且|AB|1，|y|1，即1yr，直線與圓相離，所以輪船不會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響規(guī)律方法先以臺(tái)風(fēng)中心為原點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，把有關(guān)的幾何元素用坐標(biāo)和方程表示，然后把此實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決跟蹤演練3有弱、強(qiáng)兩個(gè)喇叭在A，O兩處，若它們的強(qiáng)度之比為14，且相距60 m，問在什么位置聽到兩個(gè)喇叭傳來的聲音強(qiáng)度是相等的？(假設(shè)聲音強(qiáng)度與距離的平方成反比)解以直線OA為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系則O(0，0)，A(60，0)設(shè)在P(x，y)處聽到O，A兩處的喇叭聲音強(qiáng)度相等由題設(shè)知，即，整理，得(x20)2y2402.故P點(diǎn)的軌跡是以(20，0)為圓心，40為半徑的圓，也就是在此圓周上聽到的聲音強(qiáng)度相等.1過點(diǎn)A(1，4)作圓(x2)2(y3)21的切線，則A到切點(diǎn)的距離為()A. B3 C. D5答案B解析設(shè)圓心C(2，3)，則|AC|，點(diǎn)A到切點(diǎn)的距離即切線長l3.2圓x2y21上的點(diǎn)到直線3x4y250的距離的最小值是()A6 B4 C5 D1答案B解析圓心到直線3x4y250的距離為5.則圓上的點(diǎn)到直線3x4y250的距離的最小值為514.3已知圓x2y22x4y40關(guān)于直線y2xb成軸對(duì)稱，則b_.答案4解析已知圓的圓心為(1，2)，且點(diǎn)(1，2)在直線y2xb上，則22b，b4.4若點(diǎn)P(x，y)在圓C：(x2)2y23上，則的最大值是_答案解析半徑長|PC|，|OC|2，是圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率當(dāng)OP與圓上方相切時(shí)，此時(shí)斜率最大，則POC60，tan POC.5點(diǎn)P在圓O：x2y21上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓C：(x3)2y21上運(yùn)動(dòng)，則|PQ|的最小值為_答案1解析如下圖設(shè)連心線OC與圓O交于點(diǎn)P，與圓C交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在P處，點(diǎn)Q在Q處時(shí)|PQ|最小，最小值為|PQ|OC|r1r21.1利用數(shù)形結(jié)合思想求某些二元代數(shù)式的最值是直線和圓的方程的一個(gè)重要應(yīng)用，它是利用代數(shù)式的幾何意義轉(zhuǎn)化為斜率、截距、距離等來求解2利用坐標(biāo)法解決平面幾何問題，將幾何中“形”的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中“數(shù)”的問題適當(dāng)建系時(shí)，通常取定直線為坐標(biāo)軸，定點(diǎn)或線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，使其具有對(duì)稱性，這樣便于設(shè)坐標(biāo)很多實(shí)際問題也可采用這種方法轉(zhuǎn)化一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(5，5)，B(1，4)和C(4，1)，則ABC的形狀是()A直角三角形 B等腰三角形C等邊三角形 D等腰直角三角形答案B解析|AB|，|BC|3，|AC|，|AB|AC|，ABC為等腰三角形2方程y表示的曲線是()A一條射線 B一個(gè)圓 C兩條射線 D半個(gè)圓答案D解析由y得x2y225.y0, 曲線表示半個(gè)圓3點(diǎn)M，N在x2y2kx2y40上，且點(diǎn)M，N關(guān)于直線xy10對(duì)稱，則該圓的半徑為()A2 B. C1 D3答案D解析由M，N兩點(diǎn)關(guān)于直線xy10對(duì)稱，可知直線xy10過圓心(，1)，k4，圓的方程即為(x2)2(y1)29，r3.4點(diǎn)P是直線2xy100上的動(dòng)點(diǎn)，直線PA，PB分別與圓x2y24相切于A，B兩點(diǎn)，則四邊形PAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積的最小值為()A24 B16 C8 D4答案C解析四邊形PAOB的面積S2|PA|OA|22，當(dāng)直線OP垂直直線2xy100時(shí)，|OP|min2.此時(shí)，四邊形PAOB的面積的最小值為28.5已知直線x2y30與圓(x2)2(y3)29相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，圓心為C，則CEF的面積為_答案2解析圓心(2，3)到直線x2y30的距離為d，|EF|224，SCEF42.6已知xy10，那么的最小值是_答案2解析表示點(diǎn)P(x，y)和點(diǎn)(2，3)的距離，則的最小值為點(diǎn)(2，3)到直線xy10的距離d2.7有一種大型商品，A，B兩地都有出售，且價(jià)格相同，某地居民從兩地之一購得商品后，運(yùn)回的費(fèi)用是：每單位距離A地的運(yùn)費(fèi)是B地運(yùn)費(fèi)的3倍，已知A，B兩地距離10 km，顧客選A或B地購買這件商品的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低，求A，B兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民如何選擇購貨地點(diǎn)解如圖，以A，B所確定的直線為x軸，線段AB中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則A(5，0)，B(5，0)，設(shè)某地P的坐標(biāo)為(x，y)，假設(shè)居民選擇A地購買商品便宜，并設(shè)A地的運(yùn)費(fèi)3a元/千米，B地的運(yùn)費(fèi)為a元/千米，則價(jià)格xA地運(yùn)費(fèi)價(jià)格xB地運(yùn)費(fèi)，3aa.a0，3.化簡為(x)2y2()2.以點(diǎn)C為圓心，為半徑的圓是這兩條購貨區(qū)域的分界線圓C內(nèi)的居民，從A地購貨便宜，圓C外的居民，從B地購貨便宜，圓C上的居民，從A，B兩地購貨的總費(fèi)用相等，因此可隨便從A，B兩地之一購貨二、能力提升8臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20 km的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心不超過30 km地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A地正東40 km處，則城市B處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間是()A0.5 h B1 hC1.5 h D2 h答案B解析如圖所示，以A地為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則B(40，0)，以B為圓心，30為半徑的圓的方程為(x40)2y2302，臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到圓B內(nèi)時(shí)，B城市將處于危險(xiǎn)區(qū)，臺(tái)風(fēng)移動(dòng)所在直線方程為yx，它與圓B的相交弦為MN，則可求得|MN|220 (km)，1 (h)，所以B城市位于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為1 h.9一束光線從點(diǎn)A(1，1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓(x2)2(y3)21上的最短距離為_答案4解析A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A(1，1)，A與圓心的距離為5，故所求最短距離為514.10兩圓相交于兩點(diǎn)(1，3)和(m，1)，兩圓圓心都在直線xyc0上，則mc的值為_答案3解析由平面幾何性質(zhì)知：兩相交圓圓心的連線與兩圓的公共弦垂直，且經(jīng)過弦的中點(diǎn)，則1，得m5，弦中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，1)，31c0，得c2，mc3.11已知x，y滿足x2y22x4y0，求x2y的最大值解設(shè)x2yb，則點(diǎn)(x，y)既在直線x2yb上，又在圓x2y22x4y0上，即直線x2yb和圓(x1)2(y2)25有公共點(diǎn)，故圓心(1，2)到x2yb0的距離小于或等于半徑，所以，即|b5|5，所以0b10，即x2y的最大值是10.三、探究與創(chuàng)新12若圓x2y24x4y100上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線l：axby0(b0)的距離為2，求直線l斜率的取值范圍解圓x2y24x4y100可整理為(x2)2(y2)2(3)2，圓心坐標(biāo)為C(2，2)，半徑為r3.要使圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：axby0的距離為2，則圓心到直線的距離d滿足d，()24()10，22.k，2k2，直線axby0的斜率范圍是2，213已知點(diǎn)P(x，y)在圓x2y26x6y140上(1)求的最大值和最小值；(2)求x2y22x3的最大值與最小值；(3)求xy的最大值與最小值解圓x2y26x6y140變形為(x3)2(y3)24，故圓心為C(3，3)，半徑r2.如圖所示(1)表示圓上的點(diǎn)P與原點(diǎn)連線的斜率，顯然PO與圓相切時(shí)，斜率最大或最小設(shè)切線方程為ykx，即kxy0，由圓心C(3，3)到切線的距離等于半徑2，可得2，解得k，所以，的最大值為，最小值為.(2)x2y22x3(x1)2y22，它表示圓上的點(diǎn)P到E(1，0)的距離的平方再加2，所以，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E的距離最大或最小時(shí)，所求式子就取最大值或最小值，顯然點(diǎn)