要點梳理基本不等式基本不等式成立的條件等號.ppt

要點梳理 1.基本不等式 (1)基本不等式成立的條件:_. (2)等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)_時取等號.,7.4 基本不等式:,a0,b0,a=b,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),2.幾個重要的不等式 (1)a2+b2 _(a,bR). (2) _(a,b同號). (3) (a,bR). (4) (a,bR). 3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè)a0,b0，則a,b的算術(shù)平均數(shù)為 ,幾何平均 數(shù)為_，基本不等式可敘述為：_ _.,2ab,2,術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),兩個正數(shù)的算,4.利用基本不等式求最值問題 已知x0,y0,則 (1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)_時，x+y 有最_值是_.（簡記：積定和最?。?(2)如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)_時,xy有最 _值是_.（簡記：和定積最大）,x=y,小,x=y,大,基礎(chǔ)自測 1.下列結(jié)論中不正確的是 （ ） A. B. C.a2+b22ab D. 解析 只有當(dāng)a、b同號且不為零時 成立，,B,2.已知向量a=(x-1,1),b= 則|a+b|的最小 值 是 （ ） A.1 B. C. D.2 解析 a+b= |a+b|=,B,3.當(dāng)x1時，關(guān)于函數(shù) 下列敘述正確 的是 （ ） A.函數(shù)f(x)有最小值2 B.函數(shù)f(x)有最大值2 C.函數(shù)f(x)有最小值3 D.函數(shù)f(x)有最大值3 解析 x1,x-10,C,4.已知a0,b0， 則a+2b的最小值為 （ ） A. B. C. D.14 解析 據(jù)題意知,A,5.若00, x(4-3x)= 3x(4-3x) 當(dāng)且僅當(dāng)3x=4-3x,即x= 時取得等號.,D,題型一 利用基本不等式證明不等式 【例1】已知x0,y0,z0. 求證： 由題意，先局部運(yùn)用基本不等式，再利 用不等式的性質(zhì)即可得證.,思維啟迪,題型分類 深度剖析,證明 x0,y0,z0, 當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時等號成立.,利用基本不等式證明不等式是綜合法證明 不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題 的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng) 過逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問題.,探究提高,知能遷移1 （1）證明：a4+b4+c4+d44abcd; (2)已知a0,b0,a+b=1,求證: 證明 （1）a4+b4+c4+d42a2b2+2c2d2 =2(a2b2+c2d2)22abcd=4abcd. 原不等式得證. （2）a0,b0,a+b=1， 所以原不等式成立.,題型二 利用基本不等式求最值 【例2】求下列各題的最值. （1）已知x0,y0,lg x+lg y=1,求 的最 小值； （2）x0,求 的最小值； （3）x3，求 的最大值； （4）xR，求 的最小值.,思維啟迪 （1）由lg x+lg y=1得xy=10,故可用基本 不等式. （2）由x0, 是常數(shù)，故可直接利用基本 不等式. （3）由于 不是常數(shù)，故需變形. 又x-30，故需變號. （4）雖然 (常數(shù)),但利用基 本不等式時，等號取不到，所以利用函數(shù)的單調(diào)性.,解 （1）方法一 由x0,y0,lg x+lg y=1, 可得xy=10. 當(dāng)且僅當(dāng)2y=5x,即x=2,y=5時等號成立. 方法二 由x0,y0,lg x+lg y=1,可得 當(dāng)且僅當(dāng) 即x=2,y=5時等號成立.,(2)x0, 等號成立的條件是 即x=2, f(x)的最小值是12. (3)x0, 當(dāng)且僅當(dāng) 即x=1時，等號成立. 故f(x)的最大值為-1.,(4)令sin2x+1=t,則t1，2，故 任取t1,t21，2且t1t2, t1t2且t1,t21，2， t1-t20,t1t2-50,故g(t1)-g(t2)0,g(t1)g(t2), g(t)在1，2上是減函數(shù)， f(x)min= 等號成立的條件是sin2x+1=2. sin x=1, 故f(x)的最小值是 利用基本不等式求最值問題,基本方法 是借助條件化二元函數(shù)為一元函數(shù),代換過程中應(yīng)注 意元的范圍,同時也要注意“拆項”、“湊項”的技 巧，特別要注意等號能否取到.,探究提高,知能遷移2 （1）已知x0,y0，且 求x+y 的最小值； （2）已知x 求函數(shù) 的最大值; （3）若x,y(0,+)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.,解（1）x0,y0, 當(dāng)且僅當(dāng) 時，上式等號成立， x=4,y=12時，(x+y)min=16.,(2)x0, -2+3=1, 當(dāng)且僅當(dāng) 即x=1時，上式等號成立， 故當(dāng)x=1時，ymax=1.,(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy, 當(dāng)且僅當(dāng) 即x=2y時取等號， 又2x+8y-xy=0,x=12,y=6, 當(dāng)x=12,y=6時，x+y取最小值18.,題型三 利用基本不等式解應(yīng)用題 【例3】(12分)某造紙廠擬建一座平 面圖形為矩形且面積為162平方米的 三級污水處理池,池的深度一定(平面圖如圖所示), 如果池四周圍墻建造單價為400元/米，中間兩道隔 墻建造單價為248元/米,池底建造單價為80元/米2, 水池所有墻的厚度忽略不計. （1）試設(shè)計污水處理池的長和寬，使總造價最低， 并求出最低總造價； （2）若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16 米，試設(shè)計污水池的長和寬，使總造價最低，并求 出最低總造價.,思維啟迪 設(shè)污水處理池的寬為x米,則長為 米, 由題意可建立總造價與x的函數(shù)關(guān)系,進(jìn)而通過求函數(shù) 的最值確定x的取值. 解 （1）設(shè)污水處理池的寬為x米， 則長為 米. 1分,當(dāng)且僅當(dāng) (x0), 即x=10時取等號. 5分 當(dāng)長為16.2米，寬為10米時總造價最低，最低總造 價為38 880元. 6分 （2）由限制條件知 8分,g(x)有最小值， 10分 即f(x)有最小值為 當(dāng)長為16米，寬為 米時， 總造價最低，為38 882元. 12分 （1）解應(yīng)用題時，一定要注意變量的實 際意義，即變量的取值范圍. （2）在求函數(shù)最值時，除應(yīng)用基本不等式外,有時會 出現(xiàn)基本不等式取不到“=”，此時要考慮函數(shù)的單 調(diào)性.,探究提高,知能遷移3 某學(xué)校擬建一塊周長為400 m的操場如 圖所示，操場的兩頭是半圓形,中間區(qū)域是矩形,學(xué) 生做操一般安排在矩形區(qū)域，為了能讓學(xué)生的做操 區(qū)域盡可能大，試問如何設(shè)計矩形的長和寬？ 解 設(shè)中間矩形區(qū)域的長，寬分別為x m,y m, 中間的矩形區(qū)域面積為S，則半圓的周長為 因為操場周長為400,所以,即把矩形的長和寬分別設(shè)計為100 m和 時， 矩形區(qū)域面積最大.,1.恒等變形：為了利用基本不等式,有時對給定的代 數(shù)式要進(jìn)行適當(dāng)變形.比如：,方法與技巧,思想方法 感悟提高,2.常用不等式：以下不等式在解題時使用更直接. (1) (a0,且aR),當(dāng)且僅當(dāng)a=1時“=” 成立. (2) (a0,b0,a,bR),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時 “=”成立. 3.二次配方：a0,aR,應(yīng)用不等式 可解 決部分分式不等式的最值問題.比如：當(dāng)x2時，,使用基本不等式求最值,其失誤的真正原因是其存在 前提“一正、二定、三相等”的忽視.要利用基本不 等式求最值，這三個條件缺一不可.,失誤與防范,(1)確?！耙徽?對于負(fù)數(shù)，很多不等關(guān)系就不一定 成立.如：當(dāng)x0時， 顯然不再成立. 事實上，此時 (2)要使 中“=”成立，必須使a=b成立. 如：,一、選擇題 1.在下列各函數(shù)中,最小值等于2的函數(shù)是 ( ) A. B. C. D.,定時檢測,解析 選項A中，x0時，y2,x0時，y-2; 選項B中，cos x1,故最小值不等于2； 選項C中， 答案 D,2.（2009天津理，6）設(shè)a0，b0,若 是3a與3b的 等比中項，則 的最小值為 （ ） A.8 B.4 C.1 D. 解析 由題意知3a3b=3,即3a+b=3，所以a+b=1. 因為a0,b0, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.,B,3.已知x0，y0，lg 2x+lg 8y=lg 2,則 的最 小值是 （ ） A.2 B. C.4 D. 解析 由lg 2x+lg 8y=lg 2,得lg 2x+3y=lg 2, x+3y=1,C,4.已知 （a2), (xn B.mn C.m=n D.mn 解析,A,5.x 則 的最小值為 ( ) A.-3 B.2 C.5 D.7 解析,D,6.函數(shù) x(0,3)，則 （ ） A.f(x)有最大值 B.f(x)有最小值-1 C.f(x)有最大值1 D.f(x)有最小值1 解析 x(0,3),x-1(-1,2), (x-1)20，4)， 當(dāng)且僅當(dāng) 且x(0,3), 即x=2時取等號，當(dāng)x=2時，函數(shù)f(x)有最小值1.,D,二、填空題 7.若正數(shù)a、b滿足 則a+b的最小值為_. 解析,8.函數(shù)y=ax-1 (a0,且a1) 的圖象恒過定點A,若點 A在一次函數(shù)y=mx+n的圖象上，其中m,n0,則 的最小值為_. 解析 由題知A（1，1），m+n=1，m,n0.,4,9.若實數(shù)a,b滿足ab-4a-b+1=0(a1)，則(a+1)(b+2) 的最小值為_. 解析 ab-4a-b+1=0, ab=4a+b-1, (a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1,a1,a-10. 當(dāng)且僅當(dāng)(a-1)2=1,即a=2時成立. 最小值為27. 答案 27,三、解答題 10.(1)求函數(shù)y=x(a-2x) (x0，a為大于2x的常數(shù))的 最大值； (2)設(shè)x-1,求函數(shù) 的最值. 解 （1）x0,a2x, 當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號，故函數(shù)的最大值為,（2）x-1,x+10. 設(shè)x+1=z0,則x=z-1 當(dāng)且僅當(dāng)z=2,即x=1時上式取等號. x=1時,函數(shù)y有最小值9,無最大值.,11.(1)已知a0,b0,c0且a+b+c=1. 求證: （2）已知a0,b0,求證： 證明 （1）a+b+c=1, =3+2+2+2=9. 等號成立的條件是a=b=c,故,（2）方法一,方法二 a0,b0, 由不等式的性質(zhì)+得：,12.西北西康羊皮手套公司準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)， 對生產(chǎn)的羊皮手套進(jìn)行促銷.在1年內(nèi),據(jù)測算年銷售 量S（萬雙）與廣告費(fèi)x（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系為 (x0),已知羊皮手套的固定投入為3萬元, 每生產(chǎn)1萬元羊皮手套仍需再投入16萬元.（年銷售 收入=年生產(chǎn)成本的150%+年廣告費(fèi)的50%） (1)試將羊皮手套的年利潤L（萬元）