函數(shù)、極限、連續(xù)(10).ppt

( 三),函數(shù) 極限 連續(xù),函數(shù)、極限、連續(xù),【連續(xù)】,一、函數(shù)的連續(xù)性,1、函數(shù)在 點連續(xù),于零，即,設(shè)函數(shù) 在點 及其附近有定義,若自變量 在 的改變量 趨近于零時,相對應的函數(shù) 的改變量 也趨近,或,定義1,函數(shù)、極限、連續(xù),為函數(shù)的連續(xù)點.,則稱函數(shù) 在 點是連續(xù)的， 稱,定義2,設(shè)函數(shù) 在點 及其附近有定義,且等于 在 處的函數(shù)值 ，即,并滿足當 時，函數(shù) 的極限存在，,為函數(shù)的連續(xù)點.,則稱函數(shù) 在 點是連續(xù)的， 稱,注意：,在點 連續(xù)，必須要求 在,點有定義，這是與極限定義不同的.,函數(shù)、極限、連續(xù),2、函數(shù)在 某一點連續(xù)的三要素,1、 在 點有定義；,2、 存在；,3、,3、函數(shù)在某點的左、右連續(xù),設(shè)函數(shù) 在點 及其附近有定義,數(shù) 在點 左(右)連續(xù).,函數(shù)、極限、連續(xù),二、函數(shù)的點連續(xù)與區(qū)間連續(xù),條件,結(jié)論,或,在點 連續(xù),在 每一點連續(xù),在 連續(xù),在 內(nèi)連續(xù),在 連續(xù),函數(shù)、極限、連續(xù),說明：,初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都連續(xù).,函數(shù)、極限、連續(xù),解:,函數(shù) 在 處有定義，且,函數(shù)、極限、連續(xù),不存在,因此，函數(shù) 在 處不連續(xù).,函數(shù)、極限、連續(xù),解:,當 或 時，無論 取何值，,函數(shù)、極限、連續(xù),函數(shù)、極限、連續(xù),解：,1、,、,、,故 在 處不連續(xù).,函數(shù)、極限、連續(xù),2、,在 處連續(xù),又,即,函數(shù)、極限、連續(xù),二、函數(shù)的間斷點及類型,1、函數(shù)的間斷點,在 點處發(fā)生間斷，使 發(fā)生間,如果函數(shù) 在 處不連續(xù)，則稱,斷的點 稱為 的間斷點.,2、間斷點的判定方法,有下列三種情況之一時， 在點,處不連續(xù)，點 為函數(shù) 的間斷點.,(1)、點 處 無定義，即函數(shù)值,不存在.,(3)、 (即使 在點,處有定義而且當 時 極限,存在).,處有定義).,(2)、 不存在(即使 在點,3、間斷點的分類,(一)、第一類間斷點,(1)、特點,(2)、分類,可去間斷點,跳躍間斷點,解：,的定義域為,且,又,在 處不連續(xù),x=0為函數(shù)的可去間斷點,解：,的定義域為,且,又,不存在.,(二)、第二類間斷點,(1)、特點,(2)、分類,無窮間斷點,一個為,震蕩間斷點,存在,解：,在 無定義,是間斷點,又,是無窮型間斷點,解：,在 無定義,是間斷點,又當 時，,是震蕩型間斷點,在-1與1之間,變動無限多次，,二、函數(shù)連續(xù)性的反問題的解法,方法：,在 處連續(xù)的充要條件是:,函數(shù) 在 點既左連續(xù)又右連續(xù)，即,解：,又 在 處連續(xù)，則,即,方法：,1、求函數(shù)無意義的點即為函數(shù),的間斷點,2、分別對函數(shù)的間斷點求極限,判斷類型,三、求函數(shù)的間斷點及類型,可去間斷點,跳躍間斷點,無窮間斷點,存在,振蕩間斷點,例3,求函數(shù),并說明它屬于哪一類,的間斷點，,解：,令,解得,當 時，,是可去間斷點,當 時，,是無窮間斷點,例3,求函數(shù),并說明它屬于哪一類,的間斷點，,【閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)】,1、最大值和最小值定理,若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，,小值.,則它在這個區(qū)間上一定有最大值和最,若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，,和 分別為 在 上的最小值和最,大值，則對介于 與 之間的任意實數(shù),至少存在一點 ，使得,2、介值定理,3、存根定理(零點定理),若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，,且 ，則至少存在一點,使得,4、有界定理,若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，,則函數(shù) 在 上有界,四、證明方程根的存在性,方法：存根定理,若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，,且 ，則至少存在一點,使得,證明：,則 的定義域是,設(shè),是初等函數(shù),又,在 內(nèi)連續(xù),由存根定理可知，,在 內(nèi)至少有一點 ，使得,即方程 在 內(nèi)至少有一個,實根。,1、,3、,4、,5、,二、選擇題：,7、,為函數(shù)的間斷點,當 時,為無窮間斷點,當 時,為可去間斷點,當 時,為可去間斷點,若 在 處連續(xù),且當 時，,8、,跳躍間斷點.,是第二類間斷點，且為,無窮間斷點,三、計算、證明題：,2、證明：,則 的定義域是,設(shè),是初等函數(shù),又,在 內(nèi)連續(xù),由存根定理可知，,在 內(nèi)至少有一點 ，使得