函數(shù)、極限、連續(xù)(4).ppt

分析基礎(chǔ),函數(shù),極限,連續(xù), 研究對(duì)象, 研究方法, 研究橋梁,函數(shù)、極限與連續(xù),函 數(shù) 的定義,反函數(shù),反函數(shù)與直接 函數(shù)之間關(guān)系,基本初等函數(shù),復(fù)合函數(shù),初等函數(shù),函 數(shù) 的性質(zhì) 單值與多值 奇偶性 單調(diào)性 有界性 周期性,雙曲函數(shù)與 反雙曲函數(shù),第一章 函數(shù) 主要內(nèi)容,一、 函數(shù),1. 函數(shù)的概念,定義:,定義域,值域,圖形:,( 一般為曲線 ),設(shè),函數(shù)為特殊的映射:,其中,求函數(shù)的定義域,P9: 2題,2. 函數(shù)的特性,有界性 ,單調(diào)性 ,奇偶性 ,周期性,3. 反函數(shù),設(shè)函數(shù),為單射,反函數(shù)為其逆映射,4. 復(fù)合函數(shù),給定函數(shù)鏈,則復(fù)合函數(shù)為,5. 初等函數(shù),有限個(gè)常數(shù)及基本初等函數(shù),經(jīng)有限次四則運(yùn)算與復(fù),復(fù)合而成的一個(gè)表達(dá)式的函數(shù).,2. 函數(shù)的幾種特性,設(shè)函數(shù),且有區(qū)間,(1) 有界性,使,稱,使,稱,說(shuō)明: 還可定義有上界、有下界、無(wú)界,(2) 單調(diào)性,為有界函數(shù).,在 I 上有界.,使,若對(duì)任意正數(shù) M , 均存在,則稱 f ( x ) 無(wú)界.,稱 為有上界,稱 為有下界,當(dāng),時(shí),稱,為 I 上的,稱,為 I 上的,單調(diào)增函數(shù) ;,單調(diào)減函數(shù) .,如:y=1/x在 (0,1)和,(3) 奇偶性,且有,若,則稱 f (x) 為偶函數(shù);,若,則稱 f (x) 為奇函數(shù).,說(shuō)明: 若,在 x = 0 有定義 ,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng),必有,定義域關(guān) 于原點(diǎn)對(duì)稱,圖像關(guān) 于y軸對(duì)稱,圖像關(guān)于 原點(diǎn)對(duì)稱,(4) 周期性,且,則稱,為周期函數(shù) ,若,稱l為周期,( 一般指最小正周期 ).,周期為 ,周期為,注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函數(shù),4. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù),(1) 反函數(shù)的概念及性質(zhì),若函數(shù),為單射,則存在逆映射,習(xí)慣上,的反函數(shù)記成,稱此映射,為 f 的反函數(shù) .,其反函數(shù),(減),(減) .,1) yf (x) 單調(diào)遞增,且也單調(diào)遞增,性質(zhì):,2) 函數(shù),與其反函數(shù),的圖形關(guān)于直線,對(duì)稱 .,例如 ,對(duì)數(shù)函數(shù),互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增,指數(shù)函數(shù),(2) 復(fù)合函數(shù),則,設(shè)有函數(shù)鏈,稱為由, 確定的復(fù)合函數(shù) , 復(fù)合映射的特例,u 稱為中間變量.,注意: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件,不可少.,例如, 函數(shù)鏈 :,函數(shù),但函數(shù)鏈,不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù) .,可定義復(fù)合,5.初等函數(shù),(1) 基本初等函數(shù)(六大類),冪函數(shù)、,指數(shù)函數(shù)、,對(duì)數(shù)函數(shù)、,三角函數(shù)、,反三角函數(shù),(2) 初等函數(shù),由基本初等函數(shù),否則稱非初等函數(shù) .,例如 ,構(gòu)成 ,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù) ,經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步,驟所,稱為初等函數(shù) .,又如 , 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù) .,常數(shù)函數(shù)、,初等函數(shù),2.冪函數(shù),3.指數(shù)函數(shù),5.三角函數(shù),1.常值函數(shù),4.對(duì)數(shù)函數(shù),6.反三角函數(shù),一、基本初等函數(shù),常值函數(shù),1.常值函數(shù)constant function,其中C是常數(shù),定義域,值域,冪函數(shù),2.冪函數(shù)(power functions ),定義域,值域,都過(guò)點(diǎn)(1,1),3.指數(shù)(exponential function),指數(shù)函數(shù),定義域,值域,都過(guò)點(diǎn)(0,1),4. 對(duì)數(shù)函數(shù),(logarithmic function),定義域,值域,都過(guò)點(diǎn)(1,0),a=e=2.71828時(shí),正弦函數(shù),5. 三角函數(shù),定義域,值域,周期,奇偶性,奇函數(shù),單調(diào)性,余弦函數(shù),定義域,值域,周期,奇偶性,偶函數(shù),單調(diào)性,正切函數(shù),定義域,值域,周期,奇偶性,奇函數(shù),單調(diào)性,余切函數(shù),定義域,值域,周期,奇偶性,奇函數(shù),單調(diào)性,正割函數(shù),定義域,值域,周期,奇偶性,偶函數(shù),單調(diào)性,余割函數(shù),定義域,周期,奇偶性,奇函數(shù),單調(diào)性,值域,6. 反三角函數(shù),定義域,值域,奇偶性,奇函數(shù),單調(diào)性,定義域,值域,單調(diào)性,定義域,值域,奇偶性,奇函數(shù),單調(diào)性,定義域,值域,單調(diào)性,極 限 的定義,數(shù) 列,函 數(shù),數(shù)列極限與函數(shù) 極限之間關(guān)系,四則運(yùn)算,無(wú)窮小 無(wú)窮大,無(wú)窮小比較,極 限 的性質(zhì) 唯一性 有界性 保號(hào)性,極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限,極限,注意：,極限定義 如果對(duì)于任意給定的正數(shù) (不論它多么小), 總存在正整數(shù) ,使得對(duì)于 時(shí)的一切 , 不等式 都成立,那么就稱常數(shù) 是數(shù) 列 的極限,或者稱數(shù)列收斂于 ,記為 或,如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.,數(shù)列,總有,總有,有界:,無(wú)界:,下界:,上界:,收斂數(shù)列的性質(zhì),性質(zhì)1（極限的唯一性）,收斂數(shù)列的極限必唯一.,收斂數(shù)列必為有界數(shù)列.,性質(zhì)2（有界性）,反之不一定成立,推論 無(wú)界數(shù)列則必發(fā)散,性質(zhì)3（保序性）,推論1（保號(hào)性）,推論2,性質(zhì)4（收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系）,發(fā)散數(shù)列判別法: 1. 無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散. 2. 一子列發(fā)散,則數(shù)列發(fā)散. 3. 兩子列收斂到不同的極限,則數(shù)列發(fā)散.,性質(zhì)5 (夾逼準(zhǔn)則),單調(diào)增加有上界數(shù)列有極限；,單調(diào)減少有下界數(shù)列有極限。,性質(zhì)6 (單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則),函數(shù)極限,函數(shù)極限的統(tǒng)一定義,(見(jiàn)下表),左極限,右極限,(right-hand limit),(left-hand limit),定理,函數(shù)極限的性質(zhì),定理2（函數(shù)極限的局部有界性）,定理1（函數(shù)極限的惟一性）,(注:對(duì)于六種極限形式都成立只要做相應(yīng)的修改即可,可類似證明),若,存在，,那么該極限是唯一的，,若,那么存在常數(shù) M 0,推論,3.不等式性質(zhì),定理(保序性),注意:若將小于等于改成小于,極限式子也不可以改成小于.,定理(局部保號(hào)性),推論,注意:若將小于等于改成小于,極限式子也不可以改成小于.,4 夾逼準(zhǔn)則,一些基本初等函數(shù)的極限,所有以,為極限的函數(shù)(包括數(shù)列)都稱為在某個(gè)趨勢(shì)下的無(wú)窮大,無(wú)窮大無(wú)窮小,定理1 在自變量的同一變化過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.,注意 無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小.,定理2 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.,推論1 在自變量的同一變化過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.,推論2 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.,推論3 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.,若,為無(wú)窮大,為無(wú)窮小 ;,若,為無(wú)窮小, 且,則,為無(wú)窮大.,則,定理4.在自變量的同一變化過(guò)程中,無(wú)窮大量的運(yùn)算性質(zhì),(1)有限個(gè)正無(wú)窮大量之和為正無(wú)窮大量； 有限個(gè)負(fù)無(wú)窮大量之和為負(fù)無(wú)窮大量。,(2)有限個(gè)無(wú)窮大量之積為無(wú)窮大量。,(3)非0常量C與正無(wú)窮大量之積為無(wú)窮大量。,(4)無(wú)窮大量與有界量之和為無(wú)窮大量。 特別地，無(wú)窮大量與常量C之和為無(wú)窮大量。,注：兩無(wú)窮大量之和或差不一定為無(wú)窮大量。,注：無(wú)窮大量與有界量之積不一定為無(wú)窮大量， 無(wú)窮大量與無(wú)窮小量（或無(wú)窮大量）之商不一定為無(wú)窮大量。,無(wú)窮小,無(wú)窮小的性質(zhì) ;,無(wú)窮小的比較 ;,常用等價(jià)無(wú)窮小:,極限的四則運(yùn)算法則,則有,定理 1 . 若,定理 2 . 若,則有,定理 3 . 若,且 B0 , 則有,定理5. 設(shè),且 x 滿足,時(shí),又,則有,(2) ,消去零因子法,1. 極限四則運(yùn)算法則,2. 求函數(shù)極限的方法,(3) 對(duì),型 , 約去公因子,分子分母同除分母最高次冪,Th1,Th2,Th3,Th4,總結(jié),(4) 型,(無(wú)窮小因子分出法),(5)無(wú)窮項(xiàng)之和,變形后求極限,(1)多項(xiàng)式與分式函數(shù)(分母不為0)代入法求極限,(7)利用左右極限求分段函數(shù)極限,(6)利用無(wú)窮小、無(wú)窮大運(yùn)算性質(zhì)求極限,(8) 復(fù)合函數(shù)極限求法,設(shè)中間變量,洛必達(dá)法則,洛必達(dá)法則,其他未定式:,解決方法:,通分,取倒數(shù),取對(duì)數(shù),為非負(fù)常數(shù) ),一般有如下結(jié)果：,兩個(gè)重要極限,或,填空題 ( 14 ),求極限:,能否直接使用洛必達(dá)法則:,連續(xù)性 間斷點(diǎn),間斷點(diǎn)的分類,基本初等函數(shù),反函數(shù) 復(fù)合函數(shù),初等函數(shù),連續(xù)性定義 間斷點(diǎn)定義,閉區(qū)間上連 續(xù)函數(shù)性質(zhì),連續(xù),對(duì)自變量的增量,有函數(shù)的增量,左連續(xù),右連續(xù),當(dāng),時(shí), 有,函數(shù),在點(diǎn),連續(xù)有下列等價(jià)命題:,連續(xù),定理2. 連續(xù)單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù),連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則,定理1. 在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和,差,積 ,商(分母不為 0) 運(yùn)算,結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù) .,(遞減).,遞增,(遞減),也連續(xù)單調(diào),定理3. 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.,定理3.初等函數(shù)的連續(xù)性,基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù),連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù),一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),二、 函數(shù)的間斷點(diǎn),在,在,(1) 函數(shù),(2) 函數(shù),不存在;,(3) 函數(shù),存在 ,但,不連續(xù) :,設(shè),在點(diǎn),的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,則下列情形,這樣的點(diǎn),之一函數(shù) f (x) 在點(diǎn),雖有定義 , 但,雖有定義 , 且,稱為間斷點(diǎn) .,在,無(wú)定義 ;,間斷點(diǎn)分類:,第一類間斷點(diǎn):,及,均存在 ,若