數(shù)字信號處理講義-第2章.ppt

1,第2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析,2,2.1 序列的傅立葉變換(FT)和Z變換,3,一、 序列的FT的定義及性質,1. 1 序列傅立葉變換的定義,FT成立的充要條件是序列x(n)滿足絕對可和的條件， 即：,FT的反變換：,4,例：設,求x(n)的FT。,解：,5,N4,6,所以 ,序列的FT是以 為周期的函數(shù),表示了信號在 頻域的分布規(guī)律. 最高的頻率為,1.2序列FT的性質,1.周期性:,2.線性:,7,3、時移與頻移：,4、FT的對稱性：,1）共軛對稱序列： 共軛反對稱序列：,實部是偶函數(shù)， 虛部是奇函數(shù),實部是奇函數(shù)， 虛部是偶函數(shù),8,2）FT的共軛對稱性：,（1）,9,（2）,10,（3）x(n)為實序列時：,相頻：奇函數(shù),幅頻：偶函數(shù),（4）x(n)-實、偶對稱序列：,(5) x(n)-實、奇對稱序列：,11,(6)實因果序列h(n):,12,因此，實因果序列可以分別用 和 表示為：,13,5、 時域卷積定理,6、頻域卷積定理,14,7、帕斯維爾（Parseval）定理,Parseval 定理的一個重要應用是計算序列能量： 一個序列值的平方總和 稱為“序列能量” 即時域中對序列求能量與頻域中求能量是一致的。,15,16,17,離散傅里葉級數(shù)（DFS，Discrete Fourier Series ） 一個周期為N的周期序列，即 ， k為任意整數(shù)，N為周期 周期序列不能進行FT變換，因為其在 n=-到+ 都周而復始永不衰減，即 不能滿足絕對可和。但是，正象連續(xù)時間周期信號可用傅氏級數(shù)表達，周期序列也可用離散的傅氏級數(shù)來表示，也即用周期為N的正弦序列來表示。,二、周期序列的離散傅立葉級數(shù)及傅立葉變換表示式,18,2. 1周期序列的離散傅立葉級數(shù)：,設 是以N為周期的周期序列，,上式中, 也是一個以N為周期的周期序列。,因此，一個周期序列可以用其DFS表示它的頻譜分布規(guī)律。,19,設 是以N為周期的周期序列，因其周期性，可以展開成傅立葉級數(shù),并對n在一個周期N內求和,20,的離散傅立葉級數(shù)，,用DFS 表示,同理,21,所以，可將周期序列分成N次諧波，第K個諧波頻率為,基波分量的頻率為,因此，一個周期序列可以用其DFS表示它的頻譜分布規(guī)律,22,是一個周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)變換對，這種對稱關系可表為： 習慣上：記 ，,23,DFS變換對公式表明，一個周期序列雖然是無窮長序列，但是只要知道它一個周期的內容（一個周期內信號的變化情況），其它的內容也就都知道了，所以這種無窮長序列實際上只有N個序列值的信息是有用的，因此周期序列與有限長序列有著本質的聯(lián)系。,則DFS變換對可寫為,DFS 離散傅里葉級數(shù)變換 IDFS離散傅里葉級數(shù)反變換。,24,2. 2周期序列的傅立葉變換表示式,模擬系統(tǒng)中，,時域離散系統(tǒng)，,25,對于一般的周期序列 ，,令K在,之間變化，上式可簡化為,式中,注：上式中,表示單位沖激函數(shù)，而 表示單位脈沖序列。,展開成DFS，第k次諧波為,類似于復指數(shù)序列的FT，其FT為,26,三、時域離散信號的傅立葉變換與模擬信號傅立葉變換之間的關系,模擬信號 的一對FT變換式為:,假定時域離散信號x(n)，或稱序列x(n)，是由模擬信號 采樣 得到的，即,27,令,，代入上式后，再將 用 代替，得到,將上式的積分區(qū)間表示成無限多個積分區(qū)間的和，每個積分區(qū)間為,28,又,結論:序列的FT是模擬信號的FT以周期為 進行周期延拓, 頻率軸上取值對應關系為,29,5. 采樣信號、序列和模擬信號FT之間的關系：,模擬信號 的一對FT變換式為:,假定時域離散信號x(n)，或稱序列x(n)，是由模擬信號 采樣 得到的，即,30,結論:序列的FT是模擬信號的FT以周期為 進行周期延拓, 頻率軸上取值對應關系為,31,所以，模擬折疊頻率,對應數(shù)字頻率,；如果滿足采樣定理，則要求,模擬信號最高頻率,不能超過,；如果不滿足采樣定理，則會在,附近引起頻譜混疊。,對于采樣信號來說，有,由此可見，序列的FT與模擬信號的FT之間的關系，與采樣信號、模擬信號 各自的FT之間的關系一樣。,32,例：設,進行采樣，得到采樣信號,和時域離散信號x(n)，求,的FT變換以及x(n)的FT.,33,34,同理，按照序列的與模擬信號之間的關系式可得到x(n)的， 或者，將,求括弧中為零時的,35,例題,36,37,38,39,2.5 序列的Z變換,序列x(n)的Z變換定義為,X(z)存在的條件是,40,FT和Z變換之間的關系：,即:單位圓上的Z變換就是序列的FT, 成立條件是收斂域包含單位圓.,41,討論ZT變換的一一對應性。,例：,解：,結論：（ZT變換的表達式+收斂域） 與 序列 一一對應。,42,這里主要討論以下四種序列： a 有限長序列 序列 (序列x(n)只在有限長度n1n2 內有值，其余為零) 其Z變換 X（z）是有限項的級數(shù)和，只要級數(shù)每一項有界，有限項和也有界，所以有限長序列z變換的收斂域取決于|z|-n，n1nn2。 顯然 |z| 在整個開域（0，）都能滿足以上條件，因此有限長序列的收斂域是除 0 及,兩個點（對應n0不收斂）以外的 整個 z 平面： 0|z|,如果對n1，n2加以一定的限制，如n10或n20，則根據(jù)條件|z|-n（n1nn2），收斂域可進一步擴大為包括0點或點的半開域：,43,例1 序列x（n）=（n） 由于n1=n2=0，其收斂域為整個閉域 z 平面，0|Z|， 例2 矩形序列x（n）=RN（n） 等比級數(shù)求和,44,b 右邊序列 指 x（n）只在nn1時有值，而nn1時，x（n）=0 收斂域：|z|Rx- ，為收斂半徑Rx-以外的z平面， 由此證明右邊序列的收斂域為 |z|Rx-,45,右邊序列中最重要的一種序列是 “因果序列” ，即n1 0的右邊序列，因果序列只在n0有值，n0時，x（n）=0，其z變換為： Z 變換的收斂域包括 點是因果序列的特征。,46,c 左邊序列 序列 x（n）只在nn2有值，n n2時，x（n）=0 收斂域： |Z|Rx+ ， 在收斂半徑為Rx+的圓內,47,d 雙邊序列 可看作一個左邊序列和一個右邊序列之和，因此雙邊序列 z 變換的收斂域是這兩個序列 z 變換收斂域的公共部分。,如果Rx+Rx-，則存在公共的收斂區(qū)間，X（z）有收斂域: Rx-|z|Rx- 如Rx+Rx-，無公共收斂區(qū)間，X（z）無收斂域，不收斂.,48,49,50,Z變換小結,Z 變換收斂域的特點： 1） 收斂域是一個圓環(huán)，有時可向內收縮到原點，有時可向外擴展到，只有x(n)=(n)的收斂域是整個 z 平面。 2） 在收斂域內沒有極點，X（z）在收斂域內每一點上都是解析函數(shù)。,51,典型序列ZT的收斂域,1.因果序列： x(n)=0, n0,2.雙邊序列： x(n) ,52,3.有限長序列：,53,54,55,4.2逆Z變換,C:收斂域中一條逆時針閉合曲線。,56,求解方法：留數(shù)定理,57,上式成立的條件：F(z)的分母階次應比分子階次高二階以上。,M階多項式,N階多項式,則上式成立的條件是：,對于N階極點，需要求N-1 次導數(shù)，這是比較麻煩的。 若c內有多階極點，而c外沒有多階極點，則可根據(jù)留數(shù) 輔助定理改求c外的所有極點留數(shù)之和，使問題簡化。,58,例：,思路：（1）求出F(z)的標準形式； （2）分析F(z)的極點情況； （3）根據(jù)留數(shù)定理求解，對于高階極點， 應盡量避免直接求導，考慮留數(shù)輔助定理。,59,解：,60,n0時，F(xiàn)(z) 的極點為： n0時，F(xiàn)(z) 的極點為：,為了避免對（,）高階求導采用下法：,61,62,63,64,65,66,4.3 ZT變換的主要性質,1.序列移位 :,2.序列卷積:,67,3.復卷積定理:,在V平面上,被積函數(shù)的收斂域為,W(z)的收斂域為,68,4、Parseval定理z變換的重要性質之一 若有兩序列 x（n），y（n），且 X（z）=Z x（n） Rx-|z| Rx+ Y（z）=Z y（n） Ry-|z| Ry+ 它們的收斂域滿足條件： Rx- Ry-1， Rx+Ry+1 則 其中，C 所在收斂域為 X(v) 和 Y*(1/V*) 兩者收斂區(qū)域的重迭部分 Max Rx- , 1/Ry+ |v| min Rx+ , 1/Ry -,69,證：令 w（n）=x（n）y*（n） 利用復共軛和復卷積特性(p16表1.2，第7和第10)： 則 由于假設條件中已規(guī)定收斂域滿足： Rx-Ry-1Rx+Ry+ 因此， |z|=1 在收斂域內，即w（z）在單位圓上收斂，w（z）|z=1存在，,又因 因此 證畢,70,如果 X（v）、Y（v）在單位圓上收斂，則選取單位圓為圍線積分途徑，這時 , Parseval 定理的一個重要應用是計算序列能量： 一個序列值的平方總和 稱為“序列能量” 即時域中對序列求能量與頻域中求能量是一致的。,71,2.6 利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性,、傳輸函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù),傳輸函數(shù)：,H ,x(n),y(n),系統(tǒng)函數(shù)：,72,、 的物理意義：,x(n),y(n),(1),求 y(n)=?,(2),，求 y(n)=?,73,解： （1）,意義：對不同頻率的響應不同。,令,結論：一復指數(shù)序列通過線性系統(tǒng)后輸出不增加頻率成分。 模增加了幅度函數(shù)對應大小，相位增加了對應相位函數(shù)大小。,74,（2）,設h(n)為實序列，則,75,線性時不變離散系統(tǒng)也可用差分方程表示，考慮N階差分方程,兩邊取z變換：,3、H(z)的零極點對系統(tǒng)頻響的影響：,76,于是 上式也可用因子的形式來表示 式中ci、 di是H（z）在z平面上的零點和極點， A為比例常數(shù)。 整個系統(tǒng)函數(shù)可以由它的全部零、極點來唯一確定。,77,用極點和零點表示系統(tǒng)函數(shù)的優(yōu)點是，它提供了一種有效的求系統(tǒng)頻率響應的幾何方法。 一個 N 階的系統(tǒng)函數(shù)可用它的零極點表示為,系統(tǒng)的頻響為:,78,79,分析上式表明，頻響的模函數(shù)由從各零、極點指向 點的向量幅度來確定， 而頻響的相位函數(shù)則由這些向量的幅角來確定， 當頻率由02時，這些向量的終點沿單位圓反時針方向旋轉一圈，由此可估算出整個系統(tǒng)的頻響。,ej,80,其基本原理是，當單位圓上的 ej 點在極點 d i附近時，分母向量最短，出現(xiàn)極小值，頻響在這附近可能出現(xiàn)峰值，且極點 di 越靠近單位圓，極小值越小，頻響出現(xiàn)的峰值越尖銳，當 di 處在單位圓上時，極小值為零，相應的頻響將出現(xiàn)，這相當于在該頻率處出現(xiàn)無耗（Q=）諧振，當極點超出單位圓時系統(tǒng)就處于不穩(wěn)定狀態(tài)。對于現(xiàn)實系統(tǒng)，這是不希望的。 對于零點位置，頻響將正好相反，ej點越接近某零點 ci ，頻響越低，因此在零點附近，頻響出現(xiàn)谷點，零點越接近單位圓，谷點越接近零，零點處于單位圓上時，谷點為零，即在零點所在頻率上出現(xiàn)傳輸零點，零點可以位于單位圓以外，不受穩(wěn)定性約束。 這種幾何方法為我們認識零、極點分布對系統(tǒng)性能的影響提供了一個直觀的概念，這一概念對系統(tǒng)的分析和設計都十分重要。,81,例：,Imz,82,0,83,零點在單位圓上0, 處；極點在 , 附近,。,。,84,例 有限長單位脈沖響應 0a1 求其頻率響應特性。 解： 如果a為正實數(shù)，H（z）的零點為 這些零點分布在|z|=a的圓周上，對圓周進行M等分，它的第一個零點k=0，恰好與分母上的極點（z-a）抵消，因此，整個函數(shù)H（z）共有 下 圖給出M=8，0a1時的系統(tǒng)特性，幅頻的峰值出現(xiàn)在=0，因為該處無零點（被極點對消），每一零點附近的頻率響應均有陷落，呈現(xiàn)出M次起伏，當M無限增大時，波紋趨于平滑，系統(tǒng)函數(shù)趨于書上一階系統(tǒng)的結果。,85,86,上例中的單位脈沖響應是一個有限長序列，這種系統(tǒng)稱為“有限長單位脈沖響應系統(tǒng)”，簡寫為FIR系統(tǒng)。相應地，當單位脈沖響應長度無限時，則稱為“無限長單位脈沖響應系統(tǒng)”， 簡寫為IIR系統(tǒng)。 系統(tǒng)函數(shù)的一般成可改寫為（b0=1） 我們知道有限度序列的z變換在整個有限z平面（|z|0）上收斂，因此對于FIR系統(tǒng)，H（z）在有限z平面上不能有極點。如分子、分母無公共可約因子，則H（z）分母中全部系數(shù)bi（i=1，2，N）必須為零，故 只要bi中有一個系數(shù)不為零，在有限z平面上就會有極點，這就屬于IIR系統(tǒng)。 bi不為零就說明需要將延時的輸出序列y(n-i)反饋回來，所以，IIR系統(tǒng)的結構中都帶有反饋回路。這種帶有反饋回路的結構稱為“遞歸型”結構，IIR系統(tǒng)只能采用“遞歸型”結構，而FIR系統(tǒng)一般采用非“遞歸型”結構。但是，采用極、零點抵消的方法，F(xiàn)IR系統(tǒng)也可采用“遞歸型”結構。 IIR、FIR構成數(shù)字濾波器的兩大類。,87,例： 已知,，分析其幅頻特性。,解：,H(z)的極點為z=0,為一個N階極點，不影響系統(tǒng)的頻響； 零點有N個，由分子多項式的根決定,梳壯濾波器,88,Z域 利用H(z)的極點分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性：,因果系統(tǒng)：H(z)的收斂域包含 ，收斂域在某個圓外, 即 Rx- |Z|,穩(wěn)定系統(tǒng)：收斂域包含