離散數(shù)學(xué)代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì)5.1.ppt

1,代數(shù)結(jié)構(gòu),2,代數(shù)結(jié)構(gòu)部分,第5章 代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì) 第6章 幾個(gè)典型的代數(shù)系統(tǒng),3,第5章 代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì),5.1 二元運(yùn)算及其性質(zhì) 5.2 代數(shù)系統(tǒng)及其子代數(shù)和積代數(shù) 5.3 代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu),4,5.1 二元運(yùn)算及其性質(zhì),二元運(yùn)算定義及其實(shí)例 一元運(yùn)算定義及其實(shí)例 運(yùn)算的表示 二元運(yùn)算的性質(zhì) 交換律、結(jié)合律、冪等律、消去律 分配律、吸收律 二元運(yùn)算的特異元素 單位元 零元 可逆元素及其逆元,5,二元運(yùn)算的定義及其實(shí)例,定義 設(shè) S 為集合,函數(shù) f：SSS 稱為 S 上的二元運(yùn)算, 簡(jiǎn)稱為二元運(yùn)算. 也稱 S 對(duì) f 封閉. 例1 (1) N 上的二元運(yùn)算：加法、乘法. (2) Z 上的二元運(yùn)算：加法、減法、乘法. (3) 非零實(shí)數(shù)集 R* 上的二元運(yùn)算: 乘法、除法. (4) 設(shè) S = a1, a2, , an, ai aj = ai ， 為 S 上二 元運(yùn)算.,6,二元運(yùn)算的實(shí)例（續(xù)）,(5) 設(shè) Mn(R) 表示所有 n 階 (n2) 實(shí)矩陣的集 合，即 矩陣加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元運(yùn)算. (6) 冪集 P(S) 上的二元運(yùn)算：, . (7) SS 為 S 上的所有函數(shù)的集合：合成運(yùn)算.,7,一元運(yùn)算的定義與實(shí)例,定義 設(shè) S 為集合，函數(shù) f：SS 稱為 S 上的一元運(yùn)算，簡(jiǎn)稱為一元運(yùn)算. 例2 (1) Z, Q 和 R 上的一元運(yùn)算: 求相反數(shù) (2) 非零有理數(shù)集 Q*，非零實(shí)數(shù)集 R*上的一元 運(yùn)算: 求倒數(shù) (3) 復(fù)數(shù)集合 C 上的一元運(yùn)算: 求共軛復(fù)數(shù) (4) 冪集 P(S) 上, 全集為 S: 求絕對(duì)補(bǔ)運(yùn)算 (5) A 為 S 上所有雙射函數(shù)的集合，ASS: 求反 函數(shù) (6) 在 Mn(R) ( n2 )上，求轉(zhuǎn)置矩陣,8,二元與一元運(yùn)算的表示,算符：, , , , 等符號(hào) 表示二元或一元運(yùn)算 對(duì)二元運(yùn)算 ，如果 x 與 y 運(yùn)算得到 z，記做 xy = z； 對(duì)一元運(yùn)算 , x 的運(yùn)算結(jié)果記作 x 表示二元或一元運(yùn)算的方法： 公式、 運(yùn)算表 注意：在同一問題中不同的運(yùn)算使用不同的算符,9,公式表示 例3 設(shè) R 為實(shí)數(shù)集合，如下定義 R 上的二元運(yùn)算 ： x, yR, x y = x. 那么 3 4 = 3 0.5 (-3) = 0.5 運(yùn)算表（表示有窮集上的一元和二元運(yùn)算）,二元與一元運(yùn)算的表示（續(xù)）,10,運(yùn)算表的形式,11,運(yùn)算表的實(shí)例,例4 A = P(a, b), , 分別為對(duì)稱差和絕對(duì)補(bǔ)運(yùn)算 （a,b為全集） 的運(yùn)算表 的運(yùn)算表,12,運(yùn)算表的實(shí)例（續(xù)）,例5 Z5 = 0, 1, 2, 3, 4 , , 分別為模 5 加法與乘法 的運(yùn)算表 的運(yùn)算表,13,二元運(yùn)算的性質(zhì),定義 設(shè) 為 S 上的二元運(yùn)算, (1) 如果對(duì)于任意的 x, y S 有 x y = y x, 則稱運(yùn)算在 S 上滿足交換律. (2) 如果對(duì)于任意的 x, y, z S 有 (x y) z = x (y z), 則稱運(yùn)算在 S 上滿足結(jié)合律. (3) 如果對(duì)于任意的 x S 有 x x = x, 則稱運(yùn)算在 S 上滿足冪等律.,14,實(shí)例分析,Z, Q, R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)集；Mn(R)為 n 階實(shí)矩陣集合, n2；P(B)為冪集；AA 為 A上A，|A|2.,15,二元運(yùn)算的性質(zhì)（續(xù)）,定義 設(shè) 和 為 S 上兩個(gè)不同的二元運(yùn)算, (1) 如果 x, y, zS 有 (x y) z = (x z) (y z) z (x y) = (z x) (z y) 則稱 運(yùn)算對(duì) 運(yùn)算滿足分配律. (2) 如果 和 都可交換, 并且 x, yS 有 x (x y) = x x (x y) = x 則稱 和 運(yùn)算滿足吸收律.,16,實(shí)例分析,Z, Q, R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)集；Mn(R) 為 n 階實(shí)矩陣集合, n2；P(B)為冪集；AA為 A上A，|A|2.,17,二元運(yùn)算的特異元素,單位元 定義 設(shè)為S上的二元運(yùn)算, 如果存在el（或er）S，使得對(duì)任意 xS 都有 el x = x ( 或 x er = x )， 則稱 el ( 或 er )是 S 中關(guān)于 運(yùn)算的 左 ( 或右 ) 單位元. 若 eS 關(guān)于 運(yùn)算既是左單位元又是右單位元，則稱 e 為 S 上關(guān)于 運(yùn)算的 單位元. 單位元也叫做 幺元.,18,二元運(yùn)算的特異元素（續(xù)）,零元 設(shè) 為 S 上的二元運(yùn)算, 如果存在l（或r）S，使得對(duì)任意 xS 都有 l x =l ( 或 x r =r )， 則稱l ( 或r )是 S 中關(guān)于 運(yùn)算的 左 ( 或右) 零元. 若S關(guān)于運(yùn)算既是左零元又是右零元，則稱為 S 上關(guān)于運(yùn)算 的 零元.,19,二元運(yùn)算的特異元素（續(xù)）,可逆元素及其逆元 令 e 為 S 中關(guān)于運(yùn)算的單位元. 對(duì)于 xS，如果存在yl（或 yr）S 使得 yl x = e（或 x yr = e）， 則稱 yl ( 或 yr )是 x 的 左逆元 ( 或右逆元 ). 關(guān)于 運(yùn)算，若 yS 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元，則稱 y 為 x 的逆元. 如果 x 的逆元存在，就稱 x 是可逆的.,20,實(shí)例分析,21,惟一性定理,定理 設(shè) 為S上的二元運(yùn)算，el 和 er 分別為 S 中關(guān)于運(yùn)算的左和右單位元，則 el = er = e 為 S 上關(guān)于 運(yùn)算的惟一的單位元. 證 el = el er = el er = er 所以 el = er , 將這個(gè)單位元記作 e. 假設(shè) e 也是 S 中的單位元，則有 e = e e = e. 惟一性得證. 類似地可以證明關(guān)于零元的惟一性定理. 注意：當(dāng) |S| 2，單位元與零元是不同的； 當(dāng) |S| = 1 時(shí)，這個(gè)元素既是單位元也是零元.,22,惟一性定理（續(xù)）,定理 設(shè) 為 S 上可結(jié)合的二元運(yùn)算, e 為該運(yùn)算的單位元, 對(duì)于 xS 如果存在左逆元 yl 和右逆元 yr , 則有 yl = yr= y, 且 y 是 x 的惟一的逆元. 證 由 yl x = e 和 x yr = e 得 yl = yl e = yl (x yr) = (yl x) yr = e yr = yr 令 yl = yr = y, 則 y 是 x 的逆元. 假若 yS 也是 x 的逆元, 則 y= y e = y (x y) = (y x) y = e y = y 所以 y 是 x 惟一的逆元. 說明：對(duì)于可結(jié)合的二元運(yùn)算，可逆元素 x 只有惟一的逆元，記作 x1.,23,消去律,定義 設(shè)為V上二元運(yùn)算，如果 x, y, zV， 若 x y = x z，且 x不是零元，則 y = z 若 y x = z x, 且 x 不是零元，則 y = z 那么稱 運(yùn)算滿足 消去律. 實(shí)例: Z, Q, R 關(guān)于普通加法和乘法滿足消去律. Mn(R) 關(guān)于矩陣加法滿足消去律，但是關(guān)于矩陣 乘法不滿足消去律. Zn關(guān)于模 n 加法滿足消去律，當(dāng) n 為素?cái)?shù)時(shí)關(guān)于 模 n乘法滿足消去律. 當(dāng) n 為合數(shù)時(shí)關(guān)于模 n 乘 法不滿足消去律.,24,例題分析,解 (1) 運(yùn)算可交換，可結(jié)合. 任取x, yQ, x y = x+y+2xy = y+x+2yx = y x, 任取x, y, zQ, (x y) z= (x+y+2xy) + z + 2(x+y+2xy) z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x (y z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz,例6 設(shè) 運(yùn)算為 Q 上的二元運(yùn)算， x, yQ, xy = x+y+2xy, (1) 運(yùn)算是否滿足交換和結(jié)合律? 說明理由. (2) 求 運(yùn)算的單位元、零元和所有可逆元.,25,給定 x，設(shè) x 的逆元為 y, 則有 x y = 0 成立，即 x+y+2xy = 0 (x = 1/2) 因此當(dāng) x 1/2時(shí)， 是 x 的逆元.,例題分析（續(xù)）,(2) 設(shè)運(yùn)算的單位元和零元分別為 e 和 ，則對(duì)于任意 x 有 xe = x 成立，即 x+e+2xe = x e = 0 由于 運(yùn)算可交換，所以 0 是幺元.,對(duì)于任意 x 有 x = 成立，即 x+2 x = x + 2 x = 0 = 1/2,26,例題分析（續(xù)）,例7 (1) 說明那些運(yùn)算是交換的、可結(jié)合的、冪等的. (2) 求出運(yùn)算的單位元、零元、所有可逆元素的逆元.,解 (1) 滿足交換、結(jié)合律； 滿足結(jié)合、冪等律； 滿足交換、結(jié)合律.,(2) 的單位元為 b, 沒零元， a1 = c, b1 = b, c1 = a 的單位元和零元都不存在，沒有可逆元素. 的單位元為 a，零元為c, a1=a. b, c不可逆.,27,例題分析（續(xù)）,例8 設(shè) A = a, b, c , 構(gòu)造 A 上的二元運(yùn)算* 使得 a*b =c, c*b = b, 且*運(yùn)算是冪等的、可交換的，給出關(guān)于*運(yùn)算的一個(gè)運(yùn)算表，說明它是否可結(jié)合，為什么？,c,b,根據(jù)冪等律和已知條件a*b =c, c*b = b 得到運(yùn)算表,根據(jù)交換律得到新的運(yùn)算表,方框 可以填入a, b, c中任一選定的符號(hào),完成運(yùn)算表,不結(jié)合，因?yàn)?(a*b)*b = c*b = b, a*(b*b) = a*b = c,28,由運(yùn)算表判別算律的一般方法,交