江蘇省高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)優(yōu)編增分練：高考解答題分項練八數(shù)列B.doc

(八)數(shù)列(B)1(2018江蘇金陵中學(xué)期末)設(shè)數(shù)列an的前n項的和為Sn，且滿足a12，對nN*，都有an1(p1)Sn2(其中常數(shù)p1)，數(shù)列bn滿足bnlog2(a1a2an)(1)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)若p2，求b2 018的值；(3)若kN*，使得p2，記cn，求數(shù)列cn的前2(k1)項的和(1)證明因?yàn)閚N*，都有an1(p1)Sn2，an2(p1)Sn12，所以兩式相減得an2an1(p1)an1，即an2pan1，當(dāng)n1時，a2(p1)a12pa1，所以an1pan(nN*)，又a12，p1，所以an是以2為首項，p為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)得an2pn1.bnlog2(a1a2an) log2所以b2 0182.(3)解由(1)得an2pn1.bnlog2(a1a2an) log2 log21.因?yàn)閎n，所以當(dāng)1nk1時，cnbn，當(dāng)nk2時，cnbn.因此數(shù)列cn的前2(k1)項的和T2k2(b1b2bk1)(bk2bk3b2k2) .2已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且a11，a22，設(shè)bnanan1，cnanan1(nN*)(1)若數(shù)列b2n1是公比為3的等比數(shù)列，求S2n；(2)若數(shù)列bn是公差為3的等差數(shù)列，求Sn；(3)是否存在這樣的數(shù)列an，使得bn成等差數(shù)列和cn成等比數(shù)列同時成立，若存在，求出an的通項公式；若不存在，請說明理由解(1)b1a1a2123，S2n(a1a2)(a3a4)(a2n1a2n)b1b3b2n1.(2)bn1bnan2an3，a2k1，a2k均是公差為3的等差數(shù)列，a2k1a1(k1)33k2，a2ka2(k1)33k1，當(dāng)n2k(kN*)時，SnS2k(a1a3a2k1)(a2a4a2k)3k2；當(dāng)n2k1(kN*)時，SnS2k1S2ka2k3k23k13231.綜上可知，Sn(3)bn成等差數(shù)列，2b2b1b3，即2(a2a3)(a1a2)(a3a4)，a2a3a1a4，cn成等比數(shù)列，cc1c3.即(a2a3)2(a1a2)(a3a4)，c2a2a30，a2a3a1a4，由及a11，a22，得a31，a42，設(shè)bn的公差為d，則bn1bn(an1an2)(anan1)d，即an2and，即數(shù)列an的奇數(shù)項和偶數(shù)項都構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，又da3a1a4a20，數(shù)列an1,2,1,2,1,2，即an此時cn2，cn是公比為1的等比數(shù)列，滿足題意存在數(shù)列an，an使得bn成等差數(shù)列和cn成等比數(shù)列同時成立3已知an，bn，cn都是各項不為零的數(shù)列，且滿足a1b1a2b2anbncnSn，nN*，其中Sn是數(shù)列an的前n項和，cn是公差為d(d0)的等差數(shù)列(1)若數(shù)列an是常數(shù)列，d2，c23，求數(shù)列bn的通項公式；(2)若ann(是不為零的常數(shù))，求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(3)若a1c1dk(k為常數(shù)，kN*)，bncnk(n2，nN*)，求證：對任意的n2，nN*，數(shù)列單調(diào)遞減(1)解因?yàn)閐2，c23，所以cn2n1.因?yàn)閿?shù)列an是各項不為零的常數(shù)列，所以a1a2an，Snna1.則由cnSna1b1a2b2anbn及cn2n1，得n(2n1)b1b2bn，當(dāng)n2時，(n1)(2n3)b1b2bn1，兩式相減得bn4n3，n2.當(dāng)n1時，b11也滿足bn4n3.故bn4n3(nN*)(2)證明因?yàn)閍1b1a2b2anbncnSn，當(dāng)n2時，cn1Sn1a1b1a2b2an1bn1，兩式相減得cnSncn1Sn1anbn，即(Sn1an)cnSn1cn1anbn，Sn1(cncn1)ancnanbn，所以Sn1dncnnbn.又Sn1(n1)，所以dncnnbn，即dcnbn，(*)所以當(dāng)n3時，dcn1bn1，兩式相減得bnbn1d(n3)，所以數(shù)列bn從第二項起是公差為d的等差數(shù)列又當(dāng)n1時，由c1S1a1b1，得c1b1.當(dāng)n2時，由(*)得b2dc2d(c1d)b1d，得b2b1d.故數(shù)列bn是公差為d的等差數(shù)列(3)證明由(2)得當(dāng)n2時，Sn1(cncn1)ancnanbn，即Sn1dan(bncn)因?yàn)閎ncnk，所以bncnkd，即bncnkd，所以Sn1dankd，即Sn1kan，所以SnSn1an(k1)an.當(dāng)n3時，Sn1(k1)an1，兩式相減得an(k1)an(k1)an1，即anan1，故從第二項起數(shù)列an是等比數(shù)列，所以當(dāng)n2時，ana2n2，bncnkcnkdc1(n1)kk2k(n1)kk2k(nk)，另外由已知條件得(a1a2)c2a1b1