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(八)數(shù)列(B)1(2018江蘇金陵中學(xué)期末)設(shè)數(shù)列an的前n項的和為Sn,且滿足a12,對nN*,都有an1(p1)Sn2(其中常數(shù)p1),數(shù)列bn滿足bnlog2(a1a2an)(1)求證:數(shù)列an是等比數(shù)列;(2)若p2,求b2 018的值;(3)若kN*,使得p2,記cn,求數(shù)列cn的前2(k1)項的和(1)證明因?yàn)閚N*,都有an1(p1)Sn2,an2(p1)Sn12,所以兩式相減得an2an1(p1)an1,即an2pan1,當(dāng)n1時,a2(p1)a12pa1,所以an1pan(nN*),又a12,p1,所以an是以2為首項,p為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)得an2pn1.bnlog2(a1a2an) log2所以b2 0182.(3)解由(1)得an2pn1.bnlog2(a1a2an) log2 log21.因?yàn)閎n,所以當(dāng)1nk1時,cnbn,當(dāng)nk2時,cnbn.因此數(shù)列cn的前2(k1)項的和T2k2(b1b2bk1)(bk2bk3b2k2) .2已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且a11,a22,設(shè)bnanan1,cnanan1(nN*)(1)若數(shù)列b2n1是公比為3的等比數(shù)列,求S2n;(2)若數(shù)列bn是公差為3的等差數(shù)列,求Sn;(3)是否存在這樣的數(shù)列an,使得bn成等差數(shù)列和cn成等比數(shù)列同時成立,若存在,求出an的通項公式;若不存在,請說明理由解(1)b1a1a2123,S2n(a1a2)(a3a4)(a2n1a2n)b1b3b2n1.(2)bn1bnan2an3,a2k1,a2k均是公差為3的等差數(shù)列,a2k1a1(k1)33k2,a2ka2(k1)33k1,當(dāng)n2k(kN*)時,SnS2k(a1a3a2k1)(a2a4a2k)3k2;當(dāng)n2k1(kN*)時,SnS2k1S2ka2k3k23k13231.綜上可知,Sn(3)bn成等差數(shù)列,2b2b1b3,即2(a2a3)(a1a2)(a3a4),a2a3a1a4,cn成等比數(shù)列,cc1c3.即(a2a3)2(a1a2)(a3a4),c2a2a30,a2a3a1a4,由及a11,a22,得a31,a42,設(shè)bn的公差為d,則bn1bn(an1an2)(anan1)d,即an2and,即數(shù)列an的奇數(shù)項和偶數(shù)項都構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列,又da3a1a4a20,數(shù)列an1,2,1,2,1,2,即an此時cn2,cn是公比為1的等比數(shù)列,滿足題意存在數(shù)列an,an使得bn成等差數(shù)列和cn成等比數(shù)列同時成立3已知an,bn,cn都是各項不為零的數(shù)列,且滿足a1b1a2b2anbncnSn,nN*,其中Sn是數(shù)列an的前n項和,cn是公差為d(d0)的等差數(shù)列(1)若數(shù)列an是常數(shù)列,d2,c23,求數(shù)列bn的通項公式;(2)若ann(是不為零的常數(shù)),求證:數(shù)列bn是等差數(shù)列;(3)若a1c1dk(k為常數(shù),kN*),bncnk(n2,nN*),求證:對任意的n2,nN*,數(shù)列單調(diào)遞減(1)解因?yàn)閐2,c23,所以cn2n1.因?yàn)閿?shù)列an是各項不為零的常數(shù)列,所以a1a2an,Snna1.則由cnSna1b1a2b2anbn及cn2n1,得n(2n1)b1b2bn,當(dāng)n2時,(n1)(2n3)b1b2bn1,兩式相減得bn4n3,n2.當(dāng)n1時,b11也滿足bn4n3.故bn4n3(nN*)(2)證明因?yàn)閍1b1a2b2anbncnSn,當(dāng)n2時,cn1Sn1a1b1a2b2an1bn1,兩式相減得cnSncn1Sn1anbn,即(Sn1an)cnSn1cn1anbn,Sn1(cncn1)ancnanbn,所以Sn1dncnnbn.又Sn1(n1),所以dncnnbn,即dcnbn,(*)所以當(dāng)n3時,dcn1bn1,兩式相減得bnbn1d(n3),所以數(shù)列bn從第二項起是公差為d的等差數(shù)列又當(dāng)n1時,由c1S1a1b1,得c1b1.當(dāng)n2時,由(*)得b2dc2d(c1d)b1d,得b2b1d.故數(shù)列bn是公差為d的等差數(shù)列(3)證明由(2)得當(dāng)n2時,Sn1(cncn1)ancnanbn,即Sn1dan(bncn)因?yàn)閎ncnk,所以bncnkd,即bncnkd,所以Sn1dankd,即Sn1kan,所以SnSn1an(k1)an.當(dāng)n3時,Sn1(k1)an1,兩式相減得an(k1)an(k1)an1,即anan1,故從第二項起數(shù)列an是等比數(shù)列,所以當(dāng)n2時,ana2n2,bncnkcnkdc1(n1)kk2k(n1)kk2k(nk),另外由已知條件得(a1a2)c2a1b1
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