2018版高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何初步2.3.3直線與圓的位置關(guān)系學(xué)案新人教B版.doc

23.3直線與圓的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.2.會(huì)用代數(shù)法和幾何法來判定直線與圓的三種位置關(guān)系.3.會(huì)用直線與圓的位置關(guān)系解決一些實(shí)際問題知識(shí)點(diǎn)直線與圓的位置關(guān)系思考1若直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線與圓一定相切嗎？思考2若直線與圓有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離滿足什么條件？梳理直線AxByC0與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系及判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)_個(gè)_個(gè)_個(gè)判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離dd_rd_rd_r代數(shù)法：由方程組消元得到一元二次方程的判別式_0_0_0類型一直線與圓的位置關(guān)系的判斷例1求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使直線xmy30與圓x2y26x50分別滿足：相交；相切；相離反思與感悟直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷(2)代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來判斷(3)直線系法：若直線恒過定點(diǎn)，可通過判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系但有一定的局限性，必須是過定點(diǎn)的直線系跟蹤訓(xùn)練1(1)對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線ykx1與圓x2y22的位置關(guān)系一定是()A相離 B相切C相交但直線不過圓心 D相交且直線過圓心(2)過點(diǎn)P(，1)的直線l與圓x2y21有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是_類型二切線問題例2(1)若圓C：x2y22x4y30關(guān)于直線2axby60對(duì)稱，則由點(diǎn)(a，b)向圓所作的切線長(zhǎng)的最小值是()A2 B3 C4 D6(2)過點(diǎn)A(1,4)作圓(x2)2(y3)21的切線l，求切線l的方程為_反思與感悟(1)過圓上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的求法先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為，由點(diǎn)斜式可得切線方程如果k0或k不存在，則由圖形可直接得切線方程為yy0或xx0.(2)過圓外一點(diǎn)(x0，y0)的切線方程的求法設(shè)切線方程為yy0k(xx0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，即得切線方程當(dāng)用此法只求出一個(gè)方程時(shí)，另一個(gè)方程應(yīng)為xx0，因?yàn)樵谏厦娼夥ㄖ胁话ㄐ甭什淮嬖诘那闆r，而過圓外一點(diǎn)的切線有兩條，一般不用聯(lián)立方程組的方法求解(3)求切線長(zhǎng)最小值的兩種方法(代數(shù)法)直接利用勾股定理求出切線長(zhǎng)，把切線長(zhǎng)中的變量統(tǒng)一成一個(gè)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值；(幾何法)把切線長(zhǎng)最值問題轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離問題跟蹤訓(xùn)練2(1)圓x2y24在點(diǎn)P(，1)處的切線方程為()A.xy20 B.xy40C.xy40 D.xy20(2)點(diǎn)P是直線2xy100上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB與圓x2y24分別相切于A，B兩點(diǎn)，則四邊形PAOB面積的最小值為_類型三弦長(zhǎng)問題例3(1)過圓x2y28內(nèi)的點(diǎn)P(1,2)作直線l交圓于A，B兩點(diǎn)若直線l的傾斜角為135，則弦AB的長(zhǎng)為_(2)如果一條直線經(jīng)過點(diǎn)M(3，)且被圓x2y225所截得的弦長(zhǎng)為8，求這條直線的方程反思與感悟求直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)有三種方法(1)交點(diǎn)法：將直線方程與圓的方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式 |AB|求解(2)弦長(zhǎng)公式：如圖所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2| |y1y2|(直線l的斜率k存在)(3)幾何法：如圖，直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)弦心距為d，圓的半徑為r，弦長(zhǎng)為|AB|，則有()2d2r2，即|AB|2.通常采用幾何法較為簡(jiǎn)便跟蹤訓(xùn)練3(1)過點(diǎn)(3,1)作圓(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的長(zhǎng)為_(2)圓心為C(2，1)，截直線yx1的弦長(zhǎng)為2的圓的方程為_1直線3x4y120與圓(x1)2(y1)29的位置關(guān)系是()A過圓心 B相切C相離 D相交但不過圓心2直線xym0與圓x2y2m(m0)相切，則m的值為()A0或2 B2 C. D無解3設(shè)A、B為直線yx與圓x2y21的兩個(gè)交點(diǎn)，則|AB|等于()A1 B. C. D24過點(diǎn)P(1,3)引圓x2y29的切線的長(zhǎng)是_5過原點(diǎn)的直線與圓x2y22x4y40相交所得弦的長(zhǎng)為2，則該直線的方程為_1判斷直線和圓的位置關(guān)系的兩種方法中，幾何法要結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行判斷，一般計(jì)算較簡(jiǎn)單而代數(shù)法則是通過解方程組進(jìn)行消元，計(jì)算量大，不如幾何法簡(jiǎn)捷2一般地，在解決圓和直線相交時(shí)，應(yīng)首先考慮圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑構(gòu)成的直角三角形還可以聯(lián)立方程組，消去y，組成一個(gè)一元二次方程，利用方程根與系數(shù)的關(guān)系表達(dá)出弦長(zhǎng)l|x1x2|.3研究圓的切線問題時(shí)要注意切線的斜率是否存在過一點(diǎn)求圓的切線方程時(shí)，要考慮該點(diǎn)是否在圓上當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，切線只有一條；當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，切線有兩條答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)思考1一定由直線與圓的位置關(guān)系可得思考2當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，圓心到直線的距離小于或等于半徑梳理210 題型探究例1解圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x3)2y24，故圓心(3,0)到直線xmy30的距離為d，圓的半徑為r2.若相交，則dr，即2，所以m2或m2；若相切，則dr，即2，所以m2；若相離，則dr，即2，所以2m2.跟蹤訓(xùn)練1(1)C(2)060解析(1)直線ykx1恒過定點(diǎn)(0,1)，由定點(diǎn)(0,1)在圓x2y22內(nèi)，得直線ykx1與圓x2y22一定相交又直線ykx1的斜率存在，則該直線必不過圓心(0,0)，故選C.(2)當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l與圓x2y21沒有公共點(diǎn)，故可設(shè)直線y1k(x)，即kxyk10，圓心到直線的距離1，解得0k，即0tan .060.例2(1)C(2)y4或3x4y130解析(1)因?yàn)檫^圓外一點(diǎn)的圓的切線長(zhǎng)l、半徑長(zhǎng)r和點(diǎn)到圓心的距離d滿足勾股定理，即l2d2r2，所以切線長(zhǎng)最短時(shí)該點(diǎn)到圓心的距離最小，轉(zhuǎn)化成求該點(diǎn)與圓心的距離的最小值問題由題意知，圓心C(1,2)，半徑r，點(diǎn)(a，b)在直線yx3上，所以點(diǎn)(a,0)與圓心的距離的最小值即圓心到直線yx3的距離d，易求d3，所以切線長(zhǎng)的最小值為4.(2)(12)2(43)2101，點(diǎn)A在圓外當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程是x1，不滿足題意設(shè)直線l的斜率為k，則切線l的方程為y4k(x1)，即kxy4k0.圓心(2,3)到切線l的距離為1，解得k0或k，因此，所求直線l的方程為y4或3x4y130.跟蹤訓(xùn)練2(1)C(2)8解析(1)()2(1)24，點(diǎn)P在圓上切點(diǎn)與圓心連線的斜率為，切線的斜率為，切線方程為y1(x)，即xy40.(2)如圖所示，因?yàn)镾四邊形PAOB2SPOA，又OAAP，所以S四邊形PAOB2|OA|PA|22.為使四邊形PAOB面積最小，當(dāng)且僅當(dāng)|OP|達(dá)到最小，即點(diǎn)O到直線2xy100的距離|OP|min2.故所求最小值為28.例3(1)解析方法一(交點(diǎn)法)由題意知，直線l的方程為y2(x1)，即xy10.由解得A(，)，B(，)|AB| .方法二(弦長(zhǎng)公式)由題意知，直線l的方程為y2(x1)，即xy10.由消去y，得2x22x70.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x21，x1x2.|AB|.方法三(幾何法)由題意知，直線l的方程為y2(x1)，即xy10，圓心O(0,0)到直線l的距離為d，則有|AB|22 .(2)解圓x2y225的半徑r為5，直線被圓所截得的弦長(zhǎng)l8，于是弦心距d 3.因?yàn)閳A心O(0,0)到直線x3的距離恰為3，所以直線x3符合題意設(shè)直線yk(x3)也符合題意，即圓心到直線kxy(3k)0的距離等于3，于是3，解得k.故直線的方程為3x4y150.綜上可知，滿足題意的直線有兩條，對(duì)應(yīng)的方程分別為x3和3x4y150.跟蹤訓(xùn)練3(1)2解析設(shè)點(diǎn)A(3,1)，易知圓心C(2,2)，半徑r2.當(dāng)弦過點(diǎn)A(3,1)且與CA垂直時(shí)為最短弦，|CA|.半弦長(zhǎng)為.最短弦的長(zhǎng)為2.(2)(x2)2(y1)24解析設(shè)圓的半徑為r，由條件，得圓心到直線yx1的距離d.由題意知，半弦長(zhǎng)為.r22