A11-5對坐標(biāo)的曲面積分.ppt

一、有向曲面概念,觀察以下曲面的側(cè) (假設(shè)曲面是光滑的),曲面分上側(cè)和下側(cè),曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè),11.5 第二型的曲面積分(對坐標(biāo)的曲面積分),曲面的分類:,1.雙側(cè)曲面;,2.單側(cè)曲面.,典型雙側(cè)曲面,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,其方向用法向量指向,方向余弦, 0 為前側(cè) 0 為后側(cè),封閉曲面, 0 為右側(cè) 0 為左側(cè), 0 為上側(cè) 0 為下側(cè),外側(cè) 內(nèi)側(cè), 設(shè) 為有向曲面,側(cè)的規(guī)定,指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,表示 :,其面元,在 xoy 面上的投影記為,的面積為,則規(guī)定,類似可規(guī)定,二、概念的引入,實例: 流向曲面一側(cè)的流量.,1. 分割,則該點流速為 .,法向量為 .,3. 求和,2. 近似,4.取極限,設(shè) 為光滑的有向曲面, 在 上定義了一個,意分割和在局部面元上任意取點,下列極限都存在,向量場,若對 的任,三. 定義.,稱為Q 在有向曲面上對 z, x 的曲面積分;,稱為R 在有向曲面上對 x, y 的曲面積分.,稱為P 在有向曲面上對 y, z 的曲面積分;,若記 正側(cè)的單位法向量為,令,分,記作,P, Q, R 叫做被積函數(shù);, 叫做積分曲面.,或第二類曲面積分.,存在條件:,物理意義:,在單位時間內(nèi)流向指定側(cè)的流體的質(zhì)量.,性質(zhì):,四、對坐標(biāo)曲面積分的計算,注意:對坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).,計算時應(yīng)注意以下兩點,一投,二代,三定號,解,例2,1: x=0 2: y=0 3: z=0 4: x+y+z=1,解:,例3. 計算,其中 是以原點為中心, 邊長為 a 的正立方,體的整個表面的外側(cè).,解:,利用對稱性.,原式, 的頂部,取上側(cè), 的底部,取下側(cè),五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系,曲面的法向量的方向余弦為,兩類曲面積分之間的聯(lián)系,例1. 設(shè),是其外法線與 z 軸正向,夾成的銳角, 計算,解:,解,例3,解,利用兩類曲面積分之間的關(guān)系,例4,解,例5. 計算曲面積分,其中,解: 利用兩類曲面積分的聯(lián)系, 有, 原式 =,旋轉(zhuǎn)拋物面,介于平面 z= 0,及 z = 2 之間部分的下側(cè).,原式 =,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),定義:,1. 兩類曲面積分及其聯(lián)系,性質(zhì):,聯(lián)系:,思考:,的方向有關(guān),上述聯(lián)系公式是否矛盾 ?,兩類曲線積分的定義一個與 的方向無關(guān), 一個與 ,2. 常用計算公式及方法,面積分,第一類 (對面積),第二類 (對坐標(biāo)),二重積分,(1) 統(tǒng)一積分變量,代入曲面方程 (方程不同時分片積分),(2) 積分元素投影,第一類： 面積投影,第二類： 有向投影,(4) 確定積分域,把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面,注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.,轉(zhuǎn)化,當(dāng),時，,（上側(cè)取“+”, 下側(cè)取“”),類似可考慮在 yoz 面及 zox 面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式 .,思考與練習(xí),1. P228 題2,提示: 設(shè),則, 取上側(cè)時, 取