浙江專用高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第七章數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法7.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法講義含解析.docx

7.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法最新考綱考情考向分析了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、公式).以考查Sn與an的關(guān)系為主，簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系也是考查的熱點(diǎn)本節(jié)內(nèi)容在高考中以選擇、填空題的形式進(jìn)行考查，難度為低檔.1數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照一定順序排列著的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列an的第n項(xiàng)an通項(xiàng)公式數(shù)列an的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系能用公式anf(n)表示，這個(gè)公式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和數(shù)列an中，Sna1a2an叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和2.數(shù)列的表示方法列表法列表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法把點(diǎn)(n，an)畫(huà)在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項(xiàng)公式把數(shù)列的通項(xiàng)使用公式表示的方法遞推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表示數(shù)列的方法3.an與Sn的關(guān)系若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則an4數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an1_an其中nN*遞減數(shù)列an1_an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1)(*)因?yàn)閚1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.5數(shù)列an中，ann211n(nN*)，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是_答案30解析ann211n2，nN*，當(dāng)n5或n6時(shí)，an取最大值30.6已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn21，則an_.答案解析當(dāng)n1時(shí)，a1S12，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n21(n1)212n1，故an題型一由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式例1根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值，寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)，；(2)1,7，13,19，；(3)，2，8，；(4)5,55,555,5555，.解(1)這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為13,35,57,79,911，每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積，分子依次為2,4,6，相鄰的偶數(shù)故所求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an.(2)偶數(shù)項(xiàng)為正，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故通項(xiàng)公式必含有因式(1)n，觀察各項(xiàng)的絕對(duì)值，后一項(xiàng)的絕對(duì)值總比它前一項(xiàng)的絕對(duì)值大6，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(1)n(6n5)(3)數(shù)列的各項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察即，分子為項(xiàng)數(shù)的平方，從而可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an.(4)將原數(shù)列改寫(xiě)為9，99，999，易知數(shù)列9,99,999，的通項(xiàng)為10n1，故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(10n1)思維升華求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，要抓住以下幾個(gè)特征：(1)分式中分子、分母的特征(2)相鄰項(xiàng)的變化特征(3)拆項(xiàng)后變化的部分和不變的部分的特征(4)各項(xiàng)符號(hào)特征等(5)若關(guān)系不明顯時(shí)，應(yīng)將部分項(xiàng)作適當(dāng)?shù)淖冃?，統(tǒng)一成相同的形式跟蹤訓(xùn)練1(1)(2018寧波北侖中學(xué)期中)數(shù)列，的一個(gè)通項(xiàng)公式為()Aan(1)nBan(1)nCan(1)n1Dan(1)n1答案D解析數(shù)列各項(xiàng)的分母為等比數(shù)列2n，分子為2n1，可用(1)n1來(lái)控制各項(xiàng)的符號(hào)，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(1)n1.(2)數(shù)列an的前4項(xiàng)是，1，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an_.答案解析數(shù)列an的前4項(xiàng)可變形為，故an.題型二由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式例2(1)(2018浙江紹興一中期中)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn2n1，bn(1)n(an2)(nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_(kāi)，數(shù)列bn的前50項(xiàng)和為_(kāi)答案an49解析當(dāng)n1時(shí)，a1S13；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n2n1(n1)2(n1)12n，當(dāng)n1時(shí)不滿足上式，故則其通項(xiàng)公式為an當(dāng)n1時(shí)，b11；當(dāng)n2時(shí)，bn(1)n(an2)(1)n2(n1)，則數(shù)列bn的前50項(xiàng)和為121222324912(12349)122549.(2)(2018全國(guó))記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和若Sn2an1，則S6_.答案63解析Sn2an1，當(dāng)n2時(shí)，Sn12an11，anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)當(dāng)n1時(shí)，a1S12a11，得a11.數(shù)列an是首項(xiàng)a11，公比q2的等比數(shù)列，Sn12n，S612663.(3)已知數(shù)列an滿足a12a23a3nan2n，則an_.答案解析當(dāng)n1時(shí)，由已知，可得a1212，a12a23a3nan2n，故a12a23a3(n1)an12n1(n2)，由得nan2n2n12n1，an.顯然當(dāng)n1時(shí)不滿足上式，an思維升華已知Sn求an的常用方法是利用an一定要檢驗(yàn)a1的情況跟蹤訓(xùn)練2(1)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n1，則an_.答案解析當(dāng)n1時(shí)，a1S1314；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1.當(dāng)n1時(shí)，23112a1，所以an(2)設(shè)數(shù)列an滿足a13a232a33n1an，則an_.答案解析因?yàn)閍13a232a33n1an，則當(dāng)n2時(shí)，a13a232a33n2an1，得3n1an，所以an(n2)由題意知a1符合上式，所以an.(3)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan，則an的通項(xiàng)公式是an_.答案(2)n1解析當(dāng)n1時(shí)，a1S1a1，即a11；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1anan1，故2，故an(2)n1.題型三由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式例3設(shè)數(shù)列an中，a12，an1ann1，則an_.答案解析由條件知an1ann1，則當(dāng)n2時(shí)an(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)a1(234n)2.當(dāng)n1時(shí)，符合上式，因此an.引申探究1若將“an1ann1”改為“an1an”，如何求解？解an1an，a12，an0，.當(dāng)n2時(shí)ana12.當(dāng)n1時(shí)，符合上式，因此an.2若將“an1ann1”改為“an12an3”，如何求解？解設(shè)遞推公式an12an3可以轉(zhuǎn)化為an1t2(ant)，即an12ant，解得t3.故an132(an3)令bnan3，則b1a135，且2.所以bn是以5為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列所以bn52n1，故an52n13.3若將“an1ann1”改為“an1”，如何求解？解an1，a12，an0，即，又a12，則，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列(n1).an.4若將本例條件換為“a11，an1an2n”，如何求解？解an1an2n，an2an12n2，故an2an2.即數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都是公差為2的等差數(shù)列當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a21，故ana22n1.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an1an2n，an1n(n1為偶數(shù))，故ann.綜上所述，annN*.思維升華已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的典型方法(1)當(dāng)出現(xiàn)anan1m時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列(2)當(dāng)出現(xiàn)anxan1y時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列(3)當(dāng)出現(xiàn)anan1f(n)時(shí)，用累加法求解(4)當(dāng)出現(xiàn)f(n)時(shí)，用累乘法求解跟蹤訓(xùn)練3(1)已知數(shù)列an滿足a11，a24，an22an3an1(nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.答案32n12解析由an22an3an10，得an2an12(an1an)，數(shù)列an1an是以a2a13為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，an1an32n1，當(dāng)n2時(shí)，anan132n2，a3a232，a2a13，將以上各式累加，得ana132n23233(2n11)，an32n12(當(dāng)n1時(shí)，也滿足)(2)在數(shù)列an中，a13，an1an，則通項(xiàng)公式an_.答案4解析原遞推公式可化為an1an，則當(dāng)n2時(shí)，a2a1，a3a2，a4a3，an1an2，anan1，逐項(xiàng)相加得ana11，故an4，經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)也符合題型四數(shù)列的性質(zhì)命題點(diǎn)1數(shù)列的單調(diào)性例4已知an，那么數(shù)列an是()A遞減數(shù)列B遞增數(shù)列C常數(shù)列D擺動(dòng)數(shù)列答案B解析an1，將an看作關(guān)于n的函數(shù)，nN*，易知an是遞增數(shù)列命題點(diǎn)2數(shù)列的周期性例5(2018臺(tái)州質(zhì)檢)在數(shù)列an中，a10，an1，則S2020_.答案0解析a10，an1，a2，a3，a40，即數(shù)列an的取值具有周期性，周期為3，且a1a2a30，則S2020S36731a10.命題點(diǎn)3數(shù)列的最值例6已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sm12，Sm0，Sm13(m2)，則nSn的最小值為()A3B5C6D9答案D解析由Sm12，Sm0，Sm13(m2)可知am2，am13，設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則d1，Sm0，a1am2，則ann3，Sn，nSn.設(shè)f(x)，x0，f(x)x25x，x0，f(x)的極小值點(diǎn)為x，nN*，且f(3)9，f(4)8，f(n)min9.思維升華應(yīng)用數(shù)列單調(diào)性的關(guān)鍵是判斷單調(diào)性，判斷數(shù)列單調(diào)性的常用方法有兩個(gè)：(1)利用數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性判斷；(2)對(duì)數(shù)列的前后項(xiàng)作差(或作商)，利用比較法判斷跟蹤訓(xùn)練4(1)(2018浙江杭州二中期中)已知數(shù)列an滿足a12，an1(nN*)，則a2020等于()A2B1C2D.答案C解析由a12，an1(nN*)，得a21，a3，a42，以此類推知數(shù)列an是周期為3的周期數(shù)列，所以a2020a36731a12，故選C.(2)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn210n(nN*)，則數(shù)列nan中數(shù)值最小的項(xiàng)是()A第2項(xiàng)B第3項(xiàng)C第4項(xiàng)D第5項(xiàng)答案B解析Snn210n，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n11；當(dāng)n1時(shí)，a1S19也適合上式an2n11(nN*)記f(n)nann(2n11)2n211n，此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線n，但nN*，當(dāng)n3時(shí)，f(n)取最小值數(shù)列nan中數(shù)值最小的項(xiàng)是第3項(xiàng)1(2018嘉興期末檢測(cè))已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an，則是它的()A第4項(xiàng)B第5項(xiàng)C第6項(xiàng)D第7項(xiàng)答案B解析由，nN*，得n5，所以是數(shù)列an的第5項(xiàng)，故選B.2記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和“任意正整數(shù)n，均有an0”是“Sn是遞增數(shù)列”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析“an0”“數(shù)列Sn是遞增數(shù)列”，“an0”是“數(shù)列Sn是遞增數(shù)列”的充分條件如數(shù)列an為1,1,3,5,7,9，顯然數(shù)列Sn是遞增數(shù)列，但是an不一定大于零，還有可能小于零，“數(shù)列Sn是遞增數(shù)列”不能推出“an0”，“an0”是“數(shù)列Sn是遞增數(shù)列”的不必要條件“an0”是“數(shù)列Sn是遞增數(shù)列”的充分不必要條件3若Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn2an2，則S8等于()A255B256C510D511答案C解析當(dāng)n1時(shí)，a1S12a12，據(jù)此可得a12，當(dāng)n2時(shí)，Sn2an2，Sn12an12，兩式作差可得an2an2an1，則an2an1，據(jù)此可得數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，其前8項(xiàng)和為S82925122510.4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn22n，則數(shù)列的前6項(xiàng)和為()A.B.C.D.答案A解析數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn22n，Sn1n21，兩式作差得到an2n1(n2)，又當(dāng)n1時(shí)，a1S112213，符合上式，所以an2n1，裂項(xiàng)求和得到S6，故選A.5在數(shù)列an中，a12，ln，則an等于()A2nlnnB2n(n1)lnnC2nnlnnD1nnlnn答案C解析由題意得ln(n1)lnn，n分別用1,2,3，(n1)取代，累加得lnnln1lnn，2lnn，an(lnn2)n，故選C.6已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an，若a1a2ana1a2ak對(duì)nN*恒成立，則正整數(shù)k的值為()A5B6C7D8答案A解析an，當(dāng)n5時(shí)，an1；當(dāng)n6時(shí)，an0，所以anan14，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，所以Sn2n42n2.10(2019衢州質(zhì)檢)在數(shù)列an中，a11，(n22n)(an1an)1(nN*)，則通項(xiàng)公式an_.答案解析由(n22n)(an1an)1得an1an，所以當(dāng)n2時(shí)，a2a1，a3a2，an1an2，anan1，所以an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a11，當(dāng)n1時(shí)，滿足上式，故an.11已知在數(shù)列an中，a11，前n項(xiàng)和Snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通項(xiàng)公式解(1)由S2a2，得3(a1a2)4a2，解得a23a13；由S3a3，得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由題設(shè)知a11.當(dāng)n1時(shí)，有anSnSn1anan1，整理，得anan1.于是a11，a2a1，a3a2，an1an2，anan1，將以上n個(gè)等式兩端分別相乘，整理，得an.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n1時(shí)，a11符合上式，綜上，an的通項(xiàng)公式an.12已知數(shù)列an中，a11，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Sn(n1)an(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記bn3na，若數(shù)列bn為遞增數(shù)列，求的取值范圍解(1)2Sn(n1)an，2Sn1(n2)an1，2an1(n2)an1(n1)an，即nan1(n1)an，1，ann(nN*)(2)bn3nn2.bn1bn3n1(n1)2(3nn2)23n(2n1)數(shù)列bn為遞增數(shù)列，23n(2n1)0，即1.cn為遞增數(shù)列，BDb1得2(12)，解得bn得(n2)2n(n12)2n1，解得.綜上所述，故選B.14已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1a，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足SnSn14n2(n2，nN*)，若對(duì)任意nN*，anan1恒成立，則a的取值范圍是()A.B.C.D(3,5)答案D解析SnSn14n2，Sn1Sn4(n1)2，當(dāng)n2時(shí)，Sn1Sn18n