二無界函數(shù)反常積分.ppt

,二、無界函數(shù)的反常積分,第四節(jié),常義積分,積分限有限,被積函數(shù)有界,推廣,一、無窮限的反常積分,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,反常積分,(廣義積分),反常積分,第五章,一、無窮限的反常積分,引例. 曲線,和直線,及 x 軸所圍成的開口曲,邊梯形的面積,可記作,其含義可理解為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,定義1. 設,若,存在 ,則稱此極限為 f (x) 的無窮限反常積分,記作,這時稱反常積分,收斂 ;,如果上述極限不存在,就稱反常積分,發(fā)散 .,類似地 , 若,則定義,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,則定義,( c 為任意取定的常數(shù) ),只要有一個極限不存在 , 就稱,發(fā)散 .,無窮限的反常積分也稱為第一類反常積分.,并非不定型 ,說明: 上述定義中若出現(xiàn),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,它表明該反常積分發(fā)散 .,引入記號,則有類似牛 萊公式的計算表達式 :,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例1. 計算反常積分,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,思考:,分析:,原積分發(fā)散 !,注意: 對反常積分, 只有在收斂的條件下才能使用,“偶倍奇零” 的性質(zhì),否則會出現(xiàn)錯誤 .,例2. 證明第一類 p 積分,證:當 p =1 時有,當 p 1 時有,當 p 1 時收斂 ; p1,時發(fā)散 .,因此, 當 p 1 時, 反常積分收斂 , 其值為,當 p1 時, 反常積分發(fā)散 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例3. 計算反常積分,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,二、無界函數(shù)的反常積分,引例:曲線,所圍成的,與 x 軸, y 軸和直線,開口曲邊梯形的面積,可記作,其含義可理解為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,定義2. 設,而在點 a 的右鄰域內(nèi)無界,存在 ,這時稱反常積分,收斂 ;,如果上述極限不存在,就稱反常積分,發(fā)散 .,類似地 , 若,而在 b 的左鄰域內(nèi)無界,若極限,數(shù) f (x) 在 a , b 上的反常積分, 記作,則定義,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,則稱此極限為函,若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個第一類,說明:,而在點 c 的,無界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分,無界點常稱,鄰域內(nèi)無界 ,為瑕點(奇點) .,例如,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,間斷點,而不是反常積分.,則本質(zhì)上是常義積分,則定義,注意: 若瑕點,的計算表達式 :,則也有類似牛 萊公式的,若 b 為瑕點, 則,若 a 為瑕點, 則,若 a , b 都為瑕點, 則,則,可相消嗎?,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,下述解法是否正確:, 積分收斂,例4. 計算反常積分,解: 顯然瑕點為 a , 所以,原式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例5. 討論反常積分,的收斂性 .,解:,所以反常積分,發(fā)散 .,例6. 證明反常積分,證: 當 q = 1 時,當 q 1 時收斂 ; q1,時發(fā)散 .,當 q1 時,所以當 q 1 時, 該廣義積分收斂 , 其值為,當 q 1 時, 該廣義積分發(fā)散 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例7.,解：,求,的無窮間斷點,故 I 為反常,積分.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,內(nèi)容小結,1. 反常積分,積分區(qū)間無限,被積函數(shù)無界,常義積分的極限,2. 兩個重要的反常積分,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,說明: (1) 有時通過換元 , 反常積分和常義積分可以互,相轉化 .,例如 ,(2) 當一題同時含兩類反常積分時,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,應劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的反常積分.,(3) 有時需考慮主值意義下的反常積分. 其定義為,P256 題 1 (1) , (2) , (7) , (8),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,常積分收斂 .,注意: 主值意義下反常積分存在不等于一般意義下反,思考與練習,P256 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2 ; 3,第五節(jié) 目錄 上頁