淺析VANDERMONDE行列式的相關性質及其應用.doc

淺析vandermonde行列式的相關性質及其應用摘要：在高等數(shù)學的學習中，行列式無疑是一個重點和難點，它是后續(xù)課程線性方程組、矩陣、向量空間和線性變換的基礎。而行列式的計算具有一定的規(guī)律性和技巧性。vandermonde行列式是一類很重要的行列式。本文系統(tǒng)的闡述了vandermonde行列式的相關性質及其應用,通過各種方法說明了行列式中的一些計算問題以及如何利用vandermonde行列式計算一般的行列式，用多個例子論述并總結了vandermonde行列式在科研和實踐生活中如何更好的應用。關鍵字: 行列式；vandermonde行列式；vandermonde目 錄第一章 引言 1第二章 預備知識22.1 定義 22.2 行列式的性質 22.3 行列式計算中的幾種基本方法32.3.1 三角形法32.3.2 加邊法或升級法42.3.3 遞推法或數(shù)學歸納法5第三章 行列式的一種特殊類型vandermonde行列式63.1 vandermonde行列式的證法 63.2 vandermonde行列式的性質 73.2.1 推廣的性質定理：行列式 73.2.2 一個vandermonde行列式為0的充分必要條件93.2.3 vandermonde行列式的偏導數(shù)93.3 vandermonde行列式的翻轉與變形 113.4 vandermonde行列式的應用 12第四章 小結 17第五章 參考文獻 18第六章 謝 辭 19 引 言在中學數(shù)學和解析幾何里，我們學習過兩個未知量和三個未知量的線性方程組及其解法。但是在數(shù)學研究和實際問題的解決過程中，經(jīng)常會遇到由多個未知量而組成的多個方程組，并且未知量的個數(shù)和方程組的個數(shù)也未必相等。為了解決這些具體的問題，經(jīng)過一代代數(shù)學家的不懈努力，終于由萊布尼茨和日本數(shù)學家關孝和分別發(fā)明了行列式。經(jīng)過一段時間的發(fā)展，法國數(shù)學家范德蒙 (a-t.vandermonde,1735-1796) 對行列式理論做出連貫的邏輯的闡述，即把行列式理論與線性方程組求解相分離。后來又經(jīng)過許多大數(shù)學家的不斷發(fā)展完善，如柯西、詹姆士西爾維斯特 (j.sylvester,1814-1894)、雅可比 (j.jacobi,1804-1851)等人都對行列式的進步起到了巨大的推動作用。美國當代數(shù)學家bernard kolman對行列式又做了進一步的解析與應用。數(shù)學家chongying dong,fu-an li等人在vandermonde 行列式方面的最新研究也被收錄到recent developments in algebra and related areas一書中。本文通過在行列式基本性質了解的基礎上，進一步探討一種特殊的行列式vandermonde行列式的相關性質及其應用。2 預備知識 為了深入學習vandermonde行列式的性質及其應用，我們有必要回顧一下行列式的相關知識。2.1 定義1行列式是由個元素（數(shù)）(=1,2,)排成行列并寫成 (1)的形式，它表示所有符合以下條件的項的代數(shù)和： 每項是個元素的乘積，這個元素是從(1)中每行取一個元素、每列取一個元素組成的，可記為,式中是1,2,的一個排列。 每項應帶正號或負號，以1,2,的順序為標準來比較排列()的逆序數(shù)是偶或奇而決定。例如三階行列式中的項排列(231)有2個逆序，即2在1之前，3在1之前,所以應帶正號；而中(213)的逆序為1，因為這時只有2在1之前，所以應帶負號。 2.2 行列式的性質性質1 行列式與它的轉置行列式相等。性質2 交換行列式的兩行（列），行列式改變符號。性質3 如果一個行列式有兩行（列）完全相同，那么這個行列式等于0。性質4 把一個行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一個數(shù),等于以數(shù)乘這個行列式。性質5 一個行列式中一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符號的外邊。性質6 如果一個行列式中有一行（列）的元素全部是0，那么這個行列式等于0。性質7 如果一個行列式有兩行（列）的對應元素成比例，那么這個行列式等于0。性質8 設行列式的第行元素都可以表示成,那么等于兩個行列式與的和，其中的第行元素是，的第行元素是，而與的其他各行都和的一樣。同樣的性質對于列來說也成立。性質9 把行列式的某一行(列)的元素乘以同一個數(shù)后加到另一行（列）的對應元素上，行列式不變。2.3 行列式計算中的幾種基本方法 2.3.1 三角形法 就是利用行列式的性質，將給定的行列式化為上三角形或下三角形行列式，而上（下）三角形行列式的值即為其主對角線上所有元素的乘積。 例1 計算級行列式.分析 該行列式具有各行（列）元素之和相等的特點.可將第列（行）都加到第一列（行）（或第列（行）加到第列(行)），則第1（或）列（行）的元素相等，再進一步化簡即可化為三角形行列式或次三角行列式.解 2.3.2 加邊法或升級法 例2 計算級行列式 分析 該行列式的各行（列）含有共同的元素可在保持原行列式值不變的情況下，增加一行一列（稱為升級發(fā)或加邊法），適當選擇所增加行（或列）的元素，使得下一步化簡后出現(xiàn)大量的零元素.解 2.3.3 遞推法或數(shù)學歸納法 例3 計算級行列式 分析 對于三對角或次三對角行列式，按其第1行（列）或第行（列）展開得到兩項的遞推關系，再利用變形遞推的技巧求解. 解 直接遞推不易得到結果（按低級是可以的），變形得3 行列式的一種特殊類型vandermonde行列式 定義2 我們把型如=的行列式叫做vandermonde行列式，其中表示這個數(shù)碼的所有可能（， ）因子共項的乘積（）。 3.1 vandermonde行列式的證法方法一、消元法證：從第行開始，每一行加上前一行的倍。根據(jù)行列式的性質可知行列式的值不變，此時有 = =1（按行列式首項展開得到） (2)注意到行列式（2）是階vandermonde行列式，即已經(jīng)將用表示出來。重復用上述方法對進行求解，經(jīng)過有限步可以得到：=（）()()= 即證。方法二：數(shù)學歸納法證：當時,成立。假設對于階成立，對于階有：首先要把降階，從第n行起后一行減去前一行的倍，然后按第一行進行展開，就有，于是就有=，其中表示連乘，的取值為，原命題得證。方法一與方法二的實質與算法是一致的，可以說是同一種方法。3.2 vandermonde行列式的性質3.2.1 推廣的性質定理：行列式= = (k=0,1,2n-1),其中是中（）個數(shù)的一個正序排列。表示對所有（）階排列求和。 證：（i）在行列式中增補第（）行和（）列相應的元素考慮（）階vandermonde行列式 = = (*) (ii)由(*)式的兩端分別計算多項式中項的系數(shù)，在(*)左端，由行列式計算：的系數(shù)為行列式中該元素對應的代數(shù)余子式，在(*)式右端，由多項式計算為的個不同根。根據(jù)根與系數(shù)的關系，項的系數(shù)為，其中是1，2中（）個數(shù)的一個正序排列，表示對所有（）階排列求和。（iii）比較中項的系數(shù)，計算行列式，因為(*)式左右兩端項系數(shù)應該相等，所以 即 （*） 定理得證。 利用此性質定理可以計算各階準vandermonde行列式，簡便易行。特別，當時，令=1，（*）式即為vandermonde行列式v。例4 計算準vandermonde行列式 解 由定理，=6,=3,所以 = .3.2.2 一個vandermonde行列式為0的充分必要條件是中至少有兩個相等.3.2.3 vandermonde行列式的偏導數(shù).定理 ，由vandermonde行列式的定義知，是的元函數(shù).例5 設是個兩兩互異的數(shù)，證明對任意個數(shù)，存在唯一的次數(shù)小于的多項式，使得，.證 從定義容易看出的次數(shù)小于，且，故只需證明唯一性即可.設滿足，即，這個關于的線性方程組系數(shù)行列式為，故是唯一的，必須. 這就是有名的拉格朗日插值公式。例6 設是個復系數(shù)多項式，滿足 . 證明： . 證：設，取，分別以代入，可得 ，這個關于的齊次線性方程組的系數(shù)行列式為，因此.3.3 vandermonde行列式的翻轉與變形.3.3.1 將vandermonde行列式逆時針旋轉，得.3.3.2將vandermonde行列式順時針旋轉，得.3.3.3 將vandermonde行列式旋轉，得 .34 vandermonde行列式的應用3.4.1 vandermonde行列式在cramer法則中的應用. 例7 設是互不相同的數(shù)，求解下面的方程組. 解： 系數(shù)行列式為，其中，所以，.3.4.2 如何利用vandermonde行列式計算行列式 法一 所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，但其方冪次數(shù)或其排列與vandermonde行列式不完全相同，需利用行列好似性質（如提取公因式，調換各行（列）的次序等）將行列式化為vandermonde行列式。 例8 計算解： . 法二 利用行列式性質，改變原行列式中的元素，產(chǎn)生以新元素為行（列）的vandermonde行列式。例9 計算階行列式，其中，（）.解：提取各行的公因式，得到（vandermonde行列式） 上式右端行列式是以新元素為列元素的 階vandermonde行列式，所以 =.法三 如階行列式的第行（列）由兩個分行（列）所組成，其中任意相鄰兩行（列）均含有相同分行（列），且中含有個分行（列）組成的vandermonde行列式，那么將的第行（列）乘以（）加到（）行（列），消除一些分行（列），即可化成vandermonde行列式。 例10 計算行列式=.解：在的第2行中去掉與第一行成比例的分行，得到=在上面行列式的第3行中去掉與第2行成比例的分行，得到一個新的行列式，在此新行列式的第4行中去掉與第3行成比例的分行，得到 =.法四 各行（列）元素均為某一元素的不同方冪，但都缺少同一方冪的行列式，可用各種方法化成vandermonde行列式。下面用加邊法。例11 （缺行vandermonde行列式）. 解：注意此行列式與vandermonde行列式的區(qū)別在于的冪跳過，我們自然會想到把缺了的冪補起來，再利用vandermonde行列式，故令=.另一方面，對按最后一列進行l(wèi)aplace展開，可知的代數(shù)余子式是.因此視為的多項式，則應是的系數(shù)，故（的系數(shù)） .注1缺行vandermonde行列式也叫做超vandermonde行列式或準vandermonde行列式。注2 利用此例中的添加一些行和列的方法，還可計算跳過兩個冪的超vandermonde行列式，及其他行列式。 注意當時，故也含因子。特別，知.因和都是齊次及對稱多項式，故應是次齊次對稱多項式。按的次序排列時，的首項為（的首項），故知的首項為，由此可得到. 法五 行列式中其他各行（列）都是元素的不同方冪，只有一行（列）的元素不是相應元素的零次冪（即該行（列）元素都不是1），而是各行（列）元素的函數(shù)，利用行列式性質將這一行（列）元素化為全是1的元素。 例12 證明=. 證：將的第1行加到第3行上，得到= .3.4.3 vandermonde行列式在多項式理論中的應用 例13 設多項式，；，則不可能有非零且重數(shù)大于的根。證明：反設是的重數(shù)大于的根，則，進而即 （3） 把（3）看作以為未知量的齊次線性方程組，則（3）的系數(shù)行列式為 . 故方程組（3）只有零解，從而，因此必須，這與矛盾，故 沒有非零且重數(shù)大于的根。4 小結以上我們在回顧行列式相關知識的基礎上，進一步系統(tǒng)的闡述了vandermonde行列式的一些重要性質和應用等知識。以便更好的為我們的科研和生活服務。參考文獻:1張賢科，許甫華.高等代數(shù)m.清華大學出版社，19982盧剛，馮翠蓮.線性代數(shù)m.北京大學出版社，2006.63bernard kolman,david r.hill.linear algebra, high education press，2005,7.4樊惲，鄭延履，劉合國.線性代數(shù)學習指導m.北京:科學出版社，2003.25萬勇，李兵.線性代數(shù)m.上海：復旦大學出版社，2006.86毛綱源.線性代數(shù)解題方法技巧歸納m.武漢：華中科技大學出版社，2000.37蘇醒僑，盧陳輝.線性代數(shù).冶金工業(yè)出版社，2004.98王新長， vandermonde行列式在高等代數(shù)中的應用j，井岡山師范學院學報（自然科學），2002年23（5），54-58.9linear algebra and its applications，david c.lay美沈復興，傅鶯鶯，莫單玉等譯.人民郵電出版社.2007.710宴林，范德蒙行列式的應用j,文山師范高等專科學校學報，2001，13（2），55-57.11劉建中，范德蒙行列式的一個性質的證明及其應用j,河北大學學報（自然科學版），2000，20（1），84-85.12張禾瑞, 高等代數(shù)m,北京：高等教育出版社，1989，7.13chongying dong,fu-an li. recent developments in algebra and related areas.high education press,2009.1. 謝 辭在論文的選題及撰寫過程中得到我的指導教師的悉心指導，在此表示衷心的感謝。指導老師嚴謹治學的態(tài)度使我受益匪淺.在論文寫作的這段時間里,他時刻關心著我的論文完成情況,并時常給我指出論文中的缺點和需要改進的地方,最后才能使得我順利完成論文。同時感謝其他所有幫助過我的老師、同學以及一起努力過的朋友。 .acknowledgements my deepest gratitude goes first and foremost to professor aaa , my supervisor, for her constant encouragement and guidance. she has walked me through all the stages of the writing of this thesis. without her consistent and illuminating instruction, this thesis could not havereached its present form. second, i would like to express my heartfelt gratitude to professor aaa, who led me into the world of translation. i am also greatly indebted to the professors and teachers at the department of english: professor dddd, professor ssss, who have instructed and helped me a lot in the past two years. last my thanks would go to my beloved family for their loving considerations and great confidence in me all through these years. i also owe my sincere gratitude to my friends and my fellow classmates who gave me their help and time in listening to me and helping me work out my problems during the difficult course of the thesis. my deepest gratitude goes first and foremost to professor aaa , my supervisor, for her constant encouragement and guidance. she has walked me through all the stages of the writing of this