江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2017屆高三教學(xué)情況調(diào)研（二）（5月）數(shù)學(xué)試題含答案

2016年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二） 數(shù)學(xué)試題 一、填空 題：本大題共 14 個小題 ,每小題 5 分 ,共 70 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1已知集合 13A x x ， 2B x x，則 2已知 i 為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)1 3（ ），2 2，且121 ，則y 3下表是一個容量為 10 的樣本數(shù)據(jù)分組后的頻數(shù)分布 x ，則 x 的值為 4已知直線 2 3 0為雙曲線 221（ 0a ， 0b ）的一條漸近線，則 該雙曲線的離心率的值為 5據(jù)記載，在公元前 3 世紀，阿基米德已經(jīng)得出了前 n 個自然數(shù)平方和的一般公式 n 個自然數(shù)平方和的算法流程圖，若輸入 x 的值為 1，則輸出 S 的值為 6已知1是集合 22,1x y x y所表示的區(qū)域，2是集合 ,x y y x 所表示的區(qū)域，向區(qū)域1內(nèi)隨機的投一個點，則該點落在區(qū)域2內(nèi)的概率為 7已知等比數(shù)列 n 項和為比 3q ，34533，則3a 8已知直四棱柱底面 是邊長為 2 的菱形，側(cè)面對角線的長為 23，則該直四棱柱的側(cè)面積為 9已知 是第二象限角，且 3， ta n 2 ，則 10已知直線 l ： 2 1 0m x y m ，圓 C ： 22 2 4 0x y x y ，當直線 l 被圓 C 所截得的弦長最短時，實數(shù) m 11在 ，角 A ， B ， C 對邊分別是 a ， b ， c ，若滿足 2 c o s 2 3b A c a，則角 B 的大小為 12在 ， C ， 1 AC t ， P 是 在平面內(nèi)一點，若4 A B A A C 積的最小值為 13已知函數(shù) 24 , 0 ,3, 0 ,x x 若函數(shù) 3g x f x x b 有三個零點，則實數(shù) 14已知 a ， b 均為正數(shù)，且 20ab a b ，則 2 2214a 的最小值為 二、解答題 （本大題共 6 小題，共 90 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 15已知向量 3 c o s , 1 2s i n , c o sn x xr . （ 1）當3x 時，求 mnur r 的值； （ 2）若 0,4x ，且 3132 ur r ，求 值 . 16如圖，在四面體 ，平面 平面 E ， F ， G 分別為 中點， C ， 90o . （ 1）求證： 平面 （ 2）若 P 為 任一點，證明 平面 17某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水蜜桃樹的產(chǎn)量 w （單位：百千克）與肥料費用 x （單位：百元）滿足如下關(guān)系： 341w x，且投入的肥料費用不超過 5 百元 需要投入其他成本（如施肥的人工費等） 2x 百元 市場售價為 16 元 /千克（即 16百元 /百千克），且市場需求始終供不應(yīng)求 位：百元） . （ 1）求利潤函數(shù) 寫出定義域； （ 2）當投入的肥料費用為多少時，該水蜜桃樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？ 18已知函數(shù) 3x a x b x， a ， b 為實數(shù)， 0b ， e 為自然對數(shù)的底數(shù)，e L . （ 1）當 0a ， 1b 時，設(shè)函數(shù) （ 2）若關(guān)于 x 的方程 0在區(qū)間 1,e 上有兩個不同實數(shù)解，求 19已知橢圓 C ： 221（ 0 ）的左焦點為 1,0F ，左準線方程為 2x . （ 1）求橢圓 C 的標準方程； （ 2）已知直線 l 交橢圓 C 于 A ， B 兩點 . 若直線 l 經(jīng)過橢圓 C 的左焦點 F ，交 y 軸于點 P ，且滿足 F F求證： 為定值； 若 B （ O 為原點），求 積 的取值范圍 . 20已知數(shù)列 a， 2142，其中 *， ， 為非零常數(shù) . （ 1）若 3 ， 8 ，求證： 1為等比數(shù)列，并求數(shù)列 （ 2）若數(shù)列 求實數(shù) ， 的值； 數(shù)列 n 項和 試問：是否存在首項為1得該子數(shù)列中的所有項之和恰好為2017？若存在，求出所有滿足條件的四項子數(shù)列；若不存在，請說明理由 . 2016年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二） 數(shù)學(xué)（附加）試題 21【選做題】本題包括 A， B， C， D 四小題，每小題 10 分，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評分 明過程或演算步驟 . 何證明選講 如圖，直線 圓 O 于點 D ，直線 圓 O 于 A ， B 兩點， B 于點 C ，且2E ，求證： 23C . 陣與變換 已知矩陣 13 一個特征值 1 1 及對應(yīng)的特征向量 11er . 求矩陣 逆矩陣 . 標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系 ，以 O 為極點， x 軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度，建立極坐標系 2 c o s ,3 2 s i （ 0, 2 ， 為參數(shù)），曲線2s i n3 a（ ） 實數(shù) a 的值 . 等式選講 已 知 a ， b ， c 為正實數(shù)，求證： 2 2 2b c aa b c . 【必做題】第 22， 23 題，每小題 10 分，共 20 分，請把答案寫在答題卡的指定區(qū)域內(nèi)，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 22已知袋中裝有大小相同的 2 個白球、 2 個紅球和 1 個黃球 個白球、紅球和黃球的分值分 別是 0 分、 1 分和 2 分，每一局從袋中一次性取出三個球，將 3 個球?qū)?yīng)的分值相加后稱為該局的得分，計算完得分后將球放回袋中 n 局得 *）的情況就算游戲過關(guān)，同時游戲結(jié)束，若四局過后仍未過關(guān)，游戲也結(jié)束 . （ 1）求在一局游戲中得 3 分的概率； （ 2）求游戲結(jié)束時局數(shù) X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 23已知 01 1 n nf x C x C x 1 x k L 1 x n L，其中 ， *， ， . （ 1）試求 1 2 3 （ 2）試猜測 n 的表達式，并證明你的結(jié)論 . 2016年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二） 數(shù)學(xué)參考答案 一、填空題 1 12 2 1 3 4 2135 14 6 347 3 8 16 2 9 1710 1 11612 3213 ,6 U 1,04 14 7 二、解答題 15解：（ 1）當3x 時， 3 ,12m 31,24n r ， 所以 ur r 3 1 14 4 2. （ 2） ur r 23 c o s s i n c o sx x x 3 1 1s i n 2 c o s 22 2 2 1s i ， 若 3132 ur r ，則 1s i n 262x 3132 ，即 3s i n 263x， 因為 0,4x ，所以 26 6 3x ，所以 6c o s 263x， 則 c o s 2 c o s 266 3c o s 262x 1s i n 2 62x 6 3 3 13 2 3 2 3 2 36 . 16解：（ 1）因為平面 平面 90 ，即 C ， 平面 面 C ， 平面 所以 平面 又 平面 所以 B ， 因為 C ， E 為 中點，所以 B ， 又 D CI ， 平面 平面 所以 平面 （ 2）連 因為 E ， F 分別為 中點， 所以 D ，又 平面 平面 所以 平面 同理可證 平面 且 G EI ， 平面 平面 所以平面 平面 又 P 為 任一點，所以 平面 所以 平面 17解：（ 1） 31 6 41Lx x2 486 4 31 （ 05x ） . （ 2） 486 4 31L x 486 7 3 11 486 7 2 3 11 43 . 當且僅當 48 311 時，即 3x 時取等號 . 故 3. 答：當投入的肥料費用為 300 元時，種植該果樹獲得的最大利潤是 4300 元 . 18解：（ 1）當 1b 時，函數(shù) 3x a x x， 則 23af x 23， 令 0 ，得3 3，因為 0a 時，3 03a， 所以 3 3ag a f 33 3a a a， 令 x x x x ， 則 x x ，令 0 ， 得 1x ， 且當 1x 時， ， 所以 （表格略），（分段寫單調(diào)性即可），此時 3a . （ 2）由題意得，方程 3a x 在區(qū)間 1,e 上有兩個不同實數(shù)解， 所以 3區(qū)間 1,e 上有兩個不同的實數(shù)解， 即函數(shù)1 ay b圖象與函數(shù) 3x圖象有兩個不同的交點， 因為 223 l n 1 ，令 0 ，得 3 ， 所以當 31, 時， 3 e ,， 當 3 e, 時， 33e , ， 所以 a ， b 滿足的關(guān)系式為 33e ，即 33e,e . 19解：（ 1）由題設(shè)知 1c ， 2 2， 2 2， 2 2a， 2 2 2 1b a c ， C ： 2 2 12x y. （ 2）由題設(shè)知直線 l 的斜率存在，設(shè)直線 l 的方程為 1y k x，則 0,設(shè) 11,A x y， 22,B x y，直線 l 代入橢圓得 2222 1 2x k x ，整理得， 2 2 21 2 4k x k x 22 2 0k ， 212 2412k ， 212 22212k . 由 F F111 ， 221 ， 1 2 1 21 2 1 221 x x x xx x x x 22224 4 41 2 1 24 2 211 2 1 24 41 （定值） . 當直線 別與坐標軸重合時，易知 面積 22S， 當直線 斜率均存在且不為零時，設(shè) y ， 1， 設(shè) 11,A x y， 22,B x y，將 y 代入橢圓 C 得到 2 2 222x k x， 21 2221x k ， 221 2221ky k ，同理 222 222 kx k ， 22 222y k ， 面積2 222212 1 2. 令 2 1 1, ， 22 1 121112， 令 1 0,1，則212S 211924u 22,32 . 綜上所述， 22,32S . 20解：（ 1）當 3 ， 8 時， 213 8 42 3 2 22 32， 1 1 3 1 . 又 10，不然1 10a ，這與1 12a 矛盾， 1為 2 為首項， 3 為公比的等比數(shù)列， 11 2 3 ， 12 3 1 . （ 2）設(shè) 1 1na a n d 1dn d ， 由 2142得 1 2 2 4， 31d n d d n 21dn d 14d n d ， 2 2 243d n d d n d 22 21d n d 21dn d 14d 對任意 *恒成立 . 令 1n ， 2， 3，解得， 1 ， 4 ， 2d . 經(jīng)檢驗，滿足題意 . 綜上， 1 ， 4 ， 21. 由知 21 2 12. 設(shè)存在這樣滿足條件的四元子列，觀察到 2017 為奇數(shù)，這四項或者三個奇數(shù)一個偶數(shù)、或者一個奇數(shù)三個偶數(shù) . 1若三 個奇數(shù)一個偶數(shù)，設(shè)1S，21，21，2 則 21 2 1x 2 22 1 4 2 0 1 7 ， 2 2 22 x x y y z 1007 ，這與 1007 為奇數(shù)矛盾，不合題意舍去 . 2 若一個奇數(shù)三個偶數(shù)，設(shè)1S，2 則 2214x 224 4 2 0 1 7 ， 2 2 2 504x y z . 由 504 為偶數(shù)知， x ， y ， z 中一個偶數(shù)兩個奇數(shù)或者三個偶數(shù) . 1）若 x ， y ， z 中一個偶數(shù)兩個奇數(shù)，不妨設(shè)12121，121， 則 2 2 21 1 1 1 12 x y y z z 251，這與 251 為奇數(shù)矛盾 . 2）若 x ， y ， z 均為偶數(shù)，不妨設(shè)121212 則 2 2 21 1 1 126x y z ，繼續(xù)奇偶分析知1x，1y，1 不妨設(shè)1221221，1221，則 22222x y y 22231. 因為 221 221為偶數(shù)，所以2妨設(shè)220 ， 當2 1x 時， 222 2 2 2y y z z 30， 22214，檢驗得2 0y ，2 5z ，2 1x ， 當2 3x 時， 222 2 2 2y y z z 22， 22210，檢驗得2 1y ，2 4z ，2 3x ， 當2 5x 時 ， 222 2 2 2y y z z 6， 2222，檢驗得2 0y ，2 2z ，2 5x ， 即1S，4S，8S，442S，24S，36S，20S，40 綜上所述， 1 4 8 4 4, , ,S S S S， 1 1 2 2 4 3 6, , ,S S S S， 1 4 2 0 4 0, , ,S S S （第卷 理科附加卷） 21 結(jié) 設(shè)圓的半徑為 R ， BE x ，則 ， 22D E BE x. 在 ， BQ ， 2O D O C O E ，即 2R O C R x ， 又 Q 直線 圓 O 于點 D ，則 2D E E，即 24 x x R x ， 23 ，代入， 2 23 C R ， 35 B C O B O C 3255 ， 23C. 題知， 1 1 13 1 3 111 1 1,3 1, 2a， 2b ， 1232M 12d e t 32M 2 2 3 4 ， 111223144M 2 233 224 c o s 4 s i n 4， 曲線 1C 的普通方程為 221 3 4 . s i n 3 a， 13s i n c o a ， 曲線 2C 的直角坐標方程為 3 2 0x y a ， 曲線1 2 23 3 3 1 2231 ， 32a ， 1a或 5a . 本不等式 2 2Q， 2 2， 2 2， 22b 2 2 2 2a ， 2 2 2b c aa b c ， 22解：（ 1）設(shè)在一局游戲中得 3 分為事件 A ， 則 1112 2 13525. 答：在一局游戲中得 3 分的概率為 25. （ 2） X 的所有可能取值為 1， 2， 3， 4. 在一局游戲中得 2 分的 概率為 1 2 2 12 2 2 135310C C C ， 212235115 ； 4 3 65 1 0 2 5 ； 43315 1 0 2 285 125 ； 43415 1 0 3 425 125 . 所以 1125 6 2 8342 5 1 2 5 42 337125 125. 23解：（ 1） 011 1 1 1f x C x C x 11 ； 20 2 12 2 2 1f x C x C x 222 2 222 2 1x