高等數(shù)學2期末復習題與答案

1、高等數(shù)學2期末復習題一、填空題：1. 函數(shù)的定義域是 1X2+Y23 .2.設則 .3.函數(shù)在點的全微分 4設則 .設則 .5.設 而 則 6函數(shù) 在點（1，2）處沿從點（1，2）到點（2，）的方向導數(shù)是 7.改換積分次序 ； .8若L是拋物線 上從點A到點B的一段弧，則= 9.微分方程的通解為 .二、選擇題：1 等于 （ ）（上下求導）A2， B. C.0 D.不存在2函數(shù) 的定義域是（ D ）A B. C. D3. （ B ）A. B. C. D. 5.設，且F具有導數(shù)，則（D ）A.； B.；C. ； D. .6曲線 ，在 處的切向量是 （ D ）A B. C. D.7對于函數(shù) ，原點

2、（ A ）A是駐點但不是極值點 B.不是駐點 C.是極大值點 D.是極小值點8設I=， 其中D是圓環(huán)所確定的閉區(qū)域，則必有（ ）AI大于零 B.I小于零 C.I等于零 D.I不等于零，但符號不能確定。9. 已知L是平面上不包含原點的任意閉曲線，若曲線積分 ，則a等于 （ ）. A -1 B 1 C 2 D -210若L為連接及兩點的直線段，則曲線積分=（ ）A0 B.1 C. D.211.設D為則（ ） A.； B. ； C. ； D. .12. 微分方程的通解為（ ）A.； B.；C.；D.13.（ ）是微分方程在初始條件下的特解.A.；B.；C.；D.三、計算題：1.設，求 及，其中f 具

3、有一階連續(xù)偏導數(shù). 2 設， 求 ， 3 求旋轉拋物面 在點處的切平面及法線方程。4 求函數(shù)的極值5 計算，其中D是由圓周 及軸所圍成的右 半閉區(qū)域.6 計算，其中D是以O（0,0），A（1,1），B（0,1）為頂點的三角形閉區(qū)域.7.計算 ，其中是三個坐標面與平面 所圍成的區(qū)域.8.計算 ，其中L為圓 的正向邊界。9.計算曲線積分 其中L是從O(0, 0)沿上半圓到A(2, 0). 10.驗證：在整個面內(nèi)，是某個函數(shù)的全微分，并求出這樣的一個函數(shù).11.求微分方程 的通解.12.求解微分方程的特解： 13.解微分方程 .四、應用題：1.用鋼板制造一個容積為V的無蓋長方形水池，應如何選擇水池的

4、長、寬、高才最省鋼板.2.已知矩形的周長為24cm，將它繞其一邊旋轉而構成一圓柱體，試求所得圓柱體體積最大時的矩形面積.3.求拋物線所圍成的閉區(qū)域的面積.4.求拋物面與錐面所圍成的立體的體積.高等數(shù)學2期末復習題答案一、填空題：1、 2、 3、 4、 5、6、 （注：方向導數(shù)）7、； 8、 （注：） 9、二、選擇題：1、A; 2. D; 3. B; 4.缺 5. D; 6. D; 7. A; 8. A; 9. A; 10.C;11. C; 12.C; 13.D三、計算題：1.解：令，則 2. 解：兩方程分別兩邊對求偏導數(shù)，注意是關于的二元函數(shù)，得 即 這是以為未知量的二元線性方程組。當 時，有

5、 ，3. 解：旋轉拋物面 在點處的切向量 于是，所求切平面方程為 ，即 法線方程為 4. 解：解方程組，得四個駐點.又 . 對且,則是函數(shù)的極小值點； 對,則不是極值點； 對,則不是極值點； 對,且,則是函數(shù)的極大值點. 于是，函數(shù)有極小值，極大值 .5. 解：利用極坐標變換，令，則，且D可表示為：.于是 .6. 解：三角形區(qū)域D由直線及軸圍成，選擇先對積分，.（注：此題也可以參看課本167頁例2的解法）7.解題過程見課本124頁例1.8. 解：在L圍成的圓域D:上全在連續(xù)的偏導數(shù)，從而 .于是由格林公式，得.9. 解：，有 在整個平面上恒成立，所以曲線積分與路徑無關，故可取軸上線段OA作為積

6、分路徑.OA的方程為，且從0變到2，從而.10. 解：，有 ， 即有在整個平面上恒成立，因此在整個面內(nèi)，是某個函數(shù)的全微分.取ARB為積分路徑，其中各點坐標分別為，得 .11. 解法一：方程可改寫為 ，這是一階非齊次線性微分方程.先求對應的齊次線性方程的通解. 由，分離變量，得，兩邊積分，解得 .用常數(shù)變易法，將換成.即，.代入原方程，化簡得 .故 .于是方程的通解為 .解法二：方程可改寫為 .這是一階非齊次線性微分方程，其中.利用通解公式 .12. 課本212頁第8題第（1）小題。 解：原方程可寫成 .令，即 ，有 ，則原方程成為 ，分離變量，得 .兩邊積分，得.代入并整理，得通解 .由初始

7、條件得 .于是所求特解為 .13.解題過程見課本212頁例5.四、應用題：1.解法一：設水池的長、寬、高分別是.已知xyz=V，從而高，水池表面的面積 S的定義域. 這個問題就是求二元函數(shù)S在區(qū)域D內(nèi)的最小值. 解方程組 在區(qū)域D內(nèi)解得唯一得駐點.根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)必存在,因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當長，寬均為，高為時，水池所用材料最省. 解法二：設水池的長、寬、高分別是.已知xyz=V，水池表面的面積 S的定義域.此題就是求函數(shù)在約束條件xyz=V下的最小值.構造拉格朗日函數(shù) . 解方程組 比較（1），（2），（3）式，得 x=y=2z，代入（4）式中，有,即.于是，x,y,z只有唯一一組解.由問題的實際意義最小值在定義域內(nèi)必存在.因此，函數(shù)S在其唯一駐點處必取得最小值.故當長方形水池的長，寬，高分別是時所用材料最省.2.解題過程見課本98頁例4.3.利用二重積分求閉區(qū)域的面積解：所求區(qū)域的面積為 ，其中D為拋物線所圍成的閉區(qū)域.兩曲線交于兩點（0,0），（1,2）.選擇先對積分，于是，.4.利用三重積分計算立體的體積. 解法一：所求立體的體積為 ，其中是拋物面與錐面所圍成的立體. 利用直角坐