數(shù)學實驗課件：數(shù)學實驗第三章

1、符號計算與微積分,符號表達式創(chuàng)建 微積分符號計算 級數(shù)求和與泰勒展式 常微分方程符號解, ,符號表達式符號變量、運算符、函數(shù)、數(shù)字組成 表達式語句: 變量名=符號表達式 符號表達式以符號變量為基礎;符號變量需聲明后才可以投入使用。,MATLAB的符號計算主要功能是處理符號表達式，即針對常用數(shù)學表達式進行代數(shù)符號計算。,聲明符號變量的語句格式: syms 開始, 空格后跟變量列表, 變量名以英文字母為首 syms x1 x2 y1 y2 z1 z2,syms x ; f = exp(-0.2*x)*sin(0.5*x); ezplot(f,0,8*pi),例3.2 用符號表達式定義 f(x)=

2、e-0.2xsin0.5x 并繪圖.,Name Size Bytes Class f 1x1 168 sym object x 1x1 126 sym object,Whos ,例3.4 用符號計算驗證三角恒等式,syms x1 x2; y1= sin(x1)*cos(x2)-cos(x1)*sin(x2); y2=simple(y1) expand(y2),y2 = sin(x1-x2) ans = sin(x1)*cos(x2)-cos(x1)*sin(x2),練習:分別用simple和simplify對符號表達式 cos(x)2-sin(x)2 進行化簡，觀察結(jié)果,化簡符號表達式方法si

3、mple() 或simplify(),微積分符號計算,diff(f) 對缺省變量求導數(shù) diff(f,v) 對指定變量 v 求導數(shù) diff(f,v,n) 對指定變量 v 求n階導數(shù) int(f) 對f表達式的缺省變量求積分 int(f,v) 對f表達式的v變量求積分 int(f,v,a,b) 對f表達式的v變量在a, b 區(qū)間求定積分,例 計算 f = arctan(x) 的導數(shù)并繪圖,syms x y=atan(x);y1=diff(y,x), y2=diff(y1,x), figure,ezplot(y) figure, ezplot(y1) figure, ezplot(y2),y1=

4、1/(1+x2) y2=-2/(1+x2)2*x,例3.9 計算不定積分,syms a b x F=int(exp(a*x)*sin(b*x);F=simplify(F) F = exp(a*x)*(-b*cos(b*x)+a*sin(b*x)/(a2+b2),f=diff(F);f=simplify(f) f = exp(a*x)*sin(b*x),并求原函數(shù)導數(shù)，驗證不定積分正確性,例 加油站油庫深度12米呈啤酒桶形狀,頂部和底部半徑為2米,中心半徑為3米?？v截面右側(cè)是拋物線,t=linspace(-6,6,30);r=3-t.2/36; cylinder(r,30),axis off s

5、yms d D f=3-d*d/36;V=pi*int(f*f,d,-6,D) V12=subs(V,D,6),V =pi*(1/6480*D5+216/5-1/18*D3+9*D) V12 = 271.4336,利用公式 計算儲油量,符號表達式中變量替換方法subs(),例3.11 計算曲線段 f(x)=exp(a x)sin(b x), 繞X軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面體積,數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為數(shù)值數(shù)據(jù): double(A),syms a b x f=exp(a*x)*sin(b*x); f1=subs(f,a,-0.2); f2=subs(f1,b,0.5); V=pi*int(f2*f2,x,0,2*pi)

6、 double(V),V =pi*(-125/116*exp(-4/5*pi)+125/116) ans = 3.1111,theta=linspace(2*pi,0,20); r=exp(-0.2*theta).*sin(0.5*theta); figure(1),cylinder(r) axis off,旋轉(zhuǎn)曲面的繪圖注記：,X,Y,Z=cylinder(r); figure(2),mesh(-Z,X,Y) axis off colormap(0 0 0),例 衛(wèi)星信號對地球的覆蓋面積,通信衛(wèi)星的軌道位于地球赤道平面內(nèi),衛(wèi)星運行的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同.衛(wèi)星距地面的最低高度為 h (

7、km),計算衛(wèi)星信號對地球的覆蓋面積,球面方程,S = 2*R2*pi*h/(R+h),syms r R t x=r*cos(t);y=r*sin(t); f=R/sqrt(R2-x2-y2); S1=int(f*r,t,0,2*pi); S=int(S1,r,0,R*sqrt(1-(R/(R+h)2); S=simple(S),SS=subs(S,R,h,6400,20000); S0=4*pi*64002; SS/S0*100,信號覆蓋率 ans = 37.8788,球冠面積公式,級數(shù)求和運算,S=symsum(f，n，a，b),syms k n S=symsum(k,k,1,n)；S1=

8、simple(S) S1 =1/2*n*(n+1) S=symsum(k2,k,1,n);S2=simple(S) S2 =1/6*n*(n+1)*(2*n+1),例3.17計算級數(shù),taylor(f,n,x) n-1次麥克勞林多項式展開 taylor(f,n,x,a) a點的n-1次泰勒多項式展開.,例3.21求橢圓積分近似表達式,syms t e2 x f=sqrt(1-e2*x) F=taylor(f,3,x) g=subs(F,x,cos(t)2) int(g,0,pi/2),ans= 1/2*pi-1/8*e2*pi-3/128*e22*pi,命令格式：dsolve(eq1,con1,x) y的一階導數(shù) Dy, y的二階導數(shù) D2y,例3.