大學(xué)物理課件：第三章 剛體動力學(xué)

1、1,第 3 章,Dynamics of Rigid Body,力矩的瞬時(shí)、時(shí)間、空間累積效應(yīng),2,3.1 力矩的瞬時(shí)效應(yīng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動,剛體運(yùn)動中形狀和大小都保持不變的物體。 (a)剛體上各質(zhì)點(diǎn)之間的距離保持不變。 (b)剛體有確定的形狀和大小。 (c)剛體是由許多質(zhì)點(diǎn)(質(zhì)元)組成的質(zhì)點(diǎn)系。 1.剛體的平動和轉(zhuǎn)動 如果剛體內(nèi)任何兩點(diǎn)的連線在運(yùn)動中始終保持平行，這樣的運(yùn)動就稱為平動。 平動剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)完全相同。 平動剛體可視為質(zhì)點(diǎn)。質(zhì)心是平動剛體的代表。,一. 剛體運(yùn)動學(xué),3,剛體一般運(yùn)動可看作是平動和轉(zhuǎn)動的結(jié)合。,2.定軸轉(zhuǎn)動的描述,如果剛體內(nèi)的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線(轉(zhuǎn)軸)作圓周運(yùn)動

2、，這種運(yùn)動便稱為轉(zhuǎn)動。,轉(zhuǎn)軸固定不動定軸轉(zhuǎn)動。,定軸轉(zhuǎn)動剛體上各質(zhì)點(diǎn)的線量(速度、加速度)不同。 但各質(zhì)點(diǎn)的角量(如角位移、角速度和角加速度)相同。,4,若角加速度 =c(恒量)，則有,5,二. 剛體的定軸轉(zhuǎn)動,1.力矩,M=Frsin,力矩的大小:,=Fd,(1)只有在垂直于轉(zhuǎn)軸平面內(nèi)的力才會產(chǎn)生力矩; 平行于轉(zhuǎn)軸的力是不會產(chǎn)生力矩的。,(2)力矩的方向沿轉(zhuǎn)軸。,注意: 對定軸轉(zhuǎn)動,方向:,6,2.剛體定軸轉(zhuǎn)動定理,mi: 切向方程:,合外力矩,合內(nèi)力矩,M,剛體定軸轉(zhuǎn)動定理,7,質(zhì)量m物體平動慣性大小的量度。 轉(zhuǎn)動慣量I物體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。,1.轉(zhuǎn)動慣量的物理意義,三. 轉(zhuǎn)動慣量,8,

3、I=mi ri2 即：剛體的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體上各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量乘以它到轉(zhuǎn)軸距離的平方的總和。 (2)質(zhì)量連續(xù)分布剛體,式中: r為剛體上的質(zhì)元dm到轉(zhuǎn)軸的距離。,(1)質(zhì)量離散分布剛體,2.轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算,9,3.平行軸定理,Io=Ic+Md2,Ic 通過剛體質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動 慣量,M 剛體系統(tǒng)的總質(zhì)量 d 兩平行軸(o,c)間的距離,10,Ic是轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量，于是,= 0,11,o,通過o點(diǎn)且垂直于三角形平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量為 IO=,3,+ml2,=2ml2,=ml2,例題1.1 質(zhì)量離散分布: I=mi ri2,ml2,(1)輕桿連成的正三角形頂點(diǎn)各有一質(zhì)點(diǎn)m，此系統(tǒng)對通過質(zhì)心C且垂直于

4、三角形平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量為,+(3m)r2=2ml2,12,IO=m.02,=30ml2,+2m(2l2),+3m(2l)2,+4ml2,+5m(2l2),(2)用輕桿連接五個(gè)質(zhì)點(diǎn), 轉(zhuǎn)軸垂直于質(zhì)點(diǎn)所在平面且通過o點(diǎn), 轉(zhuǎn)動慣量為,13,記?。?例題1.2 質(zhì)量連續(xù)分布:,若棒繞一端o轉(zhuǎn)動，由平行軸定理， 則轉(zhuǎn)動慣量為,解,(1)均質(zhì)細(xì)直棒(質(zhì)量m、長l)，求通過質(zhì)心C且垂直于棒的軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量。,14,(3)均質(zhì)圓盤(m,R)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量:,(2)均質(zhì)細(xì)圓環(huán)(m, R)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量:,15,解 由 M=I , = o+ t 有外力矩時(shí),撤去外力矩時(shí), -Mr=I2 , 2=-

5、/t2 (2) 代入t1=10s , t2=100s , =(1002)/60=10.5rad/s, 得 I=17.3kg.m2 。,20=I1， 1= /t1 (因o=0),例題1.3 一轉(zhuǎn)輪在20N.m的外力矩作用下，10s內(nèi)轉(zhuǎn)速均勻地由零增大到100rev/min。撤去外力矩，它經(jīng)100s停止。求轉(zhuǎn)輪的轉(zhuǎn)動慣量。,剛體定軸轉(zhuǎn)動定理,16,解 對柱體，由M=I有 mg.R=I,對m: mg-T=ma 對柱： TR=I a=R 解得 =2mg/(2m+M)R T=Mmg/(2m+M),例題1.4 勻質(zhì)柱體(M、R) 邊緣用細(xì)繩掛一質(zhì)量為m的物體。求柱體的角加速度及繩中的張力。,繩中張力Tmg

6、！ 用隔離體法:,17,例題1.6 均勻細(xì)棒(m、長l)AB可繞o軸轉(zhuǎn)動，Ao= l/3。求棒從水平位置靜止開始轉(zhuǎn)過角 時(shí)的角加速度和角速度。,解,重力集中在質(zhì)心，其力矩為,18,完成積分得,討論: (1)當(dāng)=0時(shí)， =3g/2l， =0 (2)當(dāng)=90時(shí)， =0，,又因,19,解,例題1.7 勻質(zhì)圓盤(m、R)以o轉(zhuǎn)動。將盤置于粗糙的水平桌面上，摩擦系數(shù)為，求圓盤經(jīng)多少時(shí)間、轉(zhuǎn)幾圈將停下來？,摩擦力矩:,20,由= o+ t = 0得,又由2-o2=2， 停下來前轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為,求圓盤經(jīng)多少時(shí)間、轉(zhuǎn)幾圈將停下來？,21,L=rpsin=mrsin,=md,則質(zhì)點(diǎn)對o點(diǎn)的角動量(也稱動量矩)為,

7、3.2 力矩的時(shí)間累積效應(yīng)角動量守恒定律,1. 質(zhì)點(diǎn)的角動量,一. 質(zhì)點(diǎn)角動量守恒定律,22,L=rpsin=mrsin=md,問題:一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿一直線以速率運(yùn)動,它對直線上某點(diǎn)的角動量為,它對與直線相距d的某點(diǎn)的角動量為,0;,md。,質(zhì)點(diǎn)對o點(diǎn)的角動量(動量矩)為,23,若質(zhì)點(diǎn)m以角速度沿半徑r的圓周運(yùn)動(如圖),質(zhì)點(diǎn)對給定點(diǎn)o(圓心)的角動量的大小,按SI制,角動量的單位是千克米2/秒(kgm2/s)。 角動量的大小和方向不僅決定于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動,也依賴于所選定的參考點(diǎn),即參考點(diǎn)不同,質(zhì)點(diǎn)的角動量也不同。,L=mr,=m r2,24,2. 質(zhì)點(diǎn)角動量定理,由于,所以,質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩

8、等于它的角動量對時(shí)間的變化率。這個(gè)結(jié)論叫質(zhì)點(diǎn)的角動量定理。,25,沖量矩,合外力矩的沖量(沖量矩)等于質(zhì)點(diǎn)角動量的增量。它是質(zhì)點(diǎn)角動量定理的積分形式。,26,這就是說,如果質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩為零時(shí), 則此質(zhì)點(diǎn)的角動量矢量保持不變。這一結(jié)論叫做質(zhì)點(diǎn)角動量守恒定律。,3. 質(zhì)點(diǎn)角動量守恒守律,27,解,28,=m,29,=0,質(zhì)點(diǎn)所受的力矩:,30,解 小球?qū)點(diǎn)的角動量守恒： mr2 o= m(r/2)2 =4o 由動能定理，拉力的功為,例題2.2 光滑水平桌面，繩通過孔o(hù)拉著小球m以o作半徑r的勻速圓周運(yùn)動，現(xiàn)向下緩慢拉繩，求半徑從r變?yōu)閞/2過程中拉力的功。,31,解得: =4m/s, =3

9、0,解 故機(jī)械能都守恒：,角動量守恒： mo lo=,m lsin,32,對o點(diǎn)的角動量守恒： moR =,解 火箭只受引力(保守力)作用，機(jī)械能守恒：,解得,m 3Rsin,例題2.4 質(zhì)量為m的火箭A以o沿地球表面發(fā)射出去, 其軌道與地軸oo交于C點(diǎn)(oC=3R)。不考慮地球的自轉(zhuǎn)和空氣阻力，求：=？(地球質(zhì)量為M、半徑為R),33,Li=miiri=mi ri2 剛體對z軸的角動量就是 Lz=(mi ri2),=I,二. 剛體的角動量及守恒守律,1.剛體的角動量 剛體的角動量=剛體上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動量之和。,34,2.系統(tǒng)(質(zhì)點(diǎn)系)角動量定理,質(zhì)點(diǎn)角動量定理:,對各質(zhì)點(diǎn)求和，并注意到,得,

10、35,系統(tǒng)所受的合外力矩等于系統(tǒng)總角動量對時(shí)間的變化率質(zhì)點(diǎn)系角動量定理。 它同樣適用定軸轉(zhuǎn)動剛體。,36,即：系統(tǒng)所受合外力矩的沖量(沖量矩)等于角動量的增量。,3. 定軸轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的角動量守恒守律,當(dāng)系統(tǒng)所受合外力矩為零時(shí)，系統(tǒng)的角動量將保持不變定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律。,37,系統(tǒng)動量守恒：,系統(tǒng)角動量守恒：,對比：,38,飛機(jī)要安裝尾翼。 魚雷有兩個(gè)反向轉(zhuǎn)動的螺旋漿。 輪船、飛機(jī)、導(dǎo)彈等上的回轉(zhuǎn)導(dǎo)航儀(也叫“陀螺”)。,39,解,解得,例題2.5 勻質(zhì)桿(長l、M)靜止懸掛。子彈(m,o)射入桿上的A點(diǎn)，并嵌在桿中， 求:(1)子彈射入后瞬間桿的角速度; (2)桿能轉(zhuǎn)過的最大角度。,(1)

11、桿+子彈：碰撞過程角動量守恒：,40,(2)桿在轉(zhuǎn)動過程中顯然機(jī)械能守恒：,轉(zhuǎn)動動能,平動動能,41,解 (1)碰撞過程角動量守恒:,例題2.6 粗糙的水平桌面上()勻質(zhì)細(xì)桿(長2L、m)靜止。兩相同的小球(m、)與桿的兩端同時(shí)發(fā)生完全非彈性碰撞, 求: (1)剛碰后，這一系統(tǒng)的角速度為多少？ (2)桿經(jīng)多少時(shí)間停止轉(zhuǎn)動？(不計(jì)兩小球的質(zhì)量),解得,42,摩擦力矩為,由= o+t得：,(2)桿經(jīng)多少時(shí)間停止轉(zhuǎn)動？(不計(jì)兩小球的質(zhì)量),43,解 系統(tǒng)(圓盤+人) 什么量守恒？ 系統(tǒng)角動量守恒：,例題2.7 勻質(zhì)園盤(M、R)與人( m ,視為質(zhì) 點(diǎn))一起以o繞通過其盤心的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動。當(dāng)此

12、人從盤的邊緣走到盤心時(shí)，圓盤的角速度是多少？,44,Io,=(I+2mr2) ,減小,45,(1)系統(tǒng)(圓盤+人)角動量守恒：,(1)圓盤對地的角速度; (2)欲使園盤對地靜止，人相對園盤的速度大小和方向？,例題2.9 勻質(zhì)園盤(m、R)與一人( ,視為質(zhì)點(diǎn))一起以o轉(zhuǎn)動。若人相對盤以速率、沿半徑為 的園周運(yùn)動(方向如圖), 求:,解,46,人對地=,+,角動量守恒定律只適用于慣性系。,47,解出：,48,(2) 欲使盤靜止，可令,得,式中負(fù)號表示人的運(yùn)動方向與盤的初始轉(zhuǎn)動(o)方向一致。,49,解,例題2.10 空心園環(huán)(Io , R)可繞豎直軸AC轉(zhuǎn)動。開始時(shí)環(huán)o, 小球m靜止在A點(diǎn)，求當(dāng)

13、小球滑到B點(diǎn)時(shí), 環(huán)的角速度及小球相對于環(huán)的速度各為多少。(設(shè)各處光滑, 環(huán)截面很小),對軸AC角動量守恒:,環(huán)的角速度為,50,由相對運(yùn)動，對小球有,B表示小球在B點(diǎn)時(shí)相對于地面的豎直分速度(即相對于環(huán)的速度)。,機(jī)械能守恒:,小球相對于環(huán)的速度為多少?,51,轉(zhuǎn)動動能為,平動動能為,3.3 力矩的空間累積效應(yīng) 定軸轉(zhuǎn)動中的功和能,mi的動能:,=剛體上各質(zhì)點(diǎn)動能之和,一.剛體的轉(zhuǎn)動動能,52,力矩的功率是,二.力矩的功,即：力矩的元功等于力矩M和角位移d的乘積。,=Frsind,=Md,力F的元功是 dA=Fdscos(90o- ),53,上式說明：合外力矩的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。定軸

14、轉(zhuǎn)動動能定理,三.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理,對比:質(zhì)點(diǎn)動能定理：,（I=恒量）,54,式中, hc為剛體質(zhì)心到零勢面的高度。,四.機(jī)械能守恒定律在剛體系統(tǒng)中的應(yīng)用,如果只有保守內(nèi)力作功，則系統(tǒng)(剛體)的機(jī)械能守恒。 在計(jì)算剛體的重力勢能時(shí)，可將它的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心。 剛體的機(jī)械能為,55,解,例題3.1 均勻細(xì)直棒(m、長l)從豎直位置由靜止開始繞軸o轉(zhuǎn)動。求轉(zhuǎn)到與水平面成角時(shí)的角速度和角加速度。,棒在轉(zhuǎn)動的過程中機(jī)械能守恒:,56,注意： 本題也可先由M=I求出 ，再用 =d/dt積分求出。,角加速度：,57,，= r,解 (1)系統(tǒng)機(jī)械能守恒：,例題3.2 系統(tǒng)開始靜止, 彈簧為原長。繩與滑輪間無滑動。求:(1)M下落h時(shí)的速度；(2)彈簧的最大伸長量。,58,(2)