幾何最值問題解法探討

1、幾何最值問題解法探討,解決平面幾何最值問題的常用的方法有： （1）應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值； （2）應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值； （3）應(yīng)用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最值； （4）應(yīng)用二次函數(shù)求最值； （5）應(yīng)用其它知識(shí)求最值。,例1. （2012山東濟(jì)南3分）如圖MON=90，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為【 】 A B C 5D,A,（1）應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值,例2.（2012湖北鄂州3分）

2、在銳角三角形ABC中，BC= ，ABC=45，BD平分ABC，M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是 。,4,例3.（2011四川涼山5分）如圖，圓柱底面半徑為 2cm，高為9 cm ，點(diǎn)A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B，求棉線最短為 。,15,練習(xí)題： 1. 如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2 和4 ，高為5 .若一只螞蟻從P點(diǎn)開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為【 】 A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm 2. 如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC=6cm，點(diǎn)P是

3、母線BC上一點(diǎn)，且PC= 2/3BC一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)P的最短距離是【 】 A、 B、5cm C、 D、7cm,3. 如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP、GP，則BPG的周長(zhǎng)的最小值是 ,二、應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值：,例1. （2012山東萊蕪4分）在ABC中，ABAC5，BC6若點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng)，則BP的最小值是 ,例2.（2012四川廣元3分） 如圖點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B在直線 y=x上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為【 】 A.（0，0） B.（ ， ） C.（ ，

4、） D.（ ， ）,B,例3如圖，ABC中，BAC=60，ABC=45，AB=2 ，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長(zhǎng)度的最小值為 。,例4.（2012浙江臺(tái)州4分）如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為【 】 A1 B C 2 D 1,B,例5（2012福建南平14分）如圖，在ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，且1=B=C （1）由題設(shè)條件，請(qǐng)寫出三個(gè)正確結(jié)論：（要求不再添加其他字母和輔助線，找結(jié)論過程中添加的字母和輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論

5、中，不必證明） 答：結(jié)論一： ；結(jié)論二： ；結(jié)論三： （2）若B=45，BC=2，當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D不與B、C重合）， 求CE的最大值； 若ADE是等腰三角形，求此時(shí)BD的長(zhǎng) （注意：在第（2）的求解過程中，若有運(yùn)用（1）中得出的結(jié)論，須加以證明）,練習(xí)1. （2011浙江衢州3分）如圖，OP平分MON，PAON于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PA=2，則PQ的最小值為【 】 A、1B、2 C、3D、4,2.（2011浙江臺(tái)州4分）如圖，O的半徑為2，點(diǎn)O到直線l的距離為3，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ切O于點(diǎn)Q，則PQ的最小值為【 】 A B C3 D2,3.（2011河南省

6、3分）如圖，在四邊形ABCD中，A=90，AD=4，連接BD，BDCD，ADB=C若P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則DP長(zhǎng)的最小值為 ,三、應(yīng)用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最值：,例1. （2012山東青島3分）如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為 cm,15,例2. （2012甘肅蘭州4分）如圖，四邊形ABCD中，BAD120，BD90，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則AMNANM的度數(shù)為【 】 A130 B120 C110 D100,B,例3. （201

7、2福建莆田4分）點(diǎn)A、均在由面積為1的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示若P是x軸上使得 的值最大的點(diǎn)，Q是y軸上使得QA十QB的值最小的點(diǎn)，則 ,5,例4. （2012四川攀枝花4分）如圖，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為 ,例5. （2012廣西貴港2分）如圖，MN為O的直徑，A、B是O上的兩點(diǎn)，過A作ACMN于點(diǎn)C，過B作BDMN于點(diǎn)D，P為DC上的任意一點(diǎn)，若MN20，AC8，BD6，則PAPB的最小值是。,14,練習(xí)題： 1. （2011黑龍江大慶3分）如圖，已知點(diǎn)A(1，1)、B(3，2)，且P為x軸

8、上一動(dòng)點(diǎn)，則ABP的周長(zhǎng)的最小值為 2. （2011遼寧營(yíng)口3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有A(1，2)，B(3，3)兩點(diǎn)，現(xiàn)另取一點(diǎn)C(a，1)，當(dāng)a 時(shí)，ACBC的值最小 3.（2011山東濟(jì)寧8分）去冬今春，濟(jì)寧市遭遇了200年不遇的大旱，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問題，要在某河道建一座水泵站，分別向河的同一側(cè)張村A和李村B送水。經(jīng)實(shí)地勘查后，工程人員設(shè)計(jì)圖紙時(shí)，以河道上的大橋O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以河道所在的直線為 軸建立直角坐標(biāo)系（如圖）。兩村的坐標(biāo)分別為A（2，3），B（12，7）。 (1) 若從節(jié)約經(jīng)費(fèi)考慮，水泵站建在距離大橋O多遠(yuǎn)的地方可使所用輸水管道最短？ (2) 水泵站建在距離大橋O多遠(yuǎn)

9、的地方，可使它到張村、李村的距離相等？,4.（2011遼寧本溪3分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，DAC的平分線交DC于點(diǎn)E，若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值【 】 A、2 B、4 C、 D、 5.（2011遼寧阜新3分）如圖，在矩形ABCD中，AB6，BC8，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊CD上的任意一點(diǎn)，當(dāng)AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，則DF的長(zhǎng)為【 】 A1B2C3D4,6.（2011貴州六盤水3分）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=6，BD=8，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，存在PE+PF的最小值，則這個(gè)最小值是 【 】 A3 B4 C5 D6 7.（2011甘肅天水4分）如圖，在梯形ABCD中，ABCD，BAD=90，AB=6，對(duì)角線AC平分BAD，點(diǎn)E在AB上，且AE=2（AEAD），點(diǎn)P是AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值是 ,四、應(yīng)用二次函數(shù)求最值：,例1. （2012四川自貢4分）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，M、