第04章 恒定電流的磁場(chǎng).ppt

1、恒定電流的磁場(chǎng),第四章,4.1 恒定磁場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)定律 4.2 恒定磁場(chǎng)的散度和通量 4.3 恒定磁場(chǎng)的環(huán)量和旋度 4.4 矢量磁位 4.5 磁偶極子 4.6 物質(zhì)的磁特性 4.7 恒定磁場(chǎng)的基本方程 4.8 恒定磁場(chǎng)的邊界條件 4.9 電感 4.10 磁場(chǎng)能量,4.1 恒定磁場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)定律,一、安培定律,如圖4-1所示，在真空中有兩個(gè)載有電流分別為I1和I2的回路（l1）和（l2），在兩電流回路上取電流元I1dl1和I2dl2，則電流元I1dl1對(duì)I2dl2的作用力為,式中R=r2-r1是兩電流元之間的距離矢量，aR是距離矢量的單位矢量。 亨/米（H/m）.,（4-1）,稱為真空中的磁導(dǎo)率。,如果

2、求兩個(gè)電流回路之間的作用力，積分得到,此式稱之為安培定律。,（4-2）,二、畢奧-薩伐爾定律,為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，依據(jù)安培定律逐步推導(dǎo)出畢奧-薩伐爾定律。,將式（4-2）改寫成另外一種形式為,（4-3）,式中括號(hào)中的積分取決于回路l1的電流分布及源點(diǎn)r1到場(chǎng)點(diǎn)r2之間的距離矢量R，而與電流回路l2無(wú)關(guān)，故可定義另外一個(gè)矢量為,（4-4）,該矢量稱之為磁通密度矢量或磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量。由于矢量 B與下標(biāo)無(wú)關(guān)，取掉下標(biāo)，并用帶撇的符號(hào)表示源點(diǎn)處的參量，上式改寫為,（4-5）,該式稱之為畢奧-薩伐爾定律。式中B、dl和 aR 三者相互垂直，并遵循右手關(guān)系，見(jiàn)圖4-2所示。,如果電流分布不是線電流，而是體電流分布

3、JV(r)和面電流分布JS(r)，則有,（4-6）,（4-7）,根據(jù)式（4-5）、（4-6）或（4-7）可直接計(jì)算任意線電流分布、體電流分布和面電流分布在空間產(chǎn)生的磁場(chǎng)矢量B。,例 4.1 一長(zhǎng)度為2l的直導(dǎo)線放置于自由空間，導(dǎo)線通電流I，求在空間產(chǎn)生的磁場(chǎng)矢量B。,由圖4-3的幾何關(guān)系，得到,解 選擇柱坐標(biāo)系，通電導(dǎo)線沿z軸對(duì)稱于XY面放置，如圖4-3所示。場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)為 , 源點(diǎn)坐標(biāo)為 , 線電流元 。由式（4-5），得到P點(diǎn)的磁通密度矢量B為,求導(dǎo)，有,代入得到,如果通電導(dǎo)線為無(wú)限長(zhǎng)，則10，2，代入上式，得到無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線在空間產(chǎn)生的磁場(chǎng)B為,此式表明，沿Z軸放置的載流直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)B

4、的矢量線是閉合線，閉合線是以直導(dǎo)線為軸，以為半徑的同心圓，方向?yàn)閑，矢量線的方向與電流方向成右手關(guān)系,如圖4-4所示。,4.2 恒定磁場(chǎng)的散度和通量,一、磁通密度矢量的散度,磁通密度矢量B的散度可以從畢奧-薩伐爾實(shí)驗(yàn)定律直接推導(dǎo)。,（4-8）,并利用矢量恒等式,（4-9）,由式（4-6），有,由于,（4-10）,由于JV(r)是源點(diǎn)的函數(shù)，而算子“”是對(duì)場(chǎng)點(diǎn)求微分運(yùn)算，因此有,得到,（4-11）,（4-12）,利用矢量恒等式,有,（4-13）,（4-14）,此式表明，磁通密度矢量的散度恒為零，亦即磁通密度矢量B(r)不存在標(biāo)量源。,二、恒定磁場(chǎng)通量,根據(jù)矢量場(chǎng)通量的定義，磁通密度矢量B的通量定

5、義為,（4-15）,式中S為張?jiān)谟邢蜷]合曲線l上的開曲面，如圖4-5所示。如果選擇曲面S為閉合面，則穿過(guò)閉合面的磁通量為,（4-16）,應(yīng)用高斯散度定理，并利用公式（4-14），有,式中V為閉合面S所包圍的體積。,（4-17）,式（4-17）表明，穿過(guò)任意閉合面的磁通量為零，換句話說(shuō)，磁力線永遠(yuǎn)是連續(xù)的，這就是磁通連續(xù)性原理。,4.3 恒定磁場(chǎng)的環(huán)量和旋度,一、環(huán)量,由磁通連續(xù)性原理可知，磁通密度矢量B對(duì)任意閉合面的積分恒為零。但磁通密度矢量B的環(huán)量并不處處為零，證明如下：,例4.1 中得到位于Z軸的無(wú)限長(zhǎng)載流導(dǎo)線的磁通密度矢量B為,（4-18）,如果若I不在l內(nèi), 如圖4-6所示，則有,（4

6、-20）,如果在閉合回路內(nèi)包含兩個(gè)無(wú)限長(zhǎng)載流導(dǎo)線I1和I3，而I2不包含在回路內(nèi)，如圖4-6所示，則有,（4-21）,由圖可知, 若I在l內(nèi), 磁通密度沿閉合回路的積分為,（4-19）,由以上特殊情況的討論，推而廣之得到恒定磁場(chǎng)的磁通密度矢量的環(huán)量為,（4-22）,該式就是真空中的安培環(huán)路定理，表明在真空中磁通密度矢量沿任一回路的環(huán)量等于真空磁導(dǎo)率乘以與該閉合回路相鉸鏈的電流的代數(shù)和 。,二、旋度,根據(jù)斯托克斯定理（見(jiàn)式（1-91），把式（4-22）左端線積分轉(zhuǎn)化為面積分，有,（4-23）,又式（4-22）右端項(xiàng)可寫為,（4-24）,因而，有,（4-25）,式中積分曲面S是張?jiān)陂]合曲線l上的任

7、意曲面，積分相等，必有被積函數(shù)相等，即,（4-26）,此式是真空中安培環(huán)路定律的微分形式，表明磁場(chǎng)是有旋場(chǎng)，電流是激發(fā)磁場(chǎng)的旋渦源。,例 4.2 一個(gè)在圓環(huán)上密繞N匝的線圈(也稱之為環(huán)形螺線管), 通有電流I，如圖4-7所示，圓環(huán)的內(nèi)、外半徑分別為a和b。試求螺線管內(nèi)、外的磁場(chǎng)B。,解 由于電流分布具有對(duì)稱性，螺線管內(nèi)的場(chǎng)分布沿e方向具有均勻分布的特點(diǎn)。根據(jù)安培環(huán)路定理：,（1）在a的區(qū)域，取一閉合積分路徑，由于不會(huì)有電流穿過(guò)該閉合回路，顯然B=0。,半徑為的閉合回路所包圍的總電流的代數(shù)和為NI，由安培環(huán)路定理得到,因此，得到,（2）在ab的區(qū)域，在螺線管內(nèi)構(gòu)造一圓形閉合積分路徑l，在路徑l上

8、磁場(chǎng)大小相同，方向與積分回路方向e相反，因而有,4.4 矢量磁位,一、矢量磁位,由式（4-14）可知，磁場(chǎng)的散度處處為零。利用矢量恒等式（4-13），則磁通密度矢量B可表示為某一矢量A的旋度，即 B=A (4-27),該矢量稱之為矢量磁位。在國(guó)際單位制中，A的單位為韋伯/米（Wb/m）。,但是由例1.11可知，對(duì)于任意標(biāo)量場(chǎng)，梯度的旋度恒為零。所以式（4-27）并不能唯一的確定矢量磁位A。原因如下，假設(shè)矢量A是標(biāo)量場(chǎng)的梯度和矢量A之和，即：,(4-28),該式同樣滿足式（4-14）和式（4-27）。但A矢量的散度為,(4-29),但是，很顯然矢量A和A的散度并不相等。為了克服這種不唯一性，在恒

9、定磁場(chǎng)中，最簡(jiǎn)單的選擇是取,（4-30）,再將式（4-12）與式（4-27）進(jìn)行比較可得,（4-31）,該式稱之為庫(kù)侖規(guī)范。,上式就是電流體密度分布JV(r)在空間任一點(diǎn)r處產(chǎn)生的磁矢量位的計(jì)算公式。,與此相對(duì)應(yīng)，就可以得到面電流分布和線電流分布矢量磁位的計(jì)算公式分別為,（4-32）,（4-33）,與靜電場(chǎng)中引入電位一樣，矢量磁位的引入提供了一種間接計(jì)算磁通密度矢量B的方法，相對(duì)于用比奧薩伐爾公式計(jì)算B簡(jiǎn)單得多。,二、矢量泊松方程,利用式（4-26）和（4-27），可以推出,（4-34）,由矢量恒等式,（4-35）,和庫(kù)侖規(guī)范條件 ，得到,（4-36）,上式就是矢量磁位所滿足的矢量泊松方程。在

10、直角坐標(biāo)系下，上式的求解就等同于下面式子求解：,（4-37）,如果已知電流密度分布的情況，微分方程（4-37）的解為,（4-38）,式（4-38）也可寫成矢量形式,（4-39）,由上面的推導(dǎo)知道，矢量泊松方程的解形式與由畢奧-薩伐爾定律推導(dǎo)出的矢量磁位形式相同。除畢奧-薩伐爾定律和安培環(huán)路定理之外，矢量磁位提供了第三種計(jì)算磁場(chǎng)的方法。安培環(huán)路定理計(jì)算磁場(chǎng)，僅適用于電流分布具有幾何對(duì)稱性的簡(jiǎn)單情況。與畢奧-薩法爾定律計(jì)算磁場(chǎng)相比較，通常計(jì)算矢量磁位更容易，因?yàn)槭剑?-39）的積分較式（4-6）的積分容易得多。,4.5 磁偶極子,如圖4-8所示，一微小電流圓環(huán)通電流為 I，圓環(huán)半徑為a，下面求解在

11、r a的情況下，磁矢量位和磁通密度矢量。,(4-40),又因?yàn)?（4-41）,求解方法 采用球坐標(biāo)系，電流環(huán)放置于XY平面內(nèi)，圓環(huán)中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合。由于電流環(huán)電流分布具有對(duì)稱性，因而磁場(chǎng)分布也具有對(duì)稱性，根據(jù)式（4-33）可知，磁矢量位僅有 分量， 和 分量為零。據(jù)此可將待求場(chǎng)點(diǎn)選在YZ平面內(nèi)，并不失一般性。在YZ平面內(nèi)任取一場(chǎng)點(diǎn)P( )，在電流環(huán)上任取一源點(diǎn) Q( )，過(guò)源點(diǎn) Q 的電流元表示為,（4-42）,（4-43）,（4-44）,因?yàn)閞 a，取近似，有,（4-45）,再把式（4-40）和式（4-45）代入線電流分布矢量磁位的公式（4-33），得到,（4-46）,再積分，得到：,（4

12、-47）,取空間任一點(diǎn)，有,（4-48）,取場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)=/2，代入得到,（4-49）,最終，得到矢量磁位在球坐標(biāo)系下的表達(dá)式為,（4-50）,如果有S = a2，pm=IS，S為張?jiān)谖⑿‰娏鳝h(huán)上的平面，S的方向與電流的方向成右手關(guān)系，則微小電流環(huán)矢量磁位可以表達(dá)為,（4-51）,于是，得到微小電流環(huán)的磁通密度矢量為,（4-52）,實(shí)際上，實(shí)驗(yàn)研究表明，一根微小的永久磁針周圍的磁場(chǎng)分布與微小電流環(huán)周圍的磁場(chǎng)分布是相同的。因此，可以把永久磁針看作是兩端有正、負(fù)磁荷 qm 的磁偶極子，正、負(fù)磁荷相距 d，磁矩為pm=qmd。二者等效即為正、負(fù)磁荷的磁矩與微小電流環(huán)的磁矩等效。,相比之下，可以看出式（4

13、-52）與靜電場(chǎng)中電偶極子電場(chǎng)的表達(dá)式（2-23）之間具有對(duì)偶性，僅僅需要將式（2-23）中的 換成 ，pe換成 pm，E(r)就變成B(r)。這樣的話，微小電流環(huán)就可以等效為一個(gè)磁偶極子，磁偶極矩為pm=IS。微小電流環(huán)的磁力線分布如圖4-8(b)所示。,4.6 物質(zhì)的磁特性,一、介質(zhì)的磁化和磁化強(qiáng)度,在磁性介質(zhì)中，分子中的電子以恒速繞原子核作圓周運(yùn)動(dòng)形成分子電流，相當(dāng)于一個(gè)微小的電流環(huán)，如圖4-9所示 。,這個(gè)微小電流環(huán)可等效為磁偶極子，其磁偶極矩的表達(dá)式為,(4-53),式中Ia為分子電流，S為分子電流圓環(huán)的面積，其方向n與分子電流的繞行方向成右手關(guān)系。,就一般介質(zhì)而言，在沒(méi)有外磁場(chǎng)時(shí)，

14、介質(zhì)內(nèi)部各分子磁矩的取向隨機(jī)分布，磁矩的矢量和為零，對(duì)外 不顯磁性，如圖4-10(a) 所示。,當(dāng)有外磁場(chǎng)存在時(shí)，介質(zhì)內(nèi)部分子磁矩沿外磁場(chǎng)方向排列，如圖4-10(b)所示，這種有序排列會(huì)在介質(zhì)內(nèi)部產(chǎn)生一附加場(chǎng)。,磁偶極子的有序排列類似于電偶極子在電介質(zhì)中的有序排列，但有區(qū)別。電偶極子的有序排列總是使電場(chǎng)減弱，而磁偶極子的有序排列則使磁場(chǎng)增強(qiáng)。,對(duì)于均勻介質(zhì)來(lái)說(shuō)，磁介質(zhì)內(nèi)部磁偶極子的有序排列會(huì)在介質(zhì)的表面產(chǎn)生面電流分布，如圖4-10(c)所示，這種電流稱之為束縛電流。,(4-54),為了定量描述磁介質(zhì)在外場(chǎng)作用下磁化程度的強(qiáng)弱，引入磁化強(qiáng)度矢量M。定義磁化強(qiáng)度矢量為磁介質(zhì)中單位體積內(nèi)分子磁矩的矢

15、量和，即,如果M0，表明介質(zhì)被磁化。,為了方便描述起見(jiàn)，在此引入一新的物理量，磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H。在真空中，磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量與磁通密度矢量的關(guān)系定義為,(4-55),由于介質(zhì)的磁化是由外加磁場(chǎng)引起的，因此，外磁場(chǎng)H必然與磁化強(qiáng)度矢量M存在關(guān)系，最簡(jiǎn)單的是線性關(guān)系，即,(4-56),其中 是一個(gè)無(wú)量綱的量，稱之為介質(zhì)的磁化率。對(duì)于抗磁性介質(zhì)和順磁性介質(zhì)，在給定溫度的情況下， 是一個(gè)常數(shù)，線性關(guān)系成立。,順磁介質(zhì)的 為正，抗磁介質(zhì)的 為負(fù)。,但對(duì)于鐵磁性物質(zhì)則不同，外磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量與磁化強(qiáng)度矢量是非線性關(guān)系，而且存在磁滯現(xiàn)象。對(duì)于非均勻磁介質(zhì)，磁化率是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而對(duì)于各向異性介質(zhì)，磁化率取張量形式。,

16、當(dāng)外加磁場(chǎng)H時(shí)，介質(zhì)因磁化產(chǎn)生的磁通密度矢量為,(4-57),磁介質(zhì)內(nèi)的總磁通密度矢量為,(4-58),式中第一項(xiàng)代表外磁場(chǎng)的貢獻(xiàn)，第二項(xiàng)代表介質(zhì)磁化的貢獻(xiàn)。,(4-59),如果把式（4-56）代入上式，可得,記,稱之為介質(zhì)的磁導(dǎo)率，r=1+m稱之為介質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率，則有,(4-60),(4-61),此式表明，磁化強(qiáng)度矢量與外磁場(chǎng)成線性關(guān)系，則磁介質(zhì)中的磁通密度矢量也與外場(chǎng)成線性關(guān)系。顯而易見(jiàn)，磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H與介質(zhì)無(wú)關(guān)。,為了方便比較，表4-1列舉了磁性介質(zhì)抗磁性、順磁性和鐵磁性的一些簡(jiǎn)單特性和參數(shù)。,鉍、銅、金剛石、金、鉛、水銀、銀、硅。,鋁、鈣、鉻、錳、鈮、鉑、鎢。,表4-1 磁性介質(zhì)的性

17、質(zhì)及參數(shù),二、介質(zhì)磁化產(chǎn)生的矢量磁位,由式（4-51）可知，對(duì)于放置于空間任一點(diǎn)的磁偶極子，磁矢量位表示為,(4-62),現(xiàn)設(shè)一磁介質(zhì)體積為V，表面面積為S，在外場(chǎng)的作用下被磁化，其內(nèi)部和介質(zhì)表面產(chǎn)生束縛電流分布，如圖4-11所示。,根據(jù)上述分析，磁介質(zhì)內(nèi)的束縛電流分布可等效為在真空中體積V內(nèi)磁偶極子分布，束縛電流產(chǎn)生的附加磁場(chǎng)實(shí)質(zhì)上就是磁偶極子分布產(chǎn)生的磁場(chǎng)。在介質(zhì)內(nèi)取一體積微元dV，則體積微元中包含的磁偶極矩的矢量和為,當(dāng)dV0時(shí)，可把磁偶極子的矢量和等效為一新的磁偶極子,由式（4-62），可得該磁偶極子在空間任一點(diǎn)P產(chǎn)生的磁矢量位為,(4-63),V內(nèi)所有磁偶極子產(chǎn)生的磁矢量位則為上式的

18、積分，即,(4-64),利用關(guān)系式,(4-65),(4-67),有,(4-66),和矢量恒等式,(4-68),則矢量磁位可寫成,(4-70),有,代入式（4-68），得到,再利用矢量恒等式,(4-69),(4-71),式中n為閉曲面S的外法線單位矢量。,(4-73),這些電流不同于自由電流，形成電流的電荷被束縛在介質(zhì)內(nèi)部，所以稱之為束縛電流密度。,(4-72),把式（4-71）與式（4-31）和式（4-32）進(jìn)行比較，可知,由此可以看出，介質(zhì)被磁化后產(chǎn)生的磁效應(yīng)相當(dāng)于在V內(nèi)有體電流分布 和在介質(zhì)表面S上有面電流分布 。,特別強(qiáng)調(diào)的是，關(guān)系式（4-74）和（4-75）僅僅表明源點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，

19、與場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)無(wú)關(guān)，而當(dāng)磁化強(qiáng)度矢量與磁場(chǎng)矢量發(fā)生關(guān)系時(shí)，磁化強(qiáng)度矢量以相同坐標(biāo)點(diǎn)給出，則關(guān)系式（4-74）和（4-75）也應(yīng)該把式中的r換成r時(shí)，“”就改為“”，則有,(4-75),(4-74),為了與自由電流相區(qū)別，束縛電流體密度和束縛電流面密度分別記為,(4-76),(4-77),(4-78),利用式（4-74）和式（4-75），式（4-71）可改寫為,式（4-78）是介質(zhì)被磁化后，體束縛電流和面束縛電流產(chǎn)生的矢量磁位。,如果要計(jì)算空間中的總磁場(chǎng)分布，還必須考慮自由體電流密度JV和自由面電流密度JS分布產(chǎn)生的矢量磁位，然后把束縛電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)與自由電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)進(jìn)行矢量疊加。(把束縛電流當(dāng)自

20、由電流看待！),三、磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定律,真空中存在自由電流密度分布JV (r)，也存在磁介質(zhì)，磁介質(zhì)在外磁場(chǎng)的作用下磁化，內(nèi)部產(chǎn)生磁化電流JVm(r)，則真空中的安培環(huán)路定律，除了考慮自由電流I外，還必須考慮磁化電流Im，有,(4-79),(4-81),(4-80),式中,應(yīng)用斯托克斯定理，有,(4-82),(4-83),式中S是張?jiān)趌上的開曲面，S的外法線矢量與有向閉合曲線l成右手關(guān)系。上式代入式（4-79），得到,即,(4-84),(4-85),利用式（4-58），有,這就是磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定律，表示磁介質(zhì)中磁場(chǎng)矢量的環(huán)量。,要特別強(qiáng)調(diào)的是：式（4-85）右端項(xiàng)僅僅是自由電流，而不包

21、括束縛電流，這就給磁場(chǎng)的計(jì)算帶來(lái)很大的方便。,利用式（4-80）和斯托克斯定理，安培環(huán)路定律可寫成,(4-86),則有,(4-87),這就是與式（4-85）對(duì)應(yīng)的安培環(huán)路定律的微分形式，表明磁場(chǎng)的旋度源僅是自由體電流密度，而與束縛電流體密度和束縛電流面密度無(wú)關(guān)。,解 由例4.1可知，無(wú)限長(zhǎng)載流導(dǎo)線周圍的磁場(chǎng)分布為圓形的閉合線，因此可用安培環(huán)路定律求解。,例 4.3 一根無(wú)限長(zhǎng)的細(xì)載流導(dǎo)線被一半徑為a、磁導(dǎo)率為的圓柱體所包圍，柱外為自由空間，導(dǎo)線通電流為I，如圖4-12所示。試求空間各處的B、H和M，以及磁介質(zhì)中的束縛電流密度。,當(dāng)0a時(shí)，由式（4-85），有,得到,根據(jù)式（4-61），得,當(dāng)a

22、時(shí)，有,由式（4-58），得,由于磁化強(qiáng)度矢量?jī)H有M分量，由式（4-76），得到,表明在磁介質(zhì)內(nèi)，束縛體電流密度為零。,又根據(jù)式（4-77），得到,表明束縛電流密度矢量沿-ez方向，那么，束縛電流也沿-ez方向。由于內(nèi)表面的束縛面電流密度不便于計(jì)算，但可以計(jì)算內(nèi)表面上出現(xiàn)的束縛電流Im ,根據(jù)式（4-76），有,此式表明束縛面電流密度不為零。束縛面電流僅分布于磁介質(zhì)表面，對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)的圓柱體磁介質(zhì)，表面由緊接無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)線的內(nèi)表面和半徑為a的外表面構(gòu)成，內(nèi)表面的外法線單位矢量為-e，外表面的外法線單位矢量為e。由此可得外表面的束縛電流面密度為,圓柱體內(nèi)表面束縛電流沿ez方向。根據(jù)式（3-6），由JS

23、m計(jì)算可得圓柱外表面束縛電流與內(nèi)表面束縛電流大小相等，方向相反。,在圓柱體內(nèi)選擇一圓形閉合回路，得到,4.7 恒定磁場(chǎng)的基本方程,描述恒定磁場(chǎng)的通量、散度和環(huán)量、旋度，可總結(jié)歸納如下：,（4-88）,（4-89）,以及反映介質(zhì)磁特性的物質(zhì)方程,（4-90）,這就是描述恒定磁場(chǎng)的基本方程。,4.8 恒定磁場(chǎng)的邊界條件,一、法向分量的邊界條件,如圖4-13所示，在磁導(dǎo)率分別為1和2的兩介質(zhì)分界面上做一小的圓柱閉合面，,圓柱面的上底面在介質(zhì)1中，下底面在介質(zhì)2中，兩底面平行于分界面，兩底面的面積為S。圓柱面的側(cè)面高為h。n為P處分界面的單位法線矢量。,寫成分量形式，有,（4-93）,此式表明，磁通密

24、度矢量B穿過(guò)分界面時(shí)，法向分量是連續(xù)的。,即,（4-92）,（4-91）,應(yīng)用式（4-88）的第一式, 由于S很小, 近似認(rèn)為在S上B的大小相等和方向相同, 當(dāng)h0時(shí), 得到,二、切向分量的邊界條件,如圖4-14所示，在磁導(dǎo)率分別為 1 和 2 的兩介質(zhì)分界面上做一小的閉合回路l, 閉合回路的短邊為 h, 長(zhǎng)邊為 l, 長(zhǎng)邊平行于界面并分別置于界面兩側(cè)。,圖4-14 H的切向邊界條件,n為P處分界面的單位法線矢量，l0為在P處平行于界面的單位法向矢量。應(yīng)用式（4-88）的第二式，由于l很小，近似認(rèn)為在l上H的大小相等和方向相同，當(dāng)短邊h0時(shí)， 得到,積分的貢獻(xiàn)也為零。因此，如果分界面上自由電流

25、面密度分布JS，則,式中nl0為面元S的單位法線矢量。代入上式，有,l0是P點(diǎn)處界面切向單位矢量。又,式中I為張?jiān)陂]合回路l上的面元S中所通過(guò),的自由,電流。自由電流有體電流分布和界面,上的面電流分布，,當(dāng)h0時(shí)，即使兩介質(zhì)中存在體電流分布，,對(duì)環(huán)量,有,因此，有,利用矢量恒等式,（4-94）,得到,此式，表明磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H的切向分量在介質(zhì)分面,兩側(cè)是不連續(xù)的。如果無(wú)自由面電流,分布，即JS=0，,則有,（4-95）,寫成分量形式為,（4-96）,當(dāng)JS=0時(shí)，由于B=H，由式（4-93）和式（4-96） 可推導(dǎo)出磁場(chǎng)矢量經(jīng)過(guò)分界面時(shí)的折射關(guān)系為,（4-97）,此式表明：（1）如果2=0，則有

26、1=0，即磁場(chǎng)垂直穿過(guò)兩磁介質(zhì)分界面時(shí)，磁場(chǎng)的方向不發(fā)生改變，且其數(shù)值相等；（2）如果21，且2900，則10，意即磁場(chǎng)由鐵磁體介質(zhì)進(jìn)入一個(gè)非磁性介質(zhì)時(shí)，磁場(chǎng)幾乎總是垂直于鐵磁體介質(zhì)的表面，這一特點(diǎn)與靜電場(chǎng)垂直于理想導(dǎo)體的表面類似。,例4.4 設(shè)在X0的半空間充滿磁導(dǎo)率為的均勻磁介質(zhì)，X0的半空間為真空，在兩介質(zhì)分界面上鑲嵌有一根無(wú)限長(zhǎng)細(xì)載流導(dǎo)線通電流為I，如圖4-15（a）所示。求兩介質(zhì)中的磁場(chǎng)強(qiáng)度以及磁化電流的分布。,解 載流導(dǎo)線無(wú)限長(zhǎng)，磁場(chǎng)強(qiáng)度H僅有e分量，場(chǎng)分布具有柱對(duì)稱性，且磁場(chǎng)分布均勻。假設(shè)在兩半空間磁場(chǎng)強(qiáng)度的分量分別為H1和H2，根據(jù)安培環(huán)路定律，有,且在兩半空間有,利用邊界條件

27、（4-93）式，得,有,聯(lián)立求解，得到,又根據(jù)式（4-56）知，在磁介質(zhì)中，磁化強(qiáng)度矢量M也僅有e分量，利用式（1-89），由式（4-76）可得,此式表明磁介質(zhì)內(nèi)沒(méi)有體束縛電流分布。,對(duì)于兩介質(zhì)分界面是由YZ平面和細(xì)導(dǎo)線鑲嵌于 磁介質(zhì)中的半圓柱面構(gòu)成，見(jiàn)圖4-15（b）。對(duì) 于磁介質(zhì)的表面，其外法線單位矢量為n。由式,（4-77）可得,由此可知，鑲嵌于磁介質(zhì)內(nèi)的細(xì)載流導(dǎo)線與磁介質(zhì)的半圓柱接觸面上存在磁化電流。磁介質(zhì)的影響用磁化電流Ib代替，應(yīng)用真空中的安培環(huán)路定律，有,由于兩介質(zhì)中的B相同，則得,磁化電流的方向與自由電流方向相同。,圖4-16 螺線管磁場(chǎng)分布示意圖,在電容器的兩極板間可以儲(chǔ)存電

28、場(chǎng)能量，而電感器是與電容器相對(duì)偶的器件，電感器能夠存儲(chǔ)磁場(chǎng)能量。電感器最簡(jiǎn)單的例子就是線圈，線圈通常用導(dǎo)線繞制在圓柱芯上構(gòu)成，這種結(jié)構(gòu)也稱之為螺 線管。螺線管的圓柱芯可 以是空氣，也可以是磁介 質(zhì)。當(dāng)螺線管通電流I時(shí)， 在螺線管內(nèi)、外就存在磁 場(chǎng)分布，如圖4-16所示。,4.9 電感,根據(jù)比奧-薩伐爾定律可知，在線性介質(zhì)中一個(gè)電流回路在空間任一點(diǎn)產(chǎn)生的磁通密度矢量的大小B與該電流回路通過(guò)的電流I成正比，因而，穿過(guò)該回路的磁通量也與回路電流成正比。,（4-98）,一回路的磁鏈與回路本身通過(guò)的電流I之比定義為回路的自感L，即,如果回路是由一根導(dǎo)線密繞成N匝構(gòu)成，則穿過(guò)回路的總磁通（也稱磁鏈）等于單

29、匝磁通的N倍。由此可以引入自感的概念。,一、自感,例4.5 空間放置兩根無(wú)限長(zhǎng)平行細(xì)導(dǎo)線，導(dǎo)線半徑為a，軸間距為D(Da)，如圖4-17所示。求平行雙導(dǎo)線單位長(zhǎng)度的自感。,解 設(shè)雙導(dǎo)線通過(guò)的電流均為I，方向相反。在Da的條件下，電流可看作是線電流分布。由安培環(huán)路定律，兩導(dǎo)線間XZ平面上的磁場(chǎng)分別為,在XZ平面上的總磁場(chǎng)為,在兩導(dǎo)線間取一平面S，則通過(guò)S的磁鏈為,由此得到單位長(zhǎng)度上的自感為,顯然，兩無(wú)限長(zhǎng)平行直導(dǎo)線間的自感僅與兩導(dǎo)線間的距離、導(dǎo)線的半徑和真空磁導(dǎo)率有關(guān)，而與電流無(wú)關(guān)。,二、互感,互感是用來(lái)描述兩個(gè)導(dǎo)電結(jié)構(gòu)之間的磁耦合。,（4-99）,最簡(jiǎn)單的例子就是兩個(gè)回路l1和l2的磁耦合,

30、如圖4-18所示，兩個(gè)線圈的面積分別為 S1 和 S2, 第一個(gè)線圈通電流 I1, I1 產(chǎn)生的磁場(chǎng)B1在線圈2中引起的磁通為,假設(shè)線圈2有N2匝，并且以完全相同的方式與B1耦 合，則B1穿過(guò)線圈2的磁鏈（即總磁通）為,（4-100）,定義,（4-101）,為兩個(gè)回路間的互感。同樣，如果回路l2中通電流I2， I2所產(chǎn)生的磁場(chǎng)B2穿過(guò)線圈1的磁鏈為,（4-102）,互感為,（4-103）,可以證明, 線圈1和線圈2之間的相互感應(yīng)系數(shù)相等，,（4-104）,即,互感的單位與自感相同。互感是變壓器的重要參數(shù), 在變壓器中，通常有兩組或多組線圈共同繞在同一個(gè)磁芯上，圖4-19 是具有兩組線圈的環(huán)形螺線管變壓器實(shí)例。,互感可取正, 也可取負(fù); 正負(fù)取決于兩回路的電流方向。圖4-20給出的是兩回路間互感取值的說(shuō)明，圖4-20(a)兩回路產(chǎn)生的磁場(chǎng)B1、B2在回路2 中方向相反, 互感取負(fù)值, 而圖4-20(b)兩回路產(chǎn)生的磁場(chǎng)B1、B2 在回路 2 中方向相同, 互感取正值?？梢?jiàn)回路不變, 回路中的電流改變