第四講線性方程組

1、第四講 線性方程組一、線性方程組1. 基本概念線性方程組 由線性函數(shù)方程構(gòu)成的方程組，其一般形式為 （4.1）非齊次線性方程組 不全為零齊次線性方程組 全為零線性方程組的解（解向量） 線性方程組的初等變換 1）互換兩個(gè)方程的位置；2）用一個(gè)不為零的數(shù)乘某個(gè)方程；3）將某個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程. p53系數(shù)矩陣增廣矩陣2. 線性方程組的幾種表示方法(1)代數(shù)形式 （4.1）(2)矩陣形式 (3)向量形式 3. 基本結(jié)論定理1（p68） 線性方程組經(jīng)初等變換得到的是同解方程組.一般地，有 （*）據(jù)此，若，則方程組有解，否則方程組無(wú)解.定理2（p69 定理4.1） 線性方程組有解.* 顯然，定理

2、表明：若，則無(wú)解.定理3（p69 定理4.2） 若元線性方程組有解, 則當(dāng)系數(shù)矩陣的秩時(shí)有唯一解, 當(dāng)時(shí)有無(wú)窮多個(gè)解.當(dāng)時(shí)，（*）式為得同解方程組，所以.當(dāng)時(shí)，（*）式為得同解方程組，所以，稱為自由變量，稱為固定變量.二、齊次線性方程組齊次線性方程組總有解* 齊次線性方程組總有零解定理1（p70 定理4.3） 齊次線性方程組有非零解的充要條件是.（定理4.3實(shí)質(zhì)上是定理4.2的推論）記解集合.解的性質(zhì)：1)如果，那么；2)如果為任意常數(shù)，那么.推論 齊次線性方程組的一些解的線性組合仍然是它的解. p70推論 是線性空間.齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 解空間中的極大線性無(wú)關(guān)組定理2（p71 定理4.

3、5） 對(duì)于元齊次線性方程組, 若, 則它有基礎(chǔ)解系, 且其中含有個(gè)解向量.這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有同解方程組，而令分別等于維標(biāo)準(zhǔn)單位向量，并解出，則由此得到的個(gè)解即為的一個(gè)基礎(chǔ)解系.齊次線性方程組的通解為, 是任意常數(shù)其中是的一個(gè)基礎(chǔ)解系.例1（p72 例4.3）例2（p72 例4.5）三、非齊次線性方程組導(dǎo)出組 稱為的導(dǎo)出組記解集合(非線性空間)解的性質(zhì)：1)如果，那么；2)如果，那么；3)如果，那么的任一解都可以表示為,其中.非齊次線性方程組的通解（定理4.7）為, 是任意常數(shù)其中是的一個(gè)解(稱為特解)，是的一個(gè)基礎(chǔ)解系.例1（p75 例4.6）例2（p75 例4.7）四、習(xí)題解答1. p78 3

4、.提示: 2. p78 4. 5. p79 2.提示：方法一 運(yùn)用cramer法則令系數(shù)行列式=0. 方法二 同p76 例4.73. p78 6.提示：初等變換法4. p78 7.提示：是解，且，所以也是基礎(chǔ)解系.5. p79 9.提示： 是解是基礎(chǔ)解系，通解為是任意實(shí)數(shù).6. p79 10.提示： 的各列都是解7. p79 3.提示：(1) 時(shí)，; (2) 時(shí)，；時(shí)，.8. p79 4.提示：是齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系附：9. p79 5.提示: 的各列都是解10. p79 6.提示: 構(gòu)造矩陣, 使得的列向量組里含有的基礎(chǔ)解系, 那么, 且是矩陣11. p79 7.提示：可視為特解，是導(dǎo)出

5、組的解. 另，所以通解為是任意實(shí)數(shù)12. p80 8.提示：故的通解為 .12. p80 10.提示：五、知識(shí)展開(kāi)1. 設(shè)是矩陣，是矩陣，則線性方程組(a)當(dāng)時(shí)僅有零解； (b)當(dāng)必有非零解；(c)當(dāng)時(shí)僅有零解； (d)當(dāng)時(shí)必有非零解. （2002 數(shù)三）提示：是矩陣2. 設(shè)是矩陣，是的導(dǎo)出組，則下列結(jié)論正確的是(a)若僅有零解，則有唯一解；(b)若有非零解，則有無(wú)窮多個(gè)解；(c)若有無(wú)窮多個(gè)解，則僅有零解；(d)若有無(wú)窮多個(gè)解，則有非零解.提示：由(a)、(b)推不出；由(c)、(d)可推出，故選(d).3. 非齊次線性方程組中未知量個(gè)數(shù)為，方程個(gè)數(shù)為，系數(shù)矩陣的秩為，則(a) 當(dāng)時(shí), 則有

6、解； (b) 當(dāng)時(shí), 則有唯一解；(c) 當(dāng)時(shí), 則有唯一解； (d) 當(dāng)時(shí), 則有無(wú)窮多個(gè)解. （1997 數(shù)四）提示：由(b)、(c)、(d)推不出，而由(a)可推出，故選(a).4. 設(shè)階矩陣的伴隨矩陣，若是非齊次方程組的互不相等的解，則對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系（a）不存在； （b）僅含一個(gè)非零解向量；（c）含有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量； （d）含有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量.提示：，是非齊次方程組的互不相等的解從而僅含一個(gè)非零解向量，故選（d）.5. 設(shè)是實(shí)正交矩陣, 且, 則線性方程組的解是.提示：設(shè) 則由另因，得. 所以是解.6. 已知齊次線性方程組 和 同解，求的值. （2005 數(shù)四）

7、提示：因?yàn)橥猓?，所? 由此必有.解出的一個(gè)基礎(chǔ)解系：，代入中得當(dāng)時(shí)，表明同解.當(dāng)時(shí)，表明不可能同解.7. 已知四元齊次線性方程組和另一個(gè)四元齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，(1)求方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；(2)當(dāng)為何值時(shí)，方程組有非零公共解？在有非零公共解時(shí)，求出全部非零公共解. （2002 數(shù)四）提示：(1) 的一個(gè)基礎(chǔ)解系為(2) 設(shè)方程組有非零公共解，于是將的通解代入中，得當(dāng)時(shí)，則無(wú)非零公共解；當(dāng)時(shí)，任意，故此時(shí)有非零公共解，且全部非零公共解為，為不全為零的任意實(shí)數(shù)8. 已知三階矩陣的第一行是不全為零，矩陣（為常數(shù)），且，求線性方程組的通解. （2005 數(shù)一）提示：不全為零. 又,

8、所以.(1)若, 這時(shí)是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，于是通解為(是任意實(shí)數(shù)).(2)若.而，這時(shí)是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，于是通解為, 是任意實(shí)數(shù).而, 這時(shí)的列向量不能構(gòu)成方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系. 由是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，于是通解為, 是任意實(shí)數(shù).9. 已知向量組與向量組具有相同的秩, 且可由線性表示, 求的值. (2000 數(shù)二） (答案: )提示：因可由線性表示, 故 即.因?yàn)?，?10. 設(shè)是實(shí)方陣，證明：線性方程組與是同解方程組. （2000數(shù)三）提示：顯然的解是的解；反之，若是的解，則，故也是的解.11. 設(shè)向量組是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，向量不是方程組的解，即. 證明: 向量組線性無(wú)關(guān).提示：方法一向量組是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，向量不是方程組的解，可知線性無(wú)關(guān). 令即 , 故向量組線性無(wú)關(guān).方法二向量組是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，向量不是方程組的解，可