2-2+復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型－傳遞函數(shù).ppt

1、第二節(jié) 復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù),第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,建立系統(tǒng)微分方程的目的是什么？ 如何求解得到的微分方程式？ 對(duì)于高階線性微分方程如何求解？ 使用拉普拉斯變換法解線性微分方程有哪些優(yōu)勢(shì)？,思考？,在求解方法上：計(jì)算簡(jiǎn)單 (把微積分運(yùn)算變換成代數(shù)運(yùn)算或查表) ，容易求出系統(tǒng)對(duì)輸入的響應(yīng)。 引入傳遞函數(shù)的概念(復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型)，把系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和傳函的零極點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，使在復(fù)數(shù)域內(nèi)(根軌跡法)和頻域內(nèi)(頻率法)分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)成為可能。,優(yōu)勢(shì)：,項(xiàng) 目,教 學(xué) 目 的,2-2 復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù),本節(jié)課的學(xué)習(xí)思路：從多個(gè)方位來(lái)觀察我們將要研究的對(duì)象傳遞函數(shù)，為下一步深入細(xì)致的討論(第四章

2、和第五章)做準(zhǔn)備。,本節(jié)內(nèi)容,拉式變換,傳遞函數(shù)的概念和表達(dá)形式,系統(tǒng)傳遞函數(shù)的建立,典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),拉式反變換,1.定義：設(shè)函數(shù) f(t)當(dāng) 時(shí)有定義，設(shè) 且積分存在，則稱F(s)是f(t)的拉普拉斯變換。簡(jiǎn)稱拉氏變換。,f(t)稱為 F(s)的拉氏逆變換。記為：,原函數(shù),象函數(shù),2-2 傳遞函數(shù),一 拉氏變換,(2)例2 求階躍函數(shù) 的拉氏變換。,(1)例1 求單位脈沖函數(shù) 的拉氏變換。,單位階躍函數(shù) 的拉氏變換為 。,2.常用函數(shù)的拉氏變換,3.幾個(gè)重要的拉氏變換（掌握）,(1)線性性質(zhì),(2)積分性質(zhì),(3)微分性質(zhì),4.拉氏變換的基本性質(zhì),(4)終值定理,(5)初值定理,(6)時(shí)

3、間比例尺(相似)定理,a.實(shí)域中的位移定理，若原函數(shù)在時(shí)間上延遲 ，則其象函數(shù)應(yīng)乘以 。,b.復(fù)域中的位移定理，象函數(shù)的自變量延遲a，原函數(shù)應(yīng)乘以 。即,(7)位移定理,1. 定義：從象函數(shù)F(s)求原函數(shù) f(t)的運(yùn)算稱為拉氏反變換。記為 。由F(s)可按下式求出 式中C是實(shí)常數(shù)，而且大于F(s)所有極點(diǎn)的實(shí)部。,直接按上式求原函數(shù)太復(fù)雜，一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但F(s)必須是一種能直接查到的原函數(shù)的形式。,二 拉氏反變換,若F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將F(s)展開成若干部分分式之和，而這些部分分式的拉氏變換在表中可以查到。,展開的常用方法有： 配方法 比較

4、系數(shù)法 留數(shù)法,例1：求 的拉氏反變換。,例2：求 的拉氏反變換。,配方法,解：,解：,比較系數(shù)法,留數(shù)法,F(s) 總能展開成如下簡(jiǎn)單的部分分式之和：,（1）D(s) =0沒(méi)有重根,其中：,所以：,所以：,(2)D(s)=0包含r重根,其中：,由于：,所以：,例5 求 的拉氏反變換。,其中：,所以：,所以：,解：設(shè),用拉氏變換及其反變換解微分方程的步驟, 對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換，得到以s為變量的代數(shù)方程，方程中的初始值應(yīng)取系統(tǒng)在t=0時(shí)刻的對(duì)應(yīng)值；, 求出系統(tǒng)輸出變量的表達(dá)式；, 將輸出變量的表達(dá)式展開成部分分式；, 對(duì)部分分式進(jìn)行反變換，即得微分方程的解。,例6.已知系統(tǒng)的微分方程式為：,

5、并且設(shè)： ，試求微分方程的解。,解：方程兩邊進(jìn)行拉氏變換,代入初始值變換形式可得,設(shè),其中：,所以：,兩端進(jìn)行拉氏反變換，得,如果使用比較系數(shù)法：,通分后令,比較系數(shù)得,同樣求出,兩端進(jìn)行拉氏反變換，得,線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式為：,1.定義：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換的比值叫該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,三 傳遞函數(shù)的概念和表達(dá)形式,c(t)為系統(tǒng)的輸出，r(t)為系統(tǒng)輸入，則在零初始條件下，對(duì)上式兩邊取拉氏變換，由微分性質(zhì)得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：,標(biāo)準(zhǔn)形式、有理分式形式或多項(xiàng)式形式,在零初始條件下求系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，只需要將微分方程中變量的各階導(dǎo)數(shù)用s的相應(yīng)冪次代替就行

6、了，因此從微分方程式求傳遞函數(shù)非常容易。經(jīng)過(guò)變換后，我們把一個(gè)復(fù)雜的微分方程式變換成了一個(gè)簡(jiǎn)單的代數(shù)方程。,為系統(tǒng)增益（放大系數(shù)）,返回,尾1形式,因式分解,時(shí)間常數(shù)形式,典型環(huán)節(jié)形式,各項(xiàng)提取an,各項(xiàng)提取bm,傳遞函數(shù)的第二種表達(dá)形式,為根軌跡增益,首1形式,零極點(diǎn)增益形式,根軌跡形式,傳遞函數(shù)的第三種表達(dá)形式,穩(wěn)態(tài)增益K和根軌跡增益K*的定義及關(guān)系：,這兩個(gè)參數(shù)是重要的調(diào)試參數(shù)。,稱為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，S的最高階次n即為 系統(tǒng)的階次。 D(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程。,分母,傳遞函數(shù)的三大表達(dá)形式：,傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分布圖,傳函,的零極點(diǎn)分布圖,2.傳遞函數(shù)的性質(zhì) （1）對(duì)應(yīng)性：傳遞函數(shù)

7、與微分方程一一對(duì)應(yīng)。如果將 置換，傳遞函數(shù) 微分方程 （2）固有性：傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)特性。傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與輸入等外部因素?zé)o關(guān)，可見傳遞函數(shù)有效地描述了系統(tǒng)的固有特性。 （3）局限性：只反映零初始條件下輸入信號(hào)引起的輸出，不能反映非零初始條件引起的輸出。 （4）唯一性。,（5）傳遞函數(shù)的拉氏反變換是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，反之，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，兩者有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。 （6）同形性：G(s)雖描述了輸出輸入間的關(guān)系，但它不提供任何該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。物理性質(zhì)截然不同的系統(tǒng)或元件，可以有相同的傳遞函數(shù)。 （7）特殊性：傳遞函數(shù)僅適用于線性定常

8、系統(tǒng)。 （8）有理性：傳遞函數(shù)為有理真分式函數(shù)。即m小于等于n。,靜一靜，想一想： 1. 我們已經(jīng)前進(jìn)一步了，我們將一般形式的微分方程變換成了傳遞函數(shù)，并且有了許多表達(dá)形式； 2.我們把研究對(duì)象的微積分運(yùn)算形式變成了代數(shù)運(yùn)算形式，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，降低了工作的難度； 3.更大的收獲是在傳遞函數(shù)代數(shù)和幾何形式下，想象力增強(qiáng)了。我們可以對(duì)系統(tǒng)采取更多的方法進(jìn)行分析和研究了。,四 傳遞函數(shù)的建立,方法1：一般元件和系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求取方法： （1）列寫元件或系統(tǒng)的微分方程； （2）在零初始條件下對(duì)方程進(jìn)行拉氏變換； （3）取輸出與輸入的拉氏變換之比。,例1 對(duì)RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)，求傳遞函數(shù)Uo(s)/Ui(s)。

9、,解：已求得網(wǎng)絡(luò)的微分方程形式為,兩邊進(jìn)行拉氏變換，可得,取輸出與輸入的拉氏變換之比,例2 對(duì)無(wú)源網(wǎng)絡(luò)，求傳遞函數(shù)Uo(s)/Ui(s)。,解：已求得網(wǎng)絡(luò)的微分方程形式為,兩邊進(jìn)行拉氏變換，可得,取輸出與輸入的拉氏變換之比,例3 一個(gè)由彈簧、質(zhì)量、阻尼器組成的做直線運(yùn)動(dòng)的力學(xué)系統(tǒng)。圖中，m為物體的質(zhì)量，k為彈簧系數(shù)，f為粘性摩擦系數(shù)，F(xiàn)(t)為物體受到的外作用力，y(t)為物體的位移。試求傳遞函數(shù)Y(s)/F(s)。,f,解：已求得系統(tǒng)的微分方程形式為,兩邊進(jìn)行拉氏變換，可得,取輸出與輸入的拉氏變換之比,方法2：利用系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 （1）測(cè)量系統(tǒng)在零初始條件下的單位脈沖響

10、應(yīng)； （2）對(duì)單位脈沖響應(yīng)作拉氏變換即得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 證明：,由,由,所以,又因?yàn)?所以,C(s):系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)復(fù)數(shù)域形式 c(t): 系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)時(shí)域形式,例4 測(cè)得某系統(tǒng)在零初始條件下脈沖輸入作用時(shí)的輸出響應(yīng)為,求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,解:對(duì)單位脈沖響應(yīng)作拉氏變換即得系統(tǒng)的傳遞函數(shù),電氣網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)算阻抗與傳遞函數(shù) (重要),運(yùn)算(復(fù))阻抗,電阻,電容,電感,例5 對(duì)無(wú)源網(wǎng)絡(luò)，求傳遞函數(shù)Uo(s)/Ui(s)。,解：把圖中各量用復(fù)阻抗表示,根據(jù)分壓定理寫出Uo(s)表達(dá)式,化簡(jiǎn)得傳函表達(dá)式,復(fù)阻抗+分壓定理,例6 對(duì)無(wú)源網(wǎng)絡(luò)，求傳遞函數(shù)Uo(s)/Ui(s)。,解：,復(fù)阻抗+分壓定理,

11、根據(jù)分壓定理寫出Uo(s)表達(dá)式,化簡(jiǎn)得傳函表達(dá)式,1.比例(放大)環(huán)節(jié),特點(diǎn)：輸出與輸入成正比，無(wú)失真和時(shí)間延遲。,五.典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù),uc,2.慣性環(huán)節(jié),特點(diǎn)：含一個(gè)儲(chǔ)能元件，對(duì)突變的輸入不能立即跟隨，輸出無(wú)振蕩。,0.63,3.微分(超前)環(huán)節(jié),特點(diǎn)：能預(yù)示輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)。 實(shí)例：測(cè)速發(fā)電機(jī)輸出電壓與輸入角度間的關(guān)系。,r(t),由于 在實(shí)際工程中不存在，所以純微分環(huán)節(jié)不能單獨(dú)存在，只是理想微分環(huán)節(jié)。,若輸入一階躍信號(hào),，則可求出,實(shí)際微分環(huán)節(jié)為(帶有慣性環(huán)節(jié)),實(shí)際微分環(huán)節(jié)實(shí)現(xiàn)電路,4.積分環(huán)節(jié),特點(diǎn)：輸入消失后輸出仍具有記憶功能。 實(shí)例：電動(dòng)機(jī)角速度與角度間的關(guān)系，物體行駛距離與物體速度間的關(guān)系，模擬計(jì)算機(jī)中的積分器等。,5.振蕩環(huán)節(jié),特點(diǎn)：環(huán)節(jié)中有兩個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元件，并可進(jìn)行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。 實(shí)例：RLC電路、兩級(jí)RC電路、彈簧-物體-阻尼器力學(xué)位移系統(tǒng)等。,6.一階微分環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié),一階微分環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)和純微分環(huán)節(jié)都稱為理論微分環(huán)節(jié)，不滿足 的條件，所以在實(shí)際工程中不會(huì)單獨(dú)存在。,7.延遲環(huán)節(jié),特點(diǎn)：準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入量，但延遲了一個(gè)固定的時(shí)間間隔