三角函數(shù)的值域與最值(教師版)

1、最新 料推薦教師姓名郭鵬學(xué)生姓名劉曉航填寫時間年級高一升高二學(xué)科數(shù)學(xué)上課時間階段基礎(chǔ)（ ）提高（ ）強化（ ）第（ ）次課課時計劃共（ ）次課教 1會根據(jù)正、余弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性求簡單三角函數(shù)的最值和值域；學(xué) 2運用轉(zhuǎn)化思想，通過變形、換元等方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)求其給定區(qū)間內(nèi)的值域和最值；目 3通過對最值問題的探索與解決，提高運算能力，增強分析問題和解決問題能力。體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法標(biāo)在解決三角最值問題中的作用。教學(xué)重點： 求三角函數(shù)的最值與值域重難點難點： 靈活選取不同的方法來求三角函數(shù)的最值和值域教學(xué)過程一、知識檢測1在下列說法中：（ 1）函數(shù) y2sin x 的最大值為 3；（ 2）函數(shù)

2、y4sin2 x 最小值是4；（ 3）函數(shù) y11sin 2xcosx的值域是 1,0)(0,1； (4)存在實數(shù) x，使得 tan x2 成立正確的是（）tan xa （ 1）（2）b （2）（ 4）c（ 1）（ 3）d（ 1）（4）2函數(shù) ysin x, x , 2 的值域為（）63a 1， 1b 1 ,1c 1 ,3 d 3 ,122223函數(shù) ysin 2x cos2x 的最大值為，最小值為4 x _ 時，函數(shù) ysin(x)sin( x) 的最大值為 _445函數(shù) ysin 2 xsin x1的值域為6函數(shù) ya cos xb （ a, b 為常數(shù)，且 a0 ）的最大值是1，最小值是

3、7，則函數(shù) ya sin x bcos x 的最大值是 _.二、互動平臺（）簡單三角函數(shù)的值域【例 1】 1. 求下列三角函數(shù)的值域.（ 1） y sin x（ 2） y sin x, x, 2632. 若函數(shù) y a cos xb 的最大值是1，最小值是7 ，求 a 、 b .1最新 料推薦小結(jié) ：求基本三角函數(shù)值域，一定要結(jié)合三角函數(shù)的圖像，故切記正、余弦函數(shù)的圖像.（）與三角函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域: ya sin( x), yacos( x) 型函數(shù)的值域【例 2】 y 2 sin( 2x), x 0,44【例 3】 求函數(shù) y sin xcos x, x 0, 的值域小結(jié) ：對于 y

4、asin( x)h 的最大值為ah ，最小值為ah ，若 yasin(x)h ， x a,b ，先由 x a,b 求出x的范圍，然后結(jié)合圖像求出，即由內(nèi)而外逐層求值域（）引入輔助角法：類型一 ： y asinxbcosx 型 .（此類型通?？梢钥苫癁閥 asinx bcosxa2 b2 (x ) 求其最值（或值域）.）【例 4】 求函數(shù) ysin( x)sin( x) （ xr ）的最值 .63解法 : y sin( x) cos( x)2 sin( x)2 sin( x) ，666412函數(shù)的最大值為2 ，最小值為2 .類型二 ： ya sin 2 xbsin x cos xc(a0) 型

5、.形如這種類型的，可利用倍角公式、降冪公式進(jìn)行降次、整理為 ya sin 2x b cos2x 型再利用輔助角公式求出最值 .【例 5】求函數(shù) f (x)53 cos2 x3sin 2x 4 sin x cos x(x7 ) 的最值，并求取得最值時x 的值 .5 3 1cos2x3 1cos2x424解： f ( x)2 sin 2x222 3 cos3x2sin 2x3 34cos(2x)3367， 22x3，21x364cos(2x6)42422f ( x) 的最小值為 33272 ，此時 x， f ( x) 無最大值 .24【例 6】）求函數(shù) y(3sin x)(3cos x) 的值域

6、.2最新 料推薦方法小結(jié)：求只含有sin xcosx ， sin x cos x 的函數(shù)的最值問題，通常方法是換元法：令sin x cos x t(2t2 ) ，將 sin x cosx 轉(zhuǎn)化為 t 的關(guān)系式，從而使問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題. 但要注意換元后變量的取值范圍 .小試身手已知：y2 sin x2sin x cos x1， xr， y的最大值及此時x 的集合123求 分析 此類問題為ya sin 2 xb sin xcos xc cos2 x 的三角函數(shù)求最值問題，它可通過降次化簡整理為ya sin xb cos x 型求解 .解： y1 1cos2x3sin 2x122221

7、cos2x3 sin 2 x544411352cos2xsin 2x4221 sin2x65242x2k,xkk z , ymax766.24小試身手 1 . 已知函數(shù) f (x)sin 2x ， g( x)cos(2x) ，直線 x t（ t 0,）與函數(shù) f( x) 、 g( x) 的圖像分別62交于 m、 n 兩點，則 | mn | 的最大值是多少？2.求函數(shù) y5 sin 2x3 sin x cos x6 cos2 x 的值域 .3.y cos 2xcos x4.求函數(shù) ysin xcos xsin xcos x 的值域 .（）配方法 ： ya sin 2 xbsin xc(a0) 型

8、。此類型可化為 y at 2bt c(a0) 在區(qū)間 1,1 上的最值問題 .【例 6】求函數(shù) ycos2x3 sin x1 （ xr ）的最值 .解： y 1 sin 2 x3 sin x1(sin x3 ) 2924函數(shù)的最大值為9 ，最小值為 52 344【例 8】求函數(shù) ycos2x3a sin x1（ a r ， xr ）的最大值 .3最新 料推薦解： ycos2 x3a sin x1轉(zhuǎn)化為 ysin 2 x3a sin x2配方得 ：y(sin x3a) 23a2224當(dāng)3a1，即 a23時，在 sinx= 1， y max3a12331時，即 a2 33a1當(dāng)a時，在 sinx=

9、 1， ymax23當(dāng)13 a1 ，即23a2 3 時，在 sin x3 a 時， ymax3 a22233243a1(a23 )3綜上： ymax3 a22( 23a23 )4333a1(a23)3小結(jié) ：對于二次型函數(shù)，都可通過換元構(gòu)造二次函數(shù)yat 2btc ，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在某個區(qū)間上的值域問題，但一定要注意新元的范圍 .小試身手 1. 函數(shù) f ( x) sin 2x 2cos x在區(qū)間 2 , 上的最大值為 1,則的值是多少？32. 求函數(shù) y5sin xcos 2x 的最值 .分析 ：觀察三角函數(shù)名和角，其中一個為正弦，一個為余弦，角分別是單角和倍角，所以先化簡，使三角函數(shù)的

10、名和角達(dá)到統(tǒng)一 .2解： y5sin x12sin 2 x2sin 2 x5sin x12 sin x533481sin x1,sin x1 ,x2k,kz ,ymin2813362168sin x1 .x2k, kz, ymax2133416823. 設(shè) fxcos2xa sin xa10x2，用 a 表示 fx 的最大值 m a42. 解： fxsin 2 xa sin xa1. 令 sinx=t, 則0t 1,42a1a2a 2a1g tfxt2tat2244.424最新 料推薦（ 1）當(dāng) a1，即 a2, g t 在 0，1 上遞增，mag 13a1 ;242（ 2）當(dāng) 0a1, 即0

11、a2 時， g t 在 0， 1上先增后減， ma g aa 2a1 ;22442（ 3）當(dāng) a0, 即 a0, g t在 0， 1上遞減， mag 01a .2243a1, a 242maa2a1 ,0 a24421a ,a0243. 求函數(shù) ycos2x2 sin x 在區(qū)間,上的值域 .44（）數(shù)形結(jié)合 :f ( x)a sin xb轉(zhuǎn)化為 a sin x b cosxcc cos x型。此類型最值問題可考慮如下幾種解法：d再利用輔助角公式求其最值；采用數(shù)形結(jié)合法（轉(zhuǎn)化為斜率問題）求最值.【例 9】求函數(shù)ysin x的值域cos x2解法 1：將函數(shù)ysin x變形為 ycos xsin

12、 x2 ycos x2 sin( x)2 y由 | sin(x) | 2y |1(2y)21 y2 ，1y 21y2解得：3y3 ，故值域是 3 ,3 3333解法 2：數(shù)形結(jié)合法：求原函數(shù)的值域等價于求單位圓上的點p(cosx, sinx)與定點yq(2, 0)所確定的直線的斜率的范圍。作出如圖得圖象，當(dāng)過q 點的直線與單位圓psin x相切時得斜率便是函數(shù)y得最值，由幾何知識，易求得過q 的兩切線cosx2oqx得斜率分別為33。結(jié)合圖形可知，此函數(shù)的值域是3 ,3 .、3333課后作業(yè)5最新 料推薦1.函數(shù) ysin x3 cos x 在區(qū)間 0, 上的最小值為1 cos2 x( x22

13、.函數(shù) f ( x)cos xr) 的最大值等于23.函數(shù) ytan(x) (x且 x0) 的值域是 _ 2444.當(dāng) 0 x1cos2 x8 sin 2x時，函數(shù) f ( x)sin 2 x的最小值為21函數(shù) y2 sin(3x)cos(x)( xr) 的最小值等于 _ 62當(dāng) 0x時，函數(shù) f ( x)cos2 x的最小值是 _cos x sin x sin 24x3函數(shù) ysin x的最大值為 _，最小值為 _.cos x24函數(shù) ycosxtan x 的值域為.5已知函數(shù)f ( x)2sin x(0) 在區(qū)間,上的最小值是2 ，則的最小值等于 _346已知函數(shù)f ( x)2cos x(sin xcos x) 1， xr （）求函數(shù) f ( x) 的最小正周期；（）求函數(shù)f ( x) 在區(qū)間 3上的最小值和最大值8，47. 已知函數(shù) fx2a sin2 x2 3a sin xcos xa