奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)ppt課件.ppt

1、1,第四節(jié) 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù),2,柯西輻角原理：S平面上不通過F(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線CS包圍S平面上F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)。當(dāng)s以順時(shí)針方向沿封閉曲線CS移動一周時(shí)，在F(s)平面上映射的封閉曲線CF將以順時(shí)針方向繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N圈。N，Z，P的關(guān)系為：N=ZP。,3,若N為正，表示CF順時(shí)針運(yùn)動，包圍原點(diǎn)；,若N為0，表示CF順時(shí)針運(yùn)動，不包圍原點(diǎn)；,若N為負(fù)，表示CF逆時(shí)針運(yùn)動，包圍原點(diǎn)。,函數(shù)F(s)是復(fù)變量s的單值函數(shù)，s可以在整個(gè)S平面上變化，對于其上的每一點(diǎn)，除有限(n)個(gè)極點(diǎn)外，函數(shù)F(s)都有唯一的一個(gè)值與之對應(yīng)。,對于一個(gè)復(fù)變函數(shù),例設(shè)：,4,F(s)的值域構(gòu)成的復(fù)平

2、面稱為F(s)平面。其中S平面上的全部零點(diǎn)都映射到F(s)平面上的原點(diǎn)；S平面上的極點(diǎn)映射到F(s)平面上時(shí)都變成了無限遠(yuǎn)點(diǎn)。除了S平面上的零、極點(diǎn)之外的普通點(diǎn)，映射到F(s)平面上是除原點(diǎn)之外的有限點(diǎn)。,注意，雖然函數(shù)F(s)從S平面到F(s)平面的映射是一一對應(yīng)的，然而逆過程往往并非如此。例如已知,這個(gè)函數(shù)在有限的S平面上除S=0,1, 2以外均解析，除此三點(diǎn)外，S平面上的每一個(gè)S值在F(s)平面只有一個(gè)對應(yīng)點(diǎn)，但是F(s)平面上的每一個(gè)點(diǎn)在S平面上卻有三個(gè)映射點(diǎn)。最簡單的說明方式就是將方程改寫成,5,現(xiàn)考慮S平面上一點(diǎn)s1映射到F(s)平面上的點(diǎn)F(s1)可以用一個(gè)向量來表示，即當(dāng),向量

3、的幅值為,向量的相角為,6,Re,Im,S平面,F(s)平面,7,當(dāng)S平面上動點(diǎn)s從s1經(jīng)過某曲線CS到達(dá)s2，映射到F(s)平面上也將是一段曲線CF ，該曲線完全由F(s)表達(dá)式和s平面上的曲線CS決定。若只考慮動點(diǎn)s從s1到達(dá)s2相角的變化量，則有,例,8,例設(shè)： ，當(dāng)s平面上的動點(diǎn)沿平行于虛軸的直線，從(-1，j1)到(-1，j0) ，映射到F(s)平面上的點(diǎn)將沿某曲線從(0，-j1)到(-1，-j0) ，相角的變化為：,9,現(xiàn)考慮S平面上既不經(jīng)過零點(diǎn)也不經(jīng)過極點(diǎn)的一條封閉曲線CS 。當(dāng)變點(diǎn)s沿CS順時(shí)針方向繞行一周，連續(xù)取值時(shí)，則在F(s)平面上也映射出一條封閉曲線CF 。在S平面上，

4、用陰影線表示的區(qū)域，稱為CS的內(nèi)域。由于我們規(guī)定沿順時(shí)針方向繞行，所以內(nèi)域始終處于行進(jìn)方向的右側(cè)。在F(s)平面上，由于CS映射而得到的封閉曲線CF的形狀及位置，嚴(yán)格地決定于CS 。,10,在這種映射關(guān)系中，有一點(diǎn)是十分重要的，即：不需知道圍線CS的確切形狀和位置，只要知道它的內(nèi)域所包含的零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)目，就可以預(yù)知圍線CF是否包圍坐標(biāo)原點(diǎn)和包圍原點(diǎn)多少次；反過來，根據(jù)已給的圍線CF是否包圍原點(diǎn)和包圍原點(diǎn)的次數(shù)，也可以推測出圍線CS的內(nèi)域中有關(guān)零、極點(diǎn)數(shù)的信息。,11,1. 圍線CS既不包圍零點(diǎn)也不包圍極點(diǎn),如圖所示，在S平面上當(dāng)變點(diǎn)s沿圍線CS按順時(shí)針方向運(yùn)動一周時(shí)，我們來考察F(S)中各因

5、子項(xiàng)的輻角的變化規(guī)律。,現(xiàn)以圖中未被包圍的零點(diǎn)-2為例。當(dāng)變點(diǎn)s沿CS繞行一周后，因子(s+2)的輻角a的變化為0。,同理，對未被包圍的極點(diǎn)也是一樣，因子項(xiàng)(s+0) 的輻角b在變點(diǎn)s沿CS繞行一周后的變化也等于0。,于是，映射到F(S)平面上，當(dāng)變點(diǎn)F(s)沿CF繞行一周后的輻角變化也應(yīng)等于0。這表明，圍線CF此時(shí)不包圍原點(diǎn)。,12,2. 圍線CS只包圍零點(diǎn)不包圍極點(diǎn),如圖所示圍線CS包圍一個(gè)零點(diǎn)z=-2，先考察因子(s+2)輻角a，當(dāng)變點(diǎn)s沿CS順時(shí)針繞行一周時(shí)，a的變化為-360。映射到F(S)平面上對應(yīng)變點(diǎn)F(S)沿CF繞行一周后的輻角變化也應(yīng)等于-360。,同理，當(dāng)圍線CS的內(nèi)域包含

6、Z個(gè)零點(diǎn)時(shí)(但不包含極點(diǎn))， CF應(yīng)順時(shí)針包圍原點(diǎn)Z次。,13, 圍線CS只包圍極點(diǎn)不包圍零點(diǎn),這種情況如圖所示，如果圍線CS包圍一個(gè)極點(diǎn) ，則當(dāng)變點(diǎn)s沿CS順時(shí)針繞行一周時(shí)，因子(s+0)-1的輻角-b將變化360。映射到 F(S)平面上，圍線CF應(yīng)逆時(shí)針包圍原點(diǎn)一次。,同理，當(dāng)圍線CS的內(nèi)域只包含P個(gè)極點(diǎn)時(shí)， CF應(yīng)逆時(shí)針包圍原點(diǎn)P次，或者說， CF順時(shí)針包圍原點(diǎn)P次。,14, 圍線CS包圍Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn),由上述討論顯然可知，當(dāng)變點(diǎn)s沿CS順時(shí)針繞行一周時(shí)，CF應(yīng)順時(shí)針包圍原點(diǎn)ZP次。亦即CF順時(shí)針包圍原點(diǎn)次數(shù)N=ZP。 這就是所謂輻角原理。,15,柯西輻角原理：S平面上不通過F(s)

7、任何奇異點(diǎn)的封閉曲線CS包圍S平面上F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)。當(dāng)s以順時(shí)針方向沿封閉曲線CS移動一周時(shí)，在F(s)平面上映射的封閉曲線CF將以順時(shí)針方向繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N圈。N，Z，P的關(guān)系為：N=ZP。,若N為正，表示CF順時(shí)針運(yùn)動，包圍原點(diǎn)；,若N為0，表示CF順時(shí)針運(yùn)動，不包圍原點(diǎn)；,若N為負(fù)，表示CF逆時(shí)針運(yùn)動，包圍原點(diǎn)。,16,二、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：,奈奎斯特當(dāng)年就是巧妙地應(yīng)用了輻角原理得到了奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示,令：,17,顯然，令復(fù)變函數(shù)等于零即是閉環(huán)特征方程。復(fù)變函數(shù)的階數(shù)為n階，且分子分母同階。則復(fù)變函數(shù)可寫成以下形式：,。式中， 為F(s)的零、極點(diǎn)。,由上

8、頁(a)、(b)及(c)式可以看出： F(s)的極點(diǎn)為 F(s)的零點(diǎn)為,開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；,閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；,18,奈奎斯特為了應(yīng)用柯西輻角原理研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此設(shè)想：,如果有一個(gè)s平面的封閉曲線能包圍整個(gè)s右半平面，則根據(jù)柯西輻角原理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射包圍原點(diǎn)的次數(shù)應(yīng)為： N=F(s)的右半零點(diǎn)數(shù)F(s)的右半極點(diǎn)數(shù) =閉環(huán)系統(tǒng)右半極點(diǎn)數(shù)開環(huán)系統(tǒng)右半極點(diǎn)數(shù),當(dāng)已知開環(huán)右半極點(diǎn)數(shù)時(shí)，便可由N判斷閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。,19,這里需要解決兩個(gè)問題： 1、如何構(gòu)造一個(gè)能夠包圍整個(gè)s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足柯西輻角條件的？ 2、如何確定相應(yīng)的映射F(s)對原點(diǎn)的包圍

9、次數(shù)N，并將它和開環(huán)頻率特性Gk(jw)相聯(lián)系？, 正虛軸：,第1個(gè)問題：先假設(shè)F(s)在虛軸上沒有零、極點(diǎn)。按順時(shí)針方向做一條曲線CS包圍整個(gè)s右半平面，這條封閉曲線稱為奈奎斯特路徑。如下圖所示。它可分為三部分：, 右半平面上半徑為無窮大的半圓：, 負(fù)虛軸：,20,F(s)平面上的映射是這樣得到的：, 以 s=Rejq 代入F(s)，令R，q : ，得第二部分的映射；,得到映射曲線后，就可由柯西輻角定理計(jì)算 N = ZP，式中Z、P是F(s)在s右半平面的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)。,若已知P，并能確定N，可求出Z = N + P 。當(dāng)Z = 0時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。, 以 s = jw 代入F(s

10、)，令w 從0變化，得第一部分的映射；, 以 s = jw 代入F(s)，令w從0 ，得第三部分的映射。,21,F(s)對原點(diǎn)的包圍，相當(dāng)于Gk(s)對(-1,j0)的包圍；即映射曲線F(s)對原點(diǎn)的包圍次數(shù)N與Gk(s)對(-1,j0)點(diǎn)的包圍的次數(shù)一樣。,第部分的映射是Gk(jw)曲線向右移1；,F(s)的極點(diǎn)就是Gk(s)的極點(diǎn)，因此F(s)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)就是Gk(s)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。,由Gk(jw)可求得F(jw) ，而Gk(jw)是開環(huán)頻率特性。,第2個(gè)問題：如何確定相應(yīng)的映射F(s)對原點(diǎn)的包圍次數(shù)N，并將它和開環(huán)頻率特性Gk(jw)相聯(lián)系？,奈奎斯特所構(gòu)造的的F(s)1G

11、k(s)，Gk(s)為開環(huán)傳遞函數(shù)。,第部分的映射，一般在Gk(s)中，分母階數(shù)比分子階數(shù)高，所以當(dāng)s=ejq 時(shí)， Gk(s)0，即F(s)=1。若分母階數(shù)=分子階數(shù)，則Gk(s)K(零極點(diǎn)形式的開環(huán)增益)，即F(s)=1+K。,第部分的映射是第部分的映射關(guān)于實(shí)軸的對稱。,22,23,奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有P個(gè)極點(diǎn)，且開環(huán)頻率特性曲線對(1，j0)點(diǎn)包圍的次數(shù)為N，（N 0順時(shí)針，N 0 逆時(shí)針），則閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)為：Z = N + P。若Z = 0 ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。,奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的另一種描述： 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)Gk(s)在右半s

12、平面上的極點(diǎn)數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：在 Gk(s)平面上的開環(huán)頻率特性曲線及其鏡象當(dāng)w從變化到+時(shí)，將以逆時(shí)針的方向圍繞(1，j0)點(diǎn)P圈。 對于開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的情況，P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是開環(huán)頻率特性曲線及其鏡象不包圍(1，j0)點(diǎn)。 不穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為：Z = N + P。,24,例5-6開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：,25,當(dāng)參數(shù)K，T1和T2為任何正值時(shí)， P = 0 。,開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖如右。在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為0，繞(1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)N = 0，則閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的個(gè)數(shù)： Z = N + P =

13、 0 。故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,另外，作為對比可求出閉環(huán)傳遞函數(shù),由勞思赫爾維茨判據(jù)知閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,26,例5-7設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： ，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：,27,當(dāng)K=52時(shí)，開環(huán)極點(diǎn)為1，1j2，都在s左半平面，所以P = 0。奈氏圖如右。從圖中可以看出：奈氏圖順時(shí)針圍繞 (1，j0)點(diǎn)2圈。所以閉環(huán)系統(tǒng)在s右半極點(diǎn)數(shù)為： Z = N + P = 2 ，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,若要系統(tǒng)穩(wěn)定，則,即K 26時(shí)，奈氏圖不圍繞 (1，j0)點(diǎn)。,當(dāng)K 1，則要求K 10。,于是系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為10 K 26。,28,上述結(jié)論同樣可由勞思赫爾維茨判據(jù)得到。,勞斯陣：,要使

14、系統(tǒng)穩(wěn)定，則第一列都大于0,于是得： 10 K 26。,29,解：,30,開環(huán)系統(tǒng)奈氏圖是一個(gè)半徑為 ，圓心在 的圓。,由圖中看出：當(dāng)K 1時(shí),奈氏曲線逆時(shí)針包圍 (1，j0)點(diǎn)一圈，N=1，而P = 1，則Z = N + P = 0閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,顯然，K 1時(shí)，包圍 (1，j0)點(diǎn)，K 1時(shí)不包圍(1，j0)點(diǎn)。 K=1時(shí)穿過(1，j0)點(diǎn)。,當(dāng)K=1時(shí)，奈氏曲線通過(1，j0)點(diǎn)，屬臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,當(dāng)K1時(shí)，奈氏曲線不包圍(1，j0)點(diǎn)，N=0，P = 1，所以 Z = N + P = 1，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,31,上面討論的奈奎斯特判據(jù)和例子，都是假設(shè)虛軸上沒有開環(huán)極點(diǎn)，即開環(huán)系統(tǒng)都

15、是0型的，這是為了滿足柯西輻角定理的條件。但是對于、型的開環(huán)系統(tǒng)，由于在虛軸上（原點(diǎn)）有極點(diǎn)，因此不能使用柯西輻角定理來判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了解決這一問題，需要重構(gòu)奈奎斯特路徑。,32,三、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)在、型系統(tǒng)中的應(yīng)用：,具有開環(huán)為0的極點(diǎn)系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：,可見，在原點(diǎn)有v重0極點(diǎn)。也就是在s=0點(diǎn)，Gk(s)不解析，若取奈氏路徑同上時(shí)(通過虛軸的包圍整個(gè)s右半平面的半圓)，不滿足柯西輻角定理。為了使奈氏路徑不經(jīng)過原點(diǎn)而仍然能包圍整個(gè)s右半平面，重構(gòu)奈氏路徑如下：,以原點(diǎn)為圓心，半徑為無窮小做右半圓。這時(shí)的奈氏路徑由以下四部分組成：,33, 半徑為無窮小的右半圓，,下面討論對

16、于這種奈奎斯特路徑的映射 ：,1、第和第部分：常規(guī)的奈氏圖 ，關(guān)于實(shí)軸對稱； 2、第部分： ， 。假設(shè) 的分母階數(shù)比分子階數(shù)高；, 正虛軸：, 右半平面上半徑為無窮大的半圓：, 負(fù)虛軸：,34,(b)對于型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn) 代入 中得：,所以這一段的映射為：半徑為 ，角度從 變到 的整個(gè)圓（順時(shí)針）。,所以這一段的映射為：半徑為 ，角度從 變到 的右半圓。,3、第部分： (a)對于型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn) 代入 中得：,35,結(jié)論用上述形式的奈氏路徑，奈氏判據(jù)仍可應(yīng)用于、型系 統(tǒng)。,例5-10某型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性 如下圖所示，且s右半平面無極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。,解：首

17、先畫出完整的奈氏曲線的映射曲線。如右圖：,從圖上可以看出：映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)兩圈。因 ，所以 ，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,36,例已知非最小相位系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。不穩(wěn)定時(shí)求出閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。,解：,37,當(dāng)K0時(shí)，由題知P=1，圖知N=1，Z=N+P=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,當(dāng)K0時(shí)，由題知P=1，圖知N=0，Z=N+P=1，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,38,例已知非最小相位系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。不穩(wěn)定時(shí)求出閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。,解：,39,當(dāng)K0時(shí)，由題知P=1，圖知N=1，Z=N+P=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,當(dāng)K0時(shí)，由題知P=1，圖知N=0，Z

18、=N+P=1，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,40,奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用步驟,確定開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)P； 畫出開環(huán)系統(tǒng)奈奎斯特圖（包括正負(fù)頻率及s平面中特定路徑在Gk(s)平面的映射）； 確定N； 計(jì)算Z=N+P，當(dāng)Z=0時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，當(dāng)Z0時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，當(dāng)Z0時(shí)計(jì)算有誤。,41,例已知非最小相位系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。不穩(wěn)定時(shí)求出閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。,解：,42,當(dāng)K6時(shí)，奈氏曲線不包圍(1，j0)點(diǎn)，N=0，Z=N+P=2，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,(1，j0),(1，j0),(1，j0),開環(huán)系統(tǒng)有2個(gè)右極點(diǎn)，P=2。,當(dāng)6K8時(shí)，奈氏曲線逆時(shí)針包圍(1，j0)點(diǎn)2圈， N=2，Z=N+P=0

19、,系統(tǒng)穩(wěn)定。,當(dāng)K8時(shí)，奈氏曲線逆時(shí)針包圍(1，j0)點(diǎn)1圈，N=1，Z=N+P=1,系統(tǒng)不穩(wěn)定。,只有當(dāng)開環(huán)增益保持在一定范圍內(nèi)才穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。,43,例5-9設(shè)型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。,解：顯然這是型系統(tǒng)。先根據(jù)奈氏路徑畫出完整的映射曲線。,從圖上看出：映射曲線順時(shí)針包圍(1，j0)一圈，逆時(shí)針包圍 (1，j0)一圈，所以N=11=0，而P=0，故Z=N+P=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,條件穩(wěn)定系統(tǒng)例,能否只畫出正頻率部分的極坐標(biāo)圖來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,44,通常，只畫出w從0+的開環(huán)奈氏圖，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)在s

20、右半平面上的極點(diǎn)數(shù)為：Z = 2N + P = 0。式中，N 為w從0+變化時(shí)，開環(huán)奈氏圖順時(shí)針包圍(1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)。,45,這時(shí)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可以描述為：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)Gk(s)在右半平面的極點(diǎn)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)w 從+時(shí)，頻率特性曲線在實(shí)軸(，1)段的正負(fù)穿越次數(shù)差為P。若只畫正頻率特性曲線，則正負(fù)穿越次數(shù)差為P/2。,頻率特性曲線對(1，j0)點(diǎn)的包圍情況可用頻率特性的正負(fù)穿越情況來表示。當(dāng)w 增加時(shí)，頻率特性從上半 s 平面穿過負(fù)實(shí)軸的(，1)段到下半 s 平面，稱為頻率特性對負(fù)實(shí)軸的(，1)段的正穿越（這時(shí)隨著w 的增加，頻率特性的相角也是增加的）；意味著

21、逆時(shí)針包圍(1，j0)點(diǎn)。反之稱為負(fù)穿越。,46,47,四、在對數(shù)坐標(biāo)圖上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性：,開環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖（奈氏圖）和對數(shù)坐標(biāo)圖（波德圖）有如下的對應(yīng)關(guān)系： 1、 奈氏圖上單位圓對應(yīng)于對數(shù)坐標(biāo)圖上的零分貝線； A(w)=1，20lg A(w)=0 。 2、 奈氏圖上的負(fù)實(shí)軸對應(yīng)于對數(shù)坐標(biāo)圖上的-180度相位線。,奈氏圖頻率特性曲線在(，1)上的正負(fù)穿越在對數(shù)坐標(biāo)圖上的對應(yīng)關(guān)系：在對數(shù)坐標(biāo)圖上L(w) 0( A(w) 1)的范圍內(nèi)，當(dāng)w 增加時(shí)，相頻特性曲線從下向上穿過180度相位線稱為正穿越。因?yàn)橄嘟侵翟黾恿?。反之稱為負(fù)穿越。,48,對照圖如下：,對數(shù)坐標(biāo)圖上奈氏穩(wěn)定判據(jù)如下：,設(shè)開環(huán)頻

22、率特性 在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：對數(shù)坐標(biāo)圖上幅頻特性 的所有頻段內(nèi)，當(dāng)頻率增加時(shí)，對數(shù)相頻特性對-180度線的正負(fù)穿越次數(shù)差為P/2。閉環(huán)系統(tǒng)右半s極點(diǎn)數(shù)為： ，式中 為負(fù)、正穿越次數(shù)差。若Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若Z0，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,49,五、最小相位系統(tǒng)的奈氏判據(jù)：,開環(huán)頻率特性 在s右半平面無零點(diǎn)和極點(diǎn)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件可簡化為：奈氏圖（開環(huán)頻率特性曲線）不包圍(-1,j0)點(diǎn)。因?yàn)槿鬘=0，且P=0，所以Z=0。,50,純時(shí)延系統(tǒng)的奈氏判據(jù),一般來說，系統(tǒng)中帶有純時(shí)延環(huán)節(jié)后，系統(tǒng)的穩(wěn)定性要變差。這時(shí)，由于純時(shí)延環(huán)節(jié)在傳

23、遞函數(shù)關(guān)系式中表示為 ，所以系統(tǒng)的特征方程不再是常系數(shù)了，因此，勞斯判據(jù)不再適用了，但是奈奎斯特判據(jù)可以很容易地用于具有純時(shí)延環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的判穩(wěn)中。,設(shè)帶有純時(shí)間延遲的反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,原則上，畫出Gk(s)的奈奎斯特圖，然后觀察該圖與復(fù)平面上的(-1,j0)點(diǎn)的關(guān)系，就可以研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,51,可見延遲環(huán)節(jié)不影響幅頻特性而只影響相頻特性。,原來不含純時(shí)延環(huán)節(jié)的頻率特性若是穩(wěn)定的(不包圍(-1,j0)點(diǎn))，當(dāng)含有純時(shí)延環(huán)節(jié)后，可能就包圍(-1,j0)點(diǎn)，使系統(tǒng)成為不穩(wěn)定。,在控制系統(tǒng)中，隨著w趨于無窮，Gk(s)的幅值一般趨于零，因此Gk(s)的奈奎斯特圖隨著w趨于無窮總是以螺旋

24、狀趨于原點(diǎn)，并且與Gk(s)平面的負(fù)實(shí)軸有無限多交點(diǎn)。因此，若要使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，Gk(jw)圖與實(shí)軸的所有交點(diǎn)必須位于(-1,j0)點(diǎn)的右側(cè)。,52,例： 確定臨界穩(wěn)定時(shí)的延遲t,對于本題增益已定，要尋找臨界穩(wěn)定時(shí)的延遲。畫出t分別為0，0.8，2，4的奈奎斯特圖,由圖可見，當(dāng)延遲t為零時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。隨著t的增加穩(wěn)定狀況惡化，當(dāng)t=2s時(shí)，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定的邊緣，此時(shí)奈奎斯特圖在(-1,j0)點(diǎn)附近穿過負(fù)實(shí)軸。顯然t只要略大于2s系統(tǒng)將不穩(wěn)定。,解：,53,和有理函數(shù)的情況不同，這時(shí)不能用解析法求取極坐標(biāo)圖與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)。此時(shí)實(shí)頻特性和虛頻特性如下：,可見決定交點(diǎn)的方程不再是代數(shù)方程了。

25、而此時(shí)幅頻特性和相頻特性如下：,可見延遲環(huán)節(jié)不影響幅頻特性而只影響相頻特性。,54,令 得 ，利用牛頓迭代公式,可解得w =0.445747959632，代入j (w)且令j (w)=p，,可得t =2.0913030665342.09，此時(shí)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。,由于延遲環(huán)節(jié)不影響幅頻特性而只影響相頻特性。因此利用采用Bode圖的方法很容易求出交點(diǎn)。,55,56,例： 確定臨界穩(wěn)定時(shí)的增益K。,解：對于本題延遲已定，要尋找臨界穩(wěn)定時(shí)的增益，可根據(jù)增益不影響相頻特性而只影響幅頻特性的特點(diǎn)來求取。,令j (w)=p，可得,牛頓迭代公式為,可解得w =0.6640429384，代入A(w)且令A(yù)(w)=1

26、，可得,K=1.679806137423，即當(dāng)K=1.68時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。,57,非單位反饋系統(tǒng)有零極點(diǎn)對消時(shí)的奈氏判據(jù),注意：教材p177是針對單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)(即前項(xiàng)通道傳遞函數(shù))建立的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。,這時(shí)，只有當(dāng)由開環(huán)傳遞函數(shù)構(gòu)成的單位反饋系統(tǒng)穩(wěn)定且1/H(s)也穩(wěn)定時(shí)，原非單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)才穩(wěn)定。,實(shí)際上當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)中的前項(xiàng)通道傳遞函數(shù)與反饋傳遞函數(shù)沒有零極點(diǎn)對消時(shí)，可直接在開環(huán)傳遞函數(shù)極坐標(biāo)圖上用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)中的前項(xiàng)通道傳遞函數(shù)與反饋傳遞函數(shù)有零極點(diǎn)對消時(shí)，可將結(jié)構(gòu)圖變換如下：,58,多回路系統(tǒng)的奈氏判據(jù),首先應(yīng)判斷其局部反

27、饋部分(即內(nèi)環(huán))的穩(wěn)定性。,然后根據(jù)內(nèi)環(huán)部分在右半 s 平面的極點(diǎn)數(shù)和整個(gè)系統(tǒng)其余部分在右半 s 平面的極點(diǎn)數(shù)判別整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。多環(huán)控制系統(tǒng)需要多次利用奈奎斯特判據(jù)才能最后確定整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,59,虛軸上有極點(diǎn),已知開環(huán)傳遞函數(shù) ，用奈氏判據(jù)判穩(wěn)。,解：取奈氏路徑如圖,60,P=0，奈氏曲線順時(shí)針包圍(1，j0)點(diǎn)2圈，N=2，Z=N+P=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,61,令：,則開環(huán)傳遞函數(shù)為：,閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,將閉環(huán)特征式與開環(huán)零點(diǎn)多項(xiàng)式之比構(gòu)成一個(gè)復(fù)變函數(shù)，得：,應(yīng)用于逆極坐標(biāo)圖上的奈氏穩(wěn)定判據(jù)：,62,當(dāng)奈奎斯特路徑同前，可利用開環(huán)右零點(diǎn)數(shù)，1/Gk(s)的極坐標(biāo)圖對(1，j0)點(diǎn)

28、包圍的次數(shù)，根據(jù)柯西輻角原理，確定閉環(huán)右極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,所畫1/Gk(s)的極坐標(biāo)圖稱為逆極坐標(biāo)圖。,此時(shí)穩(wěn)定判據(jù)稱為逆奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù),逆奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有P個(gè)零點(diǎn)，且開環(huán)逆極坐標(biāo)圖及其鏡像(w從+)對(1，j0)點(diǎn)包圍的次數(shù)為N，(N 0順時(shí)針，N 0 逆時(shí)針)，則閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)為：Z = N + P。若Z = 0 ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。,逆奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)主要應(yīng)用于虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)的情況。,63,已知開環(huán)傳遞函數(shù) ，用逆奈氏判據(jù)判穩(wěn)。,解：取,64,P=0，逆奈氏曲線順時(shí)針包圍(1，j0)點(diǎn)2圈，N=2，Z=N

29、+P=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,注意對應(yīng)奈奎斯特路徑中無窮大半圓弧的逆奈氏曲線也是無窮大圓弧。,65,左邊繞原點(diǎn)問題,例：開環(huán)傳遞函數(shù) ， 其中K0，若選定奈奎斯特路徑如圖所示,畫出系統(tǒng)與該奈氏路徑對應(yīng)的奈氏曲線 根據(jù)所畫奈氏曲線及奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件；當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)計(jì)算閉環(huán)系統(tǒng)在右半S平面的極點(diǎn)數(shù)。,解：,66,P=1，要穩(wěn)定則奈氏曲線逆時(shí)針包圍(1，j0)點(diǎn)1圈， 1 K 0， 即0 K 1時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 。,67,包圍左半平面奈奎斯特路徑對應(yīng)的奈奎斯特判據(jù),Z = N + P，P 是開環(huán)左極點(diǎn)數(shù)，Z 是閉環(huán)左極點(diǎn)數(shù)，N 是極坐標(biāo)圖逆時(shí)針包圍(1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)，若順時(shí)針包圍(1，j0)點(diǎn)則 N為負(fù)。結(jié)論是Z = N + P = n （n 為系統(tǒng)的階數(shù)）閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，Z n閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。不穩(wěn)定的極點(diǎn)數(shù)為 nZ。,68,虛軸上有零點(diǎn),例：開環(huán)傳遞函數(shù) ， 用奈氏判據(jù)確定穩(wěn)定的條件。,解：取奈氏路徑如圖,由圖可見當(dāng)K0時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。,69,根據(jù)開環(huán)右零點(diǎn)判斷開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)問題, G(s)在右半s平面有一個(gè)零點(diǎn)； (1，j0)點(diǎn)位于點(diǎn)A。,例：已知開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)的單位反饋控制系統(tǒng)的奈奎斯特圖。確定在下列各種條件下系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。并確定系統(tǒng)的開環(huán)穩(wěn)定性和閉環(huán)穩(wěn)定性。, G(s)在右半s平面有一個(gè)零點(diǎn)； (1，j0)