模糊數(shù)學方法解多目標規(guī)劃.ppt

1、5模糊數(shù)學方法,模糊子集與隸屬函數(shù),設(shè)U是論域，稱映射 A(x)：U0,1 確定了一個U上的模糊子集A，映射A(x)稱為A的隸屬函數(shù)，它表示x對A的隸屬程度. 使A(x) = 0.5的點x稱為A的過渡點，此點最具模糊性. 當映射A(x)只取0或1時，模糊子集A就是經(jīng)典子集，而A(x)就是它的特征函數(shù). 可見經(jīng)典子集就是模糊子集的特殊情形.,例 設(shè)論域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(單位：cm)表示人的身高，那么U上的一個模糊集“高個子”(A)的隸屬函數(shù)A(x)可定義為,也可用Zadeh表示法：,還可用

2、向量表示法：,A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1).,另外，還可以在U上建立一個“矮個子”、“中等個子”、“年輕人”、“中年人”等模糊子集. 從上例可看出： (1) 一個有限論域可以有無限個模糊子集,而經(jīng)典子集是有限的； (2) 一個模糊子集的隸屬函數(shù)的確定方法是主觀的. 隸屬函數(shù)是模糊數(shù)學中最重要的概念之一，模糊數(shù)學方法是在客觀的基礎(chǔ)上，特別強調(diào)主觀的方法.,模糊線性規(guī)劃,普通線性規(guī)劃其約束條件和目標函數(shù)都是確定的，但在一些實際問題中，約束條件可能帶有彈性，目標函數(shù)可能不是單一的，必須借助模糊集的方法來處理. 模糊線性規(guī)劃是將約束條件和目標函數(shù)模糊化，引入隸屬函數(shù)，從

3、而導(dǎo)出一個新的線性規(guī)劃問題，它的最優(yōu)解稱為原問題的模糊最優(yōu)解.,設(shè)普通線性規(guī)劃的標準形式為,若約束條件帶有彈性，即右端常數(shù)bi可能取 (bi di , bi + di ) 內(nèi)的某一個值，這里的di0，它是決策人根據(jù)實際問題選擇的伸縮指標. 這樣的規(guī)劃稱為模糊線性規(guī)劃.,把約束條件帶有彈性的模糊線性規(guī)劃記為,這里的ti (x) = bi, di 表示當di = 0(普通約束)時, ti (x) = bi；當di0(模糊約束)時, ti (x) 取(bi - di, bi + di )內(nèi)的某一個值.,下面將約束條件和目標函數(shù)模糊化.,將(2)中帶有彈性的約束條件(di0)的隸屬函數(shù)定義為,而將(2

4、)中普通約束條件(di = 0)的隸屬函數(shù)定義為 Ai (x) = 1, ti (x) = bi .,其圖形如右圖,由Ai (x)定義可知，0, 1,設(shè)普通線性規(guī)劃(1)和(3)的最優(yōu)值分別為 f0, f1 , 記 d0 = f 0 - f 1 , 則d00, 它為模糊線性規(guī)劃(2)中目標函數(shù)的伸縮指標，d0也可由決策人確定.,定義模糊線性規(guī)劃(2)中目標函數(shù)的隸屬函數(shù)為,由Gi (x)定義可知，0, 1,Gi (x) t0 (x) + d0 f0,要求模糊線性規(guī)劃(2)的模糊最優(yōu)解x*，則要求使所有約束條件及目標函數(shù)的隸屬函數(shù)盡可能達到最大，即求x* 滿足 Ai (x)及G(x)， 且使達到

5、最大值,相當于求解普通線性規(guī)劃問題,i = 1, 2, , m.,設(shè)普通線性規(guī)劃(4)的最優(yōu)解為x*, , 則模糊線性規(guī)劃(2)的模糊最優(yōu)解為x*, 最優(yōu)值為t0 (x*).,所以，求解模糊線性規(guī)劃(2)相當于求解普通線性規(guī)劃(1), (3), (4). 此外，再補充兩點說明： 若要使某個模糊約束條件盡可能滿足，只需將其伸縮指標降低直至為0； 若模糊線性規(guī)劃(2)中的目標函數(shù)為求最大值，或模糊約束條件為近似大(小)于等于，其相應(yīng)的隸屬函數(shù)可類似地寫出.,例1 解模糊線性規(guī)劃問題(P129)：,多目標線性規(guī)劃,在相同的條件下,要求多個目標函數(shù)都得到最好的滿足,這便是多目標規(guī)劃. 若目標函數(shù)和約束

6、條件都是線性的,則為多目標線性規(guī)劃.,一般來說,多個目標函數(shù)不可能同時達到其最優(yōu)值,因此只能求使各個目標都比較“滿意”的模糊最優(yōu)解.,例2 解多目標線性規(guī)劃問題(P131)：,解普通線性規(guī)劃問題：,得最優(yōu)解為x1 = 0, x2 = 2, x3 = 2, 最優(yōu)值為2，此時 f 2 = 8.,解普通線性規(guī)劃問題：,得最優(yōu)解為x1 = 10, x2 = 0, x3 = 0, 最優(yōu)值為20，此時f 1 = 10.,線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解為 x1 = 0, x2 = 2, x3 = 2, 最優(yōu)值為2,此時 f 2 = 8. 線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解為 x1 = 10, x2 = 0, x3 = 0, 最優(yōu)值為20，此時f 1 = 10.,同時考慮兩個目標，合理的方案是使 f 1 2, 10 , f 2 8, 20 , 可取伸縮指標分別為 d1 = 10 - 2 = 8, d2 = 20 - 8 = 12. 如果認為目標 f 1更重要,可單獨縮小d1; 如果認為目標 f 2更重要，可單獨縮小d2.