九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第21章 第9課時(shí) 一元二次方程的應(yīng)用（2）導(dǎo)學(xué)案 （新版）新人教版

1、一維二次方程在第九課(2)中的應(yīng)用第一，學(xué)習(xí)目標(biāo)1.將使用二次方程來(lái)解決數(shù)值問(wèn)題2.將使用二次方程來(lái)解決營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題；3.將使用一維二次方程來(lái)解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題。二、知識(shí)綜述1.要用一維二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，我們通常必須經(jīng)過(guò)以下基本步驟：(1)檢查問(wèn)題以找到等價(jià)關(guān)系；(2)建立元序列方程；(3)解決和測(cè)試；(4)寫(xiě)下答案。2.數(shù)值問(wèn)題中常用的定量關(guān)系是：兩位數(shù)字表示為：十位數(shù)字，十位數(shù)字；三位數(shù)表示為：100位、100位和10位；三個(gè)連續(xù)的整數(shù)可以表示為：x-1，x，x1；三個(gè)連續(xù)的奇數(shù)可以表示為：2x-1、2x1和2x 3；三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)可以表示為：2x-2，2x，2x 2。第三，新知識(shí)解釋一維二

2、次方程的應(yīng)用營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題(“每次”問(wèn)題)經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題是指“單價(jià)降低時(shí)每次增加多少銷(xiāo)售額”或“單價(jià)增加時(shí)每次減少多少銷(xiāo)售額”。關(guān)鍵是找出兩個(gè)“每次”代表的個(gè)數(shù)，用未知數(shù)表示，然后根據(jù)等價(jià)關(guān)系列出方程求解。四、典型案例研究1.一維二次方程的應(yīng)用【例1】(2014年秋季冠縣學(xué)校級(jí)別末尾)，兩位數(shù)等于其一位數(shù)的平方，一位數(shù)比十位數(shù)大3。找到這個(gè)兩位數(shù)。摘要：對(duì)于數(shù)的問(wèn)題，我們必須首先闡明數(shù)的表示方法：(1)如果它是一個(gè)兩位數(shù)的數(shù)字，其中一位數(shù)字設(shè)置為a，十位數(shù)字設(shè)置為b，那么這個(gè)兩位數(shù)可以表示為10ba(2)如果是三位數(shù)，一位數(shù)設(shè)置為甲，十位數(shù)設(shè)置為乙，百位數(shù)設(shè)置為丙，則該三位數(shù)可表示為100c10b甲

3、；(3)假設(shè)x是一個(gè)整數(shù)，三個(gè)連續(xù)的整數(shù)可以表示為x-1，x，x 1，三個(gè)連續(xù)的奇數(shù)可以表示為2x-1，2x1，2x 3；三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)可以表示為2x-2、2x、2x2。練習(xí)1有一個(gè)兩位數(shù)，等于其位數(shù)乘積的三倍，它的十位數(shù)比一位數(shù)小2。找到這個(gè)兩位數(shù)的數(shù)字。連二(2015河北仿真)的魔術(shù)表演風(fēng)靡全國(guó)。小明還得知?jiǎng)⒅t發(fā)明了一個(gè)魔盒。當(dāng)任何實(shí)數(shù)對(duì)(a，b)進(jìn)入時(shí)，它將得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)：a2 b1.例如，如果你把(3，2)放進(jìn)去，你會(huì)得到32 ()A.3 B. 1 C. 3或1 D. 3或12.一維二次方程在營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題中的應(yīng)用例2(烏魯木齊，2015)，現(xiàn)在一件商品的價(jià)格是60元，每周可以賣(mài)300件。

4、市場(chǎng)調(diào)查顯示，每降價(jià)1元，每周能賣(mài)出20多件。眾所周知，一種商品的購(gòu)買(mǎi)價(jià)格是每件40元。在顧客能夠獲得利益的前提下，商家仍然希望獲得6080元的利潤(rùn)。銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)該是多少？摘要：在用一維二次方程求解的營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題中，常用的關(guān)系式是：利潤(rùn)=銷(xiāo)售價(jià)格-購(gòu)買(mǎi)價(jià)格，單件利潤(rùn)=銷(xiāo)售額=總利潤(rùn)。用一元二次方程解決的每一個(gè)問(wèn)題，通常是指“每一個(gè)單價(jià)降低，每一次銷(xiāo)售增加”或“每一個(gè)單價(jià)增加，每一次銷(xiāo)售減少”的問(wèn)題。注意兩個(gè)“每次”。在每一類(lèi)問(wèn)題中，每一次漲價(jià)(降價(jià))都會(huì)引起定價(jià)和銷(xiāo)售量的變化，而定價(jià)的變化會(huì)影響單件利潤(rùn)。等價(jià)關(guān)系一般是單件利潤(rùn)銷(xiāo)售額=總利潤(rùn)。在每一類(lèi)問(wèn)題中，我們都要注意“以顧客獲得利益為前提”和“降

5、低庫(kù)存壓力”等陳述，這些都是選擇答案的重要信息。連3 (2015淮安)水果店的張阿義以每斤2元的價(jià)格買(mǎi)了一個(gè)水果，然后以每斤4元的價(jià)格賣(mài)掉，每天可以賣(mài)100斤。經(jīng)過(guò)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種水果每降價(jià)0.1元，每天可以多賣(mài)20斤。為了保證每天至少賣(mài)出260斤，張阿姨決定降價(jià)。(1)如果每斤水果的價(jià)格降低X元，則每天的銷(xiāo)售量為每斤(exp例3 (2015年春壽縣月檢)如圖ABC，B=90，AB=6，BC=8。點(diǎn)P以1厘米/秒的速度從點(diǎn)A沿著AB移動(dòng)到點(diǎn)B，而點(diǎn)Q以2厘米/秒的速度從點(diǎn)B沿著B(niǎo)C移動(dòng)到點(diǎn)C。如果點(diǎn)P和Q分別從A和BC移動(dòng)，(1)幾秒鐘后，PBQ面積等于8cm2。(2)PBQ面積是否等于10cm

6、2？如果是，此時(shí)請(qǐng)求移動(dòng)時(shí)間；如果沒(méi)有，請(qǐng)解釋原因。摘要：動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題是指圖形中的移動(dòng)點(diǎn)、移動(dòng)線和移動(dòng)圖的問(wèn)題。要解決這些問(wèn)題，就要搞清楚圖形的變化過(guò)程，正確分析變量與其他量的關(guān)系，并在運(yùn)動(dòng)中看靜態(tài)，有靜態(tài)制動(dòng)。不變量在動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題中經(jīng)常被關(guān)注，并且方程模型經(jīng)常被建立以在找到特定位置或值時(shí)解決它們。連4(2015年春季慈溪月考)如圖所示，一個(gè)2.5米長(zhǎng)的梯子AB斜靠在垂直的墻AC上，從B到墻C的距離為0.7米。如果梯子的頂端沿著墻壁滑下0.4米，那么B點(diǎn)向外移動(dòng)多少米？(1)請(qǐng)完成小明對(duì)“思考問(wèn)題”的回答：解決方案：設(shè)定點(diǎn)b將向外移動(dòng)x米，即BB1=x。然后B1C=x 0.7和A1C=ACAA

7、1=0.4=2當(dāng)A1B1=2.5時(shí)，在RtA1B1C中，方程式由B1C2 A1C2=A1B12獲得。X1=，x2=，點(diǎn)b將向外移動(dòng)米。(2)在解決了“思維問(wèn)題”之后，蕭琮提出了以下問(wèn)題：梯子頂部從A點(diǎn)滑下墻壁的距離是否等于梯子頂部從B點(diǎn)向外移動(dòng)的距離？為什么？請(qǐng)回答小聰提出的這個(gè)問(wèn)題。第五，課后測(cè)驗(yàn)首先，選擇題1.如果兩個(gè)數(shù)的差是4，乘積是45，那么這兩個(gè)數(shù)是()A.5和9 B. 9和5 C.5和5或9 d . 5和9或9和52.(2014年鄂城區(qū)校級(jí)模擬)西瓜經(jīng)營(yíng)者以2元/公斤的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)一批小西瓜，以3元/公斤的價(jià)格出售，每天可銷(xiāo)售200公斤。為了促進(jìn)銷(xiāo)售，經(jīng)營(yíng)者們決定降低價(jià)格。經(jīng)過(guò)調(diào)查，發(fā)

8、現(xiàn)這種小西瓜每降價(jià)0.3元/公斤，每天可以多賣(mài)40公斤。此外，固定成本如日租金為24元。為了減少庫(kù)存，A.0.2或0.3 B.0.4 C.0.3 D.0.23.如圖所示，房間地板上的圖案鑲嵌著相同大小的黑白方塊。在圖中，第一個(gè)黑色形狀由3個(gè)正方形組成，第二個(gè)黑色形狀由7個(gè)正方形組成，因此組成第12個(gè)黑色形狀的正方形數(shù)量為()A.44 B.45 C.46 D.47第二，填空4.(2014年秋季婁底學(xué)校結(jié)束時(shí))如果兩個(gè)連續(xù)的偶數(shù)的乘積是224，那么這兩個(gè)數(shù)的和就是_ _ _ _ _。5.(2015年?yáng)|西湖區(qū)校級(jí)模擬)商場(chǎng)某商品平均每天銷(xiāo)售30件，每件利潤(rùn)50元。為了盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)?/p>

9、降價(jià)措施。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品的平均日銷(xiāo)售量要多2件。根據(jù)這一規(guī)則，當(dāng)每件商品的價(jià)格降低_ _ _ _ _ _ _ _時(shí)，商場(chǎng)的日利潤(rùn)可達(dá)2100元。第三，回答問(wèn)題6.(古城縣模擬，2015)如何用40厘米長(zhǎng)的繩子圍起一個(gè)面積為96平方厘米的長(zhǎng)方形？你能形成一個(gè)面積為102平方厘米的長(zhǎng)方形嗎？如果可以，解釋一下周?chē)姆椒?；如果沒(méi)有，請(qǐng)解釋原因。7.(2015年春末，江陰市)一名大學(xué)生利用暑假的社會(huì)實(shí)踐，參與了一家網(wǎng)店的運(yùn)營(yíng)。這家網(wǎng)店以每件20元的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)了900種新產(chǎn)品。在第一周，300件產(chǎn)品以每件35元的價(jià)格出售，在第二周，300件產(chǎn)品仍然可以以每件35元的價(jià)格出售。然而，為了適當(dāng)?shù)卦黾愉N(xiāo)售

10、量，商店決定降低銷(xiāo)售價(jià)格(根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可以多銷(xiāo)售50種產(chǎn)品)。(1)如果第二周降價(jià)，賣(mài)出1元，第一周和第二周的利潤(rùn)分別是多少？(2)如果在第二周單價(jià)降低了X元，在銷(xiāo)售一周之后，商店將清理剩余的商品，并以每件15元的價(jià)格出售。如果這批貨計(jì)劃盈利9500元，第二周每種商品的單價(jià)應(yīng)該降低多少元？8.(江西模擬，2014)直角邊AB=BC=10cm厘米等腰三角形ABC，點(diǎn)P和Q同時(shí)從點(diǎn)A和C開(kāi)始，它們都以1厘米/秒的相同速度做直線運(yùn)動(dòng).已知P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，Q沿BC的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，PQ與直線AC在點(diǎn)d相交.假設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為T(mén)，PCQ的面積為s .(1)找出s相對(duì)于t的函數(shù)關(guān)系；(2

11、)當(dāng)p點(diǎn)移動(dòng)幾秒鐘時(shí)，SPCQ=SABC？(3)如果在e點(diǎn)使用PEAC，當(dāng)p點(diǎn)和q點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度會(huì)改變嗎？證明你的結(jié)論。9.(汕頭市2015年春季分等期)如圖所示，長(zhǎng)方形ABCD(長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等，每個(gè)角為90)，AB=6厘米，AD=2厘米，點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A和點(diǎn)C開(kāi)始移動(dòng)，點(diǎn)P以2厘米/秒的速度移動(dòng)到點(diǎn)B的終點(diǎn)，點(diǎn)Q以1厘米/秒的速度移動(dòng)到點(diǎn)D，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，(1)當(dāng)t=1秒時(shí)，四邊形BCQP的面積是多少？(2)當(dāng)t的值是多少時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離是3厘米嗎？(3)當(dāng)t=以點(diǎn)p、q和d為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)(直接寫(xiě)出答案)探索答案的典型例子：示例1分析讓這兩位數(shù)字的單

12、個(gè)數(shù)字是x，然后十位數(shù)字是(x3)，然后這兩位數(shù)字是10(x3x，然后等式可以根據(jù)等于其單個(gè)數(shù)字的平方的兩位數(shù)字來(lái)求解。解決方法：讓這兩個(gè)數(shù)字的單個(gè)數(shù)字是x，那么十個(gè)數(shù)字是(x3).根據(jù)問(wèn)題的意思，得到10(x3) x=x2原始方程可以簡(jiǎn)化為x211x 30=0。x1=5,x2=6，當(dāng)x=5時(shí)，x3=2，兩位數(shù)是25；當(dāng)x=6時(shí)，x3=3，兩位數(shù)是36。甲：兩位數(shù)是25或36。評(píng)論：本課題主要考察一元二次方程的應(yīng)用。解決問(wèn)題的關(guān)鍵是理解題目的含義，根據(jù)題目給出的條件找出合適的等價(jià)關(guān)系，列出方程，然后求解。練習(xí)1。分析假設(shè)這兩位數(shù)字的單個(gè)數(shù)字是X，那么十位數(shù)字是(x-2)，那么這兩位數(shù)字是10(

13、x-2) x，那么根據(jù)這兩位數(shù)字等于其數(shù)字乘積的三倍，等式可以被公式化和求解。解決方法：讓這兩個(gè)數(shù)字的單個(gè)數(shù)字是X，那么十個(gè)數(shù)字是(x-2)。根據(jù)問(wèn)題的含義，10(x-2) x=3x(x-2)，原始方程可以簡(jiǎn)化為3x2-17x 20=0，因式分解給出(3x-5)(x-4)=0。解是x1=，x2=4。因?yàn)閤是一個(gè)整數(shù)，x=不符合問(wèn)題的意思，x=4。10(x-2) x=24，所以這個(gè)兩位數(shù)是24。評(píng)論：本主題研究一維二次方程應(yīng)用中的數(shù)值問(wèn)題。注：在獲得解決方案后，應(yīng)測(cè)試其實(shí)際意義，不符合問(wèn)題含義的解決方案應(yīng)丟棄。練習(xí)2?！痉治觥扛鶕?jù)相應(yīng)的運(yùn)算方法和順序，讓m為2的二次方程的結(jié)果，然后以列的形式進(jìn)行

14、求值。解決方案：從問(wèn)題的含義來(lái)看：m2 (2m)1=2，m22m3=0，(m3)(m 1)=0，M1=3，m2= 1。因此，d .點(diǎn)評(píng)：考察一維二次方程的應(yīng)用；理解新定義的操作方法是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵。例2分析讓價(jià)格降低X元，顯示銷(xiāo)售價(jià)格和銷(xiāo)售量，并列出方程進(jìn)行求解。解決方案：如果價(jià)格降低x元，價(jià)格將是(60x)元，銷(xiāo)售量將是(300 20)件。根據(jù)問(wèn)題的意思，(60x40)(300 20x)=6080。X1=1，x2=4，顧客得到好處，所以取x=4，價(jià)格是60-4=56元。答：銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)該定為56元。注釋?zhuān)罕局黝}檢查一維二次方程的應(yīng)用，從主題中找出關(guān)鍵描述符，并找出等價(jià)關(guān)系。準(zhǔn)確地列出方程是

15、解決問(wèn)題的關(guān)鍵。在這個(gè)話題上，我們應(yīng)該注意判斷解決方案是否符合問(wèn)題的含義，而拋棄不符合問(wèn)題含義的解決方案。練習(xí)3。【分析】(1)銷(xiāo)售量=原始銷(xiāo)售量-減少的銷(xiāo)售量，按此公式計(jì)算；(2)根據(jù)每斤銷(xiāo)量利潤(rùn)=總利潤(rùn)，方程可以求解。解決方法：(1)如果這種水果每斤降價(jià)X元，日銷(xiāo)售量為100 20=100 200斤；(2)根據(jù)問(wèn)題的含義：(42x)(100 200倍)=300，X=或x=1。每天至少售出260公斤。x=1.張阿姨要把每斤的價(jià)格降低1元。評(píng)論：這個(gè)問(wèn)題檢驗(yàn)理解問(wèn)題含義的能力。第一個(gè)問(wèn)題是找出每公斤的利潤(rùn)和總銷(xiāo)售量，以便獲利。第二個(gè)問(wèn)題是根據(jù)銷(xiāo)售價(jià)格和銷(xiāo)售量之間的關(guān)系，以利潤(rùn)為等價(jià)關(guān)系求解方程

16、。例3分析 (1)讓x秒過(guò)去，PBQ面積等于8cm2.首先用含有x的代數(shù)表達(dá)式表示BP和BQ的長(zhǎng)度，然后代入三角形面積公式，列出方程，然后計(jì)算時(shí)間；(2)讓PBQ的面積等于10cm2。y秒后。根據(jù)三角形的面積公式，列出了y的二次方程，并根據(jù)=b24ac.公式進(jìn)行了判斷解決方法：(1)讓x秒過(guò)去，PBQ面積等于8cm2.* AP=1 x=x，BQ=2x，BP=ABAP=6x，SPBQ=BPBQ=(6x)2x=8，x26x 8=0，解決方法是x=2或4，也就是說(shuō)，2秒或4秒后，PBQ的面積等于8cm2。(2)y秒后，PBQ面積等于10cm2，SPBQ=(6y)2y=10，即，y2-6y10=0，因

17、為=B2 4ac=36 410= 4 0，因此，PBQ的面積將不等于10cm2.評(píng)論：本主題研究一維二次方程的應(yīng)用。關(guān)鍵是用代數(shù)表達(dá)式隨時(shí)間精確表示BP和BQ的長(zhǎng)度，然后根據(jù)三角形的面積公式列出一維二次方程，求解并作出判斷。練習(xí)4。分析 (1)根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，設(shè)定點(diǎn)b將向外移動(dòng)x米，即BB1=x，B1C=x 0.7，A1c=AC AA1= 0.4=2。在RtA1B1C中，B1C2 A1C2=A1B12是由勾股定理得到的，根據(jù)(2)讓梯子的頂端從A向下滑動(dòng)X米，B點(diǎn)也向外移動(dòng)X米。根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，(x 0.7)2 (2.4x)2=2.52)可以求解。解決方法：(1)設(shè)定點(diǎn)b向外移動(dòng)x米，即BB1=x。那么B1C=x 0.7，a1c=AC aa1=