數(shù)值分析(27) 常微分方程初值問題的數(shù)值方法.ppt

1、第十章 常微分方程數(shù)值解,第一節(jié) 求解初值問題數(shù)值方法的基本原理,第二節(jié) 高精度的單步法,第三節(jié) 線性多步法,第四節(jié) 一階微分方程組的解法,第五節(jié) 邊值問題的打靶法和差分法,考慮一階常微分方程的初值問題 /* Initial-Value Problem */:,只要 f (x, y) 在a, b R1 上連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足 Lipschitz 條件，即存在與 x, y 無關(guān)的常數(shù) L 使 對任意定義在 a, b 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，則上述IVP存在唯一解。,要計算出解函數(shù) y(x) 在一系列節(jié)點 a = x0 x1 xn= b 處的近似值,節(jié)點間距 為步長，通常采用等

2、距節(jié)點，即取 hi = h (常數(shù))。,第一節(jié) 求解初值問題數(shù)值方法的基本原理,數(shù)值解,(10-1),一、初值問題的數(shù)值解,求解(10-1)最基本的方法是單步法,單步法:從初值 開始,依次求出 ,后一步的值 只依靠前一步的,典型的單步法是Euler(歐拉)方法,其計算格式是:,例:求解常微分方程初值問題,由此可見,Euler公式的近似值接近方程的精確值.,二、構(gòu)造初值問題數(shù)值方法的基本途徑,以Euler法為例說明構(gòu)造IVP問題數(shù)值方法的三種基本途徑,1. 數(shù)值微分法,用差商代替微商,亦稱為歐拉折線法,2. Taylor展開法,忽略高階項,取近似值可得到Euler公式,3. 數(shù)值積分法區(qū)間,將

3、區(qū)間 積分,隱式歐拉法 /* implicit Euler method */,由于未知數(shù) yi+1 同時出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱為隱式 /* implicit */ 歐拉公式，而前者稱為顯式 /* explicit */ 歐拉公式。,一般先用顯式計算一個初值，再迭代求解。,三、Euler法的改進及梯形公式,梯形公式 /* trapezoid formula */, 顯、隱式兩種算法的平均,中點歐拉公式 /* midpoint formula */,改進歐拉法 /* modified Eulers method */,注：此法亦稱為預(yù)測-校正法 /* predictor-corre

4、ctor method */。一方面它有較高精度，同時可以看到它是個單步遞推格式，比隱式公式的迭代求解過程簡單。后面將看到，它的穩(wěn)定性高于顯式歐拉法。,四、單步法的誤差分析和穩(wěn)定性,1. 整體截斷誤差和局部截斷誤差,整體截斷誤差:數(shù)值解 和精確解 之差,整體截斷誤差除與 步計算有關(guān)外,還與 的計算 有關(guān),分析計算中的某一步,顯式單步法的一般形式可寫為:,其中 稱為增量函數(shù)。如對于Euler公式其增量函數(shù),稱為單步法在點 處的局部截斷誤差。,定義,若某算法的局部截斷誤差為 ，則稱該算法有p 階精度。,歐拉法的局部截斷誤差,由Taylor展開:,歐拉法具有 1 階精度。,類似可以證明改進的Eule

5、r方法具有2階精度,2. 收斂性和整體截斷誤差,若某算法對于任意固定的 x = x0 + n h，當(dāng) h0 ( 同時 n ) 時有 yn y( xn )，則稱該算法是收斂的。,定義,例：就初值問題 考察歐拉顯式格式的收斂性。,解：該問題的精確解為,歐拉公式為,對任意固定的 x = xn = nh ，有,關(guān)于整體截斷誤差與局部截斷誤差的關(guān)系,有如下定理,定理:對IVP(10.1)式的單步法 , 若局部截斷誤差為 ,且函數(shù) 對y 滿足Lipschitz條件,即存在L0,使得,對一切 成立,則該方法收斂,且有,由該定理可知整體截斷誤差總比局部截斷誤差低一階,對改進的Euler法,于是有,設(shè)L為f關(guān)于

6、y的Lipschitz常數(shù),則由上式可得,限定h即可知Q滿足Lipschitz條件,故而改進的Euler法收斂.,例：考察初值問題 在區(qū)間0, 0.5上的解。 分別用歐拉顯、隱式格式和改進的歐拉格式計算數(shù)值解。,1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000101 3.2000101,1.0000 2.5000101 6.2500102 1.5625102 3.9063103 9.7656104,1.0000 2.5000 6.2500 1.5626101 3.9063101 9.7656101,1.0000 4.9787102 2.4788103 1.2341104 6.1442106 3.0590107,3. 穩(wěn)定性,定義,若某算法在計算過程中任一步產(chǎn)生的誤差在以后的計算中都逐步衰減，則稱該算法是絕對穩(wěn)定的 /*absolutely stable */。,一般分析時為簡單起見，只考慮試驗方程 /* test equation */,常數(shù)，可以是復(fù)數(shù),例：考察隱式歐拉法,可見絕對穩(wěn)定區(qū)域為：,注：一般來說，隱式歐拉法的絕對穩(wěn)定性比同階的顯式法的好。,第二節(jié) 高精度的單步法,在高精度的單步法中,應(yīng)用最廣泛的是Runge-Kutta(龍格-庫塔)方法,一、Runge-Kutta法的基本思想（1）