七年級數(shù)學下冊 整式的乘法教案 北師大版

1、整式的乘法 教學設計教學設計思想：本節(jié)內容分三課時講授；首先我們利用乘法交換律和結合律及同底數(shù)冪乘法的法則探索出單項式相乘的運算法則，并能熟練地運用；然后教師引導學生學習了單項式與多項式相乘，根據(jù)乘方分配律可以轉化成單項式與單項式相乘；最后通過拼圖游戲，使學生直觀地認識多項式與多項式的乘法，再又從代數(shù)運算的角度將多項式與多項式相乘轉化為單項式與多項式相乘，從而歸納出多項式與多項式相乘的法則.一、教學目標(一)知識與技能1.敘述單項式與單項式、單項式與多項式、多項式與多項式相乘的運算法則，會進行單項式與單項式、單項式與多項式、多項式與多項式相乘的運算.2.掌握單項式與單項式、單項式與多項式、多項

2、式與多項式相乘的算理，知道乘法交換律和結合律的作用和轉化.(二)過程與方法1.發(fā)展有條理的思考和語言表達能力.2.培養(yǎng)轉化的數(shù)學思想.(三)情感、態(tài)度與價值觀在探索單項式與單項式相乘的過程中，利用乘法的運算律將問題轉化，從中獲得成就感，培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣.二、教學重難點（一）教學重點單項式與單項式、單項式與多項式、多項式與多項式相乘的運算法則及其應用.（二）教學難點靈活地進行單項式與單項式、單項式與多項式、多項式與多項式相乘的運算.三、教具準備投影片四、教學方法：引導發(fā)現(xiàn)法五、教學安排：3課時六、教學過程.創(chuàng)設問題情景，引入新課師整式的運算我們在前面學習過了它的加減運算，還記得整式的加減法是如

3、何運算的嗎？生如果遇到有括號，利用去括號法則先去括號，然后再根據(jù)合并同類項法則合并同類項.師很棒！其實整式的運算就像數(shù)的運算，除了加減法，還應有整式的乘法，整式的除法.下面我們先來看問題：為支持北京申辦2008年奧運會，一位畫家設計了一幅長6000米、名為“奧運龍”的宣傳畫.受他的啟發(fā)，京京用兩張同樣大小的紙，精心制作了兩幅畫，如圖116所示，第一幅畫的畫面大小與紙的大小相同，第二幅畫的畫面在紙的上、下方各留有x米的空白.圖116(1)第一幅畫的畫面面積是 米2；(2)第二幅畫的畫面面積是 米2.生從圖形我們可以讀出條件，第一個畫面的長、寬分別為x米，mx米；第二個畫面的長、寬分別為mx米、(

4、xxx)即x米.因此，第一幅畫的畫面面積是x(mx)米2；第二幅畫的畫面面積是(mx)(x)米2.師我們一起來看這兩個運算：x(mx),(mx)(x).這是什么樣的運算.生x,mx,x都是單項式，它們相乘是單項式與單項式相乘.師大家都知道整式包括單項式和多項式，從這節(jié)課開始我們就來研究整式的乘法.我們先來學習單項式與單項式相乘.運用乘法的交換律、結合律和同底數(shù)冪乘法的運算性質等知識，探索單項式與單項式相乘的運算法則想一想：(1)對于上面的問題小明也得到如下的結果：第一幅畫的畫面面積是x(mx)米2；第二幅畫的畫面面積是(mx)(x)米2.可以表達的更簡單些嗎？說說你的理由.(2)類似地，3a2

5、b2ab3和(xyz)y2z可以表達得更簡單些嗎？為什么？(3)如何進行單項式與單項式相乘的運算？師我們來看“想一想”中的三個問題.生我認為這兩幅畫的畫面面積可以表達的更簡單些.x(mx)=m(xx)乘法交換律、結合律=mx2同底數(shù)冪乘法運算性質(mx)(x)=(m)(xx)乘法交換律、結合律=mx2同底數(shù)冪乘法運算性質生類似地，3a2b2ab3和(xyz)y2z也可以表達得更簡單些.3a2b2ab3=(32)(a2a)(bb3)乘法交換律、結合律=6a3b4同底數(shù)冪乘法運算性質(xyz)y2z=x(yy2)(zz)乘法交換律、結合律=xy3z2同底數(shù)冪乘法的運算性質師很棒！這兩位同學恰當?shù)剡\

6、用了乘法交換律、結合律以及同底數(shù)冪乘法的運算性質將這幾個單項式與單項式相乘的結果化成最簡.在(1)(2)的基礎上，你能用自己的語言描述總結出單項式與單項式相乘的運算法則嗎？你們一定做得會更棒.生單項式與單項式相乘，利用乘法交換律和結合律，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余的字母連同它的指數(shù)不變，一起作為積的因式.師我們接下來就用這個法則去做幾個題例1計算：(1)(2xy2)(xy);(2)(2a2b3)(3a);(3)(4105)(5104);(4)(3a2b3)2(a3b2)5;(5)(a2bc3)(c5)(ab2c).解：(1)(2xy2)(xy)=(2)(xx)(y2y)=x2y3

7、;(2)(2a2b3)(3a)=(2)(3)(a2a)b3=6a3b3;(3)(4105)(5104)=(45)(105104)=20109=21010;(4)(3a2b3)2(a3b2)5=(3)2(a2)2(b3)2(1)5(a3)5(b2)5=(9a4b6)(a15b10)=9(a4a15)(b6b10)=9a19b16;(5)(a2bc3)(c5)(ab2c)=()()()(a2a)(bb2)(c3c5c)=a3b3c9師生共析單項式與單項式相乘的乘法法則在運用時要注意以下幾點：1.積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號，再計算絕對值.這時容易出現(xiàn)的錯誤是，將系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆，如

8、2a33a2=6a5,而不要認為是6a6或5a5.2.相同字母的冪相乘，運用同底數(shù)冪的乘法運算性質.3.只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)作為積的一個因式.4.單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用.5.單項式乘以單項式，結果仍是一個單項式.練習，熟悉單項式與單項式相乘的運算法則，及每一步運算的算理1.計算：(1)(5x3)(2x2y);(3)(3ab)(4b2);(3)(2x2y)3(4xy2).2.一種電子計算機每秒可做4109次運算，它工作5102秒，可做多少次運算？(由幾位同學板演，最后師生共同講評)1.解：(1)(5x3)(2x2y)=(52)(x3x2)y=10x3

9、+2y=10x5y;(2)(3ab)(4b2)=(3)(4)a(bb2)=12ab3;(3)(2x2y)3(4xy2)=23(x2)3y3(4xy2)=(8x6y3)(4xy2)=8(4)(x6x)(y3y2)=32x7y52.解：(4109)(5102)=(45)(109102)=201011=21012(次)答：工作5102秒，可做21012次運算.課時小結這節(jié)課我們利用乘法交換律和結合律及同底數(shù)冪乘法的法則探索出單項式相乘的運算法則，并能熟練地運用.課后作業(yè)課本習題1.8，第1、2題.活動與探究若(am+1bn+2)(a2n1b2m)=a5b3,則m+n的值為多少？過程根據(jù)單項式乘法的法

10、則，可建立關于m,n的方程，即(am+1bn+2)(a2n1b2m)=(am+1a2n1)(bn+2b2m)=a2n+mb2m+n+2=a5b3,所以2n+m=5,2m+n+2=3即2m+n=1,觀察方程的特點，很容易就可求出m+n.結果根據(jù)題意，得2n+m=5,2m+n=1,+得3n+3m=6,3(m+n)=6,所以m+n=2.板書設計整式的乘法(一)單項式與單項式相乘問題：如何將x(mx);(mx)(x)化成最簡？探索：x(mx)=m(xx)乘法交換律、結合律=mx2同底數(shù)冪乘法運算性質(mx)(x)=(m)(xx)乘法交換律、結合律=mx2同底數(shù)冪乘法運算性質類似地，3a2b2ab3=(

11、32)(a2a)(bb3)=6a3b4;(xyz)y2z=x(yy2)(zz)=xy3z2.歸納：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式.例題：例1.(師生共析)練習：(學生板演，師生共同講評)第二課時：.提出問題，引入新課師整式包括什么？生單項式和多項式.師整式的乘法，我們上一節(jié)課學習了其中的一部分單項式與單項式相乘.你認為整式的乘法還應學習哪些內容呢？生單項式與多項式相乘或多項式與多項式相乘.師很好！我們這節(jié)課就接著來學習整式的乘法單項式與多項式相乘.利用面積的不同表示方式或乘法分配律轉化為單項式與單項式相乘，探索單項式與多項式相乘的

12、乘法法則為支持北京申辦奧運會，京京受畫家的啟發(fā)曾精心制作了兩幅畫，我們已欣賞過.寧寧也不甘落后，也作了一幅畫，如圖117：圖117(1)寧寧也作了一幅畫，所用紙的大小與京京的相同，她在紙的左右兩邊各留了x米的空白，這幅畫的畫面面積是多少？一方面，可以先表示出畫面的長與寬，由此得到畫面的面積為 ；另一方面，也可以用紙的面積減去空白處的面積，由此得到畫面的面積為 .這兩個結果表示同一畫面的面積，所以 .(2)如何進行單項式與多項式相乘的運算？師從“議一議”可知求出寧寧畫的畫面面積有兩種方法.一種是直接用畫面的長和寬來求；一種是間接地把畫面的面積轉化為紙的面積減去空白處的面積.下面我們就用這兩種方法

13、分別求出畫面的面積.生根據(jù)題意可知畫面的長為(mxxx)即(mxx)米，寬為x米，所以畫面的面積為x(mxx)米2.生紙的面積為xmx=mx2米2，空白處的面積為2xx=x2米2，所以畫面的面積為(mx2x2)米2.師x(mxx)與mx2x2都表示畫面的面積，它們是什么關系呢？生它們應相等，即x(mxx)=mx2x2.師觀察上面的相等關系，等式左邊是單項式x與多項式(mxx)相乘，而右邊就是它們相乘后的最后結果，你能用乘法分配律、同底數(shù)冪的乘法性質來說明上面等式成立的原因嗎？生乘法分配律a(b+c)=ab+ac.所以x(mxx)就需用x去乘括號里的兩項即mx和x,再把它們的積相加，即x(mxx

14、)=x(mx)+x(x)=mx2x2.師你能用上面的方法計算下面的式子嗎？3xy(x2y2xy+y2),并說明每一步的理由.生3xy(x2y2xy+y2)=3xy(x2y)+3xy(2xy)+3xyy2乘法分配律=3x3y26x2y2+3xy3單項式乘法的運算法則師根據(jù)上面的分析，你能用語言來描述如何進行單項式與多項式相乘的運算嗎？生單項式與多項式相乘，就是根據(jù)乘法分配律用單項式去乘多項式的每一項，轉化為單項式與單項式的乘法，然后再把所得的積相加.生其實，單項式與多項式相乘，就是利用乘法分配律轉化為單項式與單項式相乘，這樣新知識就轉化成了我們學過的知識.師看來，同學們已領略到了數(shù)學的“韻律”這

15、種“轉化”的思想是我們學習數(shù)學非常重要的一種思想.我們在處理一些問題時經常用到它，例如新知識學習轉化為我們學過的、熟悉的知識；復雜的知識轉化為幾個簡單的知識等.我們通過畫面面積的不同表達方法和乘法分配律，得出了單項式乘以多項式的運算法則：單項式與多項式相乘 ，就是根據(jù)分配律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，下面我們來看它的具體運用.練一練，明確單項式乘多項式每一步的算理，體會由單項式與多項式相乘向單項式與單項式相乘的轉化例1計算：(1)2ab(5ab2+3a2b);(2)(ab22ab)ab;(3)6x(x3y);(4)2a2(ab+b2).解：(1)2ab(5ab2+3a2b)=

16、2ab(5ab2)+2ab(3a2b)乘法分配律=10a2b3+6a3b2單項式與單項式相乘(2)(ab22ab)ab=(ab2)ab+(2ab)ab乘法分配律=a2b3a2b2單項式與單項式相乘(3)6x(x3y)=(6x)x+(6x)(3y)乘法分配律=6x2+18xy單項式與單項式相乘(4)2a2(ab+b2)=2a2(ab)+(2a2)b2乘法分配律=a3b2a2b2單項式與單項式相乘師通過上面的例題，我們已明白每一步的算理.單項式與多項式相乘根據(jù)前面的練習，你認為需注意些什么.生單項式與多項式相乘時注意以下幾點：1.積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同.2.運算時，要注意積的符號

17、，多項式中的每一項前面的“+”“”號是性質符號，單項式乘以多項式各項的結果，要用“+”連結，最后寫成省略加號的代數(shù)和的形式.例2計算：6mn2(2mn4)+(mn3)2.分析：在混合運算中，要注意運算順序，結果有同類項的要合并同類項.解：原式=6mn22+6mn2(mn4)+m2n6=12mn22m2n6+m2n6=12mn2m2n6例3已知ab2=6,求ab(a2b5ab3b)的值.分析：求ab(a2b5ab3b)的值，根據(jù)題的已知條件需將ab2的值整體代入.因此需靈活運用冪的運算性質及單項式與多項式的乘法.解：ab(a2b5ab3b)=(ab)(a2b5)+(ab)(ab3)+(ab)(b

18、)=a3b6+a2b4+ab2=(ab2)3+(ab2)2+ab2當ab2=6時原式=(ab2)3+(ab2)2+ab2=(6)3+(6)2+(6)=216+366=246.課時小結師這節(jié)課我們學習了單項式與多項式的乘法，大家一定有不少體會.你能告訴大家嗎？生這節(jié)課我最大的收獲是進一步體驗到了轉化的思想：單項式與多項式相乘，根據(jù)乘方分配律可以轉化成單項式與單項式相乘；而上節(jié)課我們學習的單項式與單項式相乘，根據(jù)乘法交換律和結合律又可轉化成同底數(shù)冪乘法的運算，師同學們可回顧一下我們學過的知識，哪些地方也曾用過轉化的思想.生我們學習有理數(shù)運算的時候，就曾用過，例如有理數(shù)乘法法則就是利用同號得正，異號

19、得負確定符號后，再把絕對值相乘，而任何數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，因此有理數(shù)的乘法運算就是在確定符號后轉化成0和正整數(shù)、正分數(shù)的運算.師轉化思想是我們數(shù)學學習中的一種非常重要的數(shù)學思想，在將來的學習中，他會成為我們的得力助手.課后作業(yè)1.課本P26，習題1.9第1、2題.2.回顧轉化思想在以前數(shù)學學習過程中的應用.活動與探究已知A=,B=.試比較A、B的大小.過程這么復雜的數(shù)字通過計算比較它們的大小，非常繁雜.我們觀察就可發(fā)現(xiàn)A和B的因數(shù)是有關系的，如果借助于這種關系，用字母表示數(shù)的方法，會給解決問題帶來方便.結果設a=,a+1=;b=,b+1=,則A=a(b+1)=ab+a;B=(a+1)b=ab

20、+b.而根據(jù)假設可知ab,所以AB.板書設計整式的乘法(二)單項式與多項式的乘法一、議一議1.用不同的方法表示畫面的面積.一方面，畫面面積為x(mxx)米2；一方面，畫面面積為(mx2x2)米2.所以x(mxx)=mx2x22.用乘法分配律等說明上式成立x(mxx)=x(mx)+x(x)乘法分配律=mx2x2單項式與單項式相乘綜上所述，可得單項式與多項式相乘單項式與單項式相乘再把積相加二、練一練例1.(由師生共同分析完成)例2.(由師生共同分析完成)例3.(由師生共同分析完成)第三課時：.創(chuàng)設問題情景，引入新課師利用下面長方形卡片中的任意兩個，拼成一個更大的長方形. 圖119生用上面卡片中的任

21、意兩個拼出如下圖形： 圖120師你能用不同的形式表示上面四個圖形的面積嗎？生圖A的面積可以表示為(n+a)m,也可以表示為nm+am;圖B的面積可以表示為n(m+b),也可以表示為nm+nb;圖C的面積可以表示為b(n+a),也可以表示為bn+ab;圖D的面積可以表示為a(m+b),也可以表示為am+ab.生由上面的同一圖形不同的面積表示方程可得：(n+a)m=nm+am;n(m+b)=nm+nb;b(n+a)=bn+ab;a(m+b)=am+ab.師我們觀察上面四個式子可以發(fā)現(xiàn)，等式的左邊是單項式乘以多項式，而它們正是單項式與多項式相乘的一個幾何解釋.如果再把A、B、C、D四個圖形進一步擺拼

22、，會得到比它們更大的長方形.做一做，試一試，也許你會有更驚人的發(fā)現(xiàn).通過拼更大的長方形，對比同一面積的不同表示方式，使學生對多項式與多項式的乘法有一個直觀認識，再從代數(shù)角度去探索多項式與多項式乘法的運算法則.生利用A和C可以拼出下列長方形：生利用B和D也可以拼出如圖121所示的長方形.圖121師你能用不同的形式表示這個圖形的面積嗎？并進行比較.生上面的圖形可以看成長為(m+b)、寬為(n+a)的長方形，其面積是(m+b)(n+a)；生上面的圖形還可以看成圖A和圖C兩個圖形組成的，其面積是m(n+a)+b(n+a)；生還可以看成是四個小長方形的組合，其面積是mn+ma+bn+ba.師比較后，你能

23、發(fā)現(xiàn)什么？生這三種方法表示同一圖形的面積.因此，它們是相等的，即(m+b)(n+a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+ma+bn+ba.師如果從代數(shù)運算的角度解釋上面的等式成立嗎？生成立.在(m+b)(n+a)中，可以把其中的一個多項式看成一個整體，例如把(n+a)看成一個整體，利用乘法分配律，得,這時再利用單項式與多項式相乘的運算法則，就可得到.師這位同學從代數(shù)運算的角度解釋這個等式，解釋的很清楚.我們接著來分析上面的等式.(m+b)(n+a)是多項式與多項式相乘，這正是我們要學習的整式乘法中的最后一個問題.而同學們能借用前面知識將問題轉化成單項式與多項式的乘法，說明同學們已能恰當?shù)乩棉D

24、化的思想，解決當前問題.實際上，多項式與多項式相乘，可以把其中的一個多項式看成一個整體，再運用單項式與多項式相乘的方法進行運算.我們前面拼圖，然后對同一面積用不同的形式表達所得出的等式可以作為多項式與多項式相乘的幾何解釋.結合上面的代數(shù)解釋和幾何解釋，你能總結出多項式與多項式相乘的運算法則嗎？生多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.師下面我們就來看幾個多項式與多項式相乘的整式乘法運算.出示投影片例1計算：(1)(1x)(0.6x);(2)(2x+y)(xy);(3)(xy)2;(4)(2x+3)2;(5)(x+2)(y+3)(x+1)(y2).分析

25、：在做的過程中，要明白每一步算理.因此，不要求直接利用法則進行運算，而要利用乘法分配律將多項式與多項式相乘轉化為單項式與多項式相乘.解：(1)(1x)(0.6x)=(0.6x)x(0.6x)=0.6x0.6x+x2=0.61.6x+x2或(1x)(0.6x)=10.61x0.6x+xx=0.6x0.6x+x2=0.61.6x+x2(2)(2x+y)(xy)=2x(xy)+y(xy)=2x22xy+xyy2=2x2xyy2或(2x+y)(xy)=2xx2xy+xyy2=2x2xyy2(3)(xy)2=(xy)(xy)=x(xy)y(xy)=x2xyxy+y2=x22xy+y2或(xy)2=(xy

26、)(xy)=xxxyxy+yy=x22xy+y2(4)(2x+3)2=(2x+3)(2x+3)=2x(2x+3)+3(2x+3)=4x26x6x+9=4x212x+9或(2x+3)2=(2x+3)(2x+3)=(2x)(2x)+3(2x)+3(2x)+9=4x212x+9(5)(x+2)(y+3)(x+1)(y2)=(xy+3x+2y+6)(xy2x+y2)=xy+3x+2y+6xy+2xy+2=5x+y+8評注：(3)(4)題利用乘方運算的意義化成多項式與多項式的乘法運算.(5)整式的混合運算，一定要注意運算順序.練一練出示投影片1.計算：(1)(m+2n)(m2n);(2)(2n+5)(n

27、3);(3)(x+2y)2;(4)(ax+b)(cx+d).2.試一試，計算：(a+b+c)(c+d+e)解：1.(1)(m+2n)(m2n)=mmm2n+2nm2n2n=m22mn+2mn4n2=m24n2(2)(2n+5)(n3)=2nn32n+5n53=2n26n+5n15=2n2n15(3)(x+2y)2=(x+2y)(x+2y)=x2+2xy+2xy+4y2=x2+4xy+4y2(4)(ax+b)(cx+d)=axcx+axd+bcx+bd=acx2+adx+bcx+bd2.(a+b+c)(c+d+e)=a(c+d+e)+b(c+d+e)+c(c+d+e)=ac+ad+ae+bc+bd+be+c2+cd+ce.課時小結這節(jié)課我們通過拼圖游戲，可以直觀地認識多項式與多項式的乘法，然后又從代數(shù)運算的角度將多