復數(shù)四則運算

1、復數(shù)的概念,i-虛單位 滿足：i2=-1,虛部,實部,兩復數(shù)相等當且僅當它們的實部和虛部分別相等.,復數(shù) z 等于0當且僅當它的實部和虛部同時等于0.,說明 兩個數(shù)如果都是實數(shù),可以比較它們的大小, 如果不全是實數(shù), 就不能比較大小, 也就是說,.,設：z1=x1+iy1 z2=x2+iy2,復數(shù)不能比較大小!,2、復平面,復數(shù)的向量表示法,復數(shù) 與 平面向量（a,b） 或 點 Z（a,b）一一對應,復數(shù)的幾何意義,每一個復數(shù)，有復平面內(nèi)唯一的一個點和它對應 復平面內(nèi)的每一個點，有唯一的復數(shù)和它對應,復數(shù)的加法與減法,設Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、dR)是任意兩個復數(shù)，那么它

2、們的和：,（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,點評(1)復數(shù)的加法運算法則是一種規(guī)定。當b=0，d=0時與實數(shù)加法法則保持一致,(2)很明顯，兩個復數(shù)的和仍 然是一個復數(shù)。對于復數(shù)的加法可以推廣到多個復數(shù)相加的情形。,1、復數(shù)的加法法則：,練習：計算 (1)(i)+(-3+7i)= (2)-4+(-2+6i)+(-1-0.9i)= (3)已知Z1=a+bi,Z2=c+di，若Z1+Z2是純虛數(shù)，則有（） A.a-c=0且b-d0 B. a-c=0且b+d0 C. a+c=0且b-d0 D.a+c=0且b+d0,證：設Z1=a1+b1i，Z2=a2+b2i，Z3=a3+b3i

3、(a1，a2，a3，b1，b2，b3R),則Z1+Z2=（a1+a2)+(b1+b2)i，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i,顯然 Z1+Z2=Z2+Z1,同理可得 (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3),點評：實數(shù)加法運算的交換律、結(jié)合律在復數(shù)集C中依然成立。,運算律,探究?,復數(shù)的加法滿足交換律，結(jié)合律嗎？,y,設 及 分別與復數(shù) 及復數(shù) 對應，則,探究？復數(shù)與復平面內(nèi)的向量有一一的對應關系。我們討論過向量加法的幾何意義，你能由此出發(fā)討論復數(shù)加法的幾何意義嗎？,復數(shù)的加法可按照向量的加法來進行，這就是復數(shù)加法的幾何意義,思考？,復數(shù)是否有減法？,兩個復數(shù)相減就是把實部與實部、

4、虛部與虛部分別相減。,設Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、dR)是任 意兩個復數(shù)，那么它們的差：,學 以 致 用,講解例題,例1 計算,解：,類比復數(shù)加法的幾何意義，請指出復數(shù)減法的幾何意義？,設 及 分別與復數(shù) 及復數(shù) 對應，則 ,復數(shù)減法的幾何意義：,結(jié)論:,兩個復數(shù)的加減法運算與相應的向量的加減法運算一致.,例： 設z1= x+2i,z2= 3-yi(x,yR),且z1+z2 = 5 - 6i, 求z1-z2,解：z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i,(3+x)+(2-y)i=5-6i,z1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i,三、

5、課堂練習,1、計算：（1）( 3 4i)+(2+i) (1 5i)=_ （2） ( 3 2i) (2+i) (_)=1+6i,2、已知xR，y為純虛數(shù)，且（2x 1)+i=y (3 y)i 則x=_ y=_,2+2i,9i,4i,分析：依題意設y=ai（aR），則原式變?yōu)椋?（2x 1)+i=(a 3)i +ai2= a+( a 3)i,3、復平面內(nèi)關于原點對稱的兩點對應的復數(shù)為Z1，Z2，且滿足Z1+i=Z2 2，求Z1和Z2。,分析：依題意設Z1=x+yi（x，yR）則Z2= x yi，由Z1+i=Z2 2得：x+(y+1)i= (x 2)+(y)i，由復數(shù)相等可求得x= 1，y= 1/2

6、,復數(shù)的乘法法則：,(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(bc+ad)i,顯然任意兩個復數(shù)的積仍是一個復數(shù).,對于任意z1,z2,z3 C,有,z1z2= z2z1 , z1z2 z3= z1(z2 z3) , z1(z2 +z3)= z1z2 +z1z3 .,例 1 計算 (1-2i)(3+4i)(-2+i),解：(1-2i)(3+4i)(-2+i),對于任意復數(shù)z=a+bi ,有,（a+bi)(a-bi)=a2+b2,=（11-2i)(-2+i),=-20+15i .,例 2 計算,解,二、復數(shù)除法的法則,復數(shù)的除法是乘法的逆運算，滿足,(c+di)

7、(x+yi)=(a+bi) (c+di0)的復數(shù) x+yi , 叫做復數(shù)a+bi除以復數(shù)c+di的商，,例3 計算:,（1） （1+2i)(3-4i),(2) (3+2i) (2-3i),=i,共軛復數(shù):,一般地,當兩個復數(shù)的實部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù).虛部不為0的共軛復數(shù)也叫共軛虛數(shù).,思考:,若 是共軛復數(shù),那么 在復平面內(nèi),它們所對應的點有怎樣的位置關系? 是一個怎樣的數(shù)?,關于共軛復數(shù)的運算性質(zhì),z1 ， z2 C , 則,在乘除法運算中關于復數(shù)模的性質(zhì),已知 z1 ， z2 C , 求證：,| z1 z2 |=| z1 | | z2 | ，,設z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,d ) ，則,| z1z2 |=|(ac-bd)+(bc+ad)i|,= | z1 | | z2 |,證明：,i的乘方規(guī)律,從而對任意