《函數(shù)與方程》PPT課件.ppt

1、3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點 （1）,討論：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根與二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a0)的圖象有什么關(guān)系？,先觀察幾個具體的一元二次方程及其相應(yīng)的二次函數(shù)，,方程x2-2x-3=0與函數(shù)y=x2-2x-3； 方程x2-2x+1=0與函數(shù)y=x2-2x+1； 方程x2-2x+3=0與函數(shù)y=x2-2x+3；,再請同學(xué)們解方程，并分別畫出三個函數(shù)的草圖.,方程x2-2x-3=0與函數(shù)y=x2-2x-3,圖3.1-1(1),可以看出，方程x2-2x-3=0有兩個實根x1=-1,x2=3； 函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸有兩個交點 (-1,0),(3,0

2、).,這樣，方程x2-2x-3=0的兩個實數(shù)根就是函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo).,方程x2-2x+1=0與函數(shù)y=x2-2x+1,圖3.1-1(2),可以看出，方程x2-2x+1=0有兩個相等的實數(shù)根 x1=x2=1； 函數(shù)y=x2-2x+1的圖象與x軸有唯一的交點(1,0).,這樣，方程x2-2x+1=0的實數(shù)根就是函數(shù) y=x2-2x+1的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo).,方程x2-2x+3=0與函數(shù)y=x2-2x+3,圖3.1-1(3),方程x2-2x+3=0無實數(shù)根，函數(shù)y=x2-2x+3的圖象與x軸沒有交點.,上述關(guān)系對一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)及其相應(yīng)

3、的二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a0)也成立.,設(shè)判別式=b2-4ac，我們有： （1）當(dāng)0時，一元二次方程有兩個不等的實數(shù)根x1，x2，相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(x1,0),(x2,0)；,（2）當(dāng)=0時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根x1=x2，相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸有唯一的交點(x1,0)；,（3）當(dāng)0時，一元二次方程沒有實數(shù)根，相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點.,換言之： （1）一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有兩不同根就是相應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a0)的圖象與x軸有兩個不同交點，且其橫坐標(biāo)就是根； （2）一元二次方程ax2+bx+c=0(a0

4、)有兩個重根就是相應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a0)的圖象與x軸一個交點，且其橫坐標(biāo)就是根；,（3）一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)無實數(shù)根就是相應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a0)的圖象與x軸沒有交點； 總之，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根就是相應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a0)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo).,一、函數(shù)的零點 對于函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點（zero point）. 顯然，函數(shù)y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數(shù)根，也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo). 方程f(x)=

5、0有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)y=f(x)有零點.,課堂例題,例1 利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根：,解：（1）方程-x2+3x+5=0與函數(shù)y=-x2+3x+5,圖例1(1),由圖知，相應(yīng)的二次函數(shù)y=-x2+3x+5的圖象與x軸有兩個交點，所以一元二次方程-x2+3x+5=0有兩個不等的實數(shù)根.,解：（2）方程2x(x-2)=-3與函數(shù)y=2x(x-2)+3,圖例1(2),由圖知，相應(yīng)的二次函數(shù)y=2x(x-2)+3的圖象與x軸沒有交點，所以一元二次方程2x(x-2)=-3沒有實數(shù)根.,課堂練習(xí),利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根：,課后作業(yè),利用函數(shù)

6、圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根：,3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點 （2）,復(fù)習(xí)導(dǎo)入,問：方程的根與函數(shù)的零點之間具有怎樣的關(guān)系？,答：方程f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)y=f(x)有零點.,問：如何用方程的根與函數(shù)的零點之間關(guān)系判斷方程在某區(qū)間是否有根？,參與討論并閱讀課本第91頁中外歷史上的方程 求解,探究 觀察二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3的圖象，我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)=x2-2x-3在區(qū)間-2,1上有零點.計算f(-2)與f(1)的乘積，你能發(fā)現(xiàn)這個乘積有什么特點？在區(qū)間2,4上是否也具有這種特點呢？,圖3.1-2,新課,經(jīng)過討論，可以發(fā)現(xiàn)：f(-2)f

7、(1)0， 函數(shù)f(x)=x2-2x-3在區(qū)間(-2,1)內(nèi)有零點x=-1， 它是方程x2-2x-3=0的一個根. 同樣地，f(2)f(4)0， 函數(shù)f(x)=x2-2x-3在區(qū)間(2,4)內(nèi)有零點x=3， 它是方程x2-2x-3=0的另一個根.,課堂練習(xí),畫出二次函數(shù)f(x)=-x2-x+2的圖象，觀察函數(shù)f(x)=-x2-x+2在區(qū)間-5,0上是否有零點.計算f(-5)與f(0)的乘積，你能發(fā)現(xiàn)這個乘積有什么特點？在區(qū)間0,4上是否也具有這種特點呢？,圖3.1-3,經(jīng)過討論，可以發(fā)現(xiàn)：f(-5)f(0)0， 函數(shù)f(x)=-x2-x+2在區(qū)間(-5,0)內(nèi)有零點x=-2， 它是方程-x2-

8、x+2=0的一個根. 同樣地，f(0)f(4)0， 函數(shù)f(x)=-x2-x+2在區(qū)間(0,4)內(nèi)有零點x=1， 它是方程-x2-x+2=0的另一個根.,一般地，我們有： 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根.,課堂例題,例1. 求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點的個數(shù).,解：作出x、f(x)的對應(yīng)值表：,再作出y=f(x)的圖象：,圖3.1-4,由以上表格和圖象可知，f(2)0，即 f(2)f(3)0, 說明這個函數(shù)在區(qū)

9、間(2,3)內(nèi)有零點.由于f(x)在定義域(0,+)內(nèi)是增函數(shù)， 所以，它僅有一個零點.,課堂練習(xí),1. 利用信息技術(shù)作出函數(shù)的圖象，并指出下列函數(shù)零點 所在的大致區(qū)間： （1）f(x)=-x3-3x+5；（2）f(x)=2xln(x-2)-3； （3）f(x)=ex-1+4x-4; （4）f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x.,圖3.1-5（1）,解：由圖象可知， f(1)0， f(2)0，即 f(1)f(2)0, 說明這個函數(shù)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點. 由于f(x)在定義域R內(nèi)是減函數(shù)， 所以，它僅有一個零點.,圖3.1-5（2）,由以上表格和圖象可知，f(3)0，即 f(3)f

10、(4)0. 說明這個函數(shù)在區(qū)間(3,4)內(nèi)有零點. 由于f(x)在定義域(2,+)內(nèi)是增函數(shù)， 所以，它僅有一個零點.,2已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1，問該函數(shù)在區(qū)間(-2,-1)內(nèi)是否有零點？,解：因為f(-2)=-10， 所以f(-2)f(-1)0， 又函數(shù)f(x)=x3-3x+1是連續(xù)的曲線， 所以f(x)在區(qū)間(-2,-1)內(nèi)有零點.,課堂小結(jié),如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點，即相應(yīng)的方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個實數(shù)解.,課后作業(yè),課本第92頁習(xí)題3

11、.1A組第1、2題； 課本第112頁復(fù)習(xí)參考題A組第1題.,3.1.2 用二分法求方程的近似解,課堂例題,例1. 求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點的個數(shù).,討論：對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)可以用公式求根，但沒有公式可用來求方程lnx+2x-6=0的根.聯(lián)系函數(shù)的零點與相應(yīng)方程根的關(guān)系，能否利用函數(shù)的有關(guān)知識來求它的根呢？,新課導(dǎo)入,函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點，問題是：如何找出這個零點呢？ 如果能夠把零點所在的區(qū)間范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，我們可以得到零點的近似值.下面介紹一種求近似解的方法.,我們知道，函數(shù)f(x)的圖象與直角坐

12、標(biāo)系中x軸交點的橫坐標(biāo)就是方程f(x)=0的解，利用上節(jié)課學(xué)過的函數(shù)零點存在的條件，我們用逐步逼近的方法，來求方程的近似解. 1在區(qū)間（2，3）內(nèi)，方程有解，取區(qū)間（2，3）中點2.5； 2用計算器計算f(2.5)-0.084，因為f(2.5)f(3)0，所以零點在區(qū)間(2.5,3)內(nèi)；,3再取區(qū)間(2.5,3)中點2.75，用計算器計算f(2.75)0.512，因為f(2.5)f(2.75)0，所以零點在區(qū)間(2.5,2.75)內(nèi). 4重復(fù)上面的過程，在有限次重復(fù)相同步驟后，零點所在區(qū)間長度在一定精度控制范圍內(nèi)，零點所在區(qū)間內(nèi)的任意一點都可以作為函數(shù)零點的近似值，特別地，可以將區(qū)間端點作為零

13、點的近似值.,本例中，把取中點和判斷零點的過程，用表格列出,表3-2,當(dāng)精確度為0.01時， 由于|2.5390625-2.53125|=0.00781250.01， 所以，我們可將x=2.53125作為函數(shù)f(x)=lnx+2x-6零點的近似值， 也即方程lnx+2x-6=0根的近似值.,二分法 ： 對于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法（bisection）.,二分法的計算步驟 給定精確度，用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟如下： 1.確定區(qū)間a

14、,b，驗證f(a)f(b)0，給定精確度； 2.求區(qū)間(a,b)的中點c； 3.計算f(c)；,二分法的計算步驟 4.判斷：(1)若f(c)=0，則c就是函數(shù)的零點； (2)若f(a)f(c)0，則令b=c（此時零點x0(a,c)）； (3)若f(c)f(b)0，則令a=c（此時零點x0(c,b)）. 5.判斷：區(qū)間長度是否達(dá)到精確度？ 即若|a-b|，則得到零點近似值； 否則重復(fù)25.,說明：由函數(shù)的零點與相應(yīng)方程根的關(guān)系，我們可用二分法來求方程的近似解.由于都是重復(fù)性的工作，所以可以通過設(shè)計一定的計算程序，借助計算器或計算機(jī)完成計算. 閱讀課本第93頁借助信息技術(shù)求方程的近似解.,課堂例題

15、,例1. 借助計算器或計算機(jī)用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精確度0.1）,解：原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，用計算器或計算機(jī)先作出函數(shù)f(x)=2x+3x-7的對應(yīng)值表,表3-3,再作出函數(shù)f(x)=2x+3x-7的圖象,圖3.1-5,根據(jù)所列的對應(yīng)值表和圖象可知，f(1)f(2)0，說明這個函數(shù)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點x0. 取區(qū)間(1,2)的中點x1=1.5，用計算器可算得f(1.5)0.33.因為f(1)f(1.5)0，所以x0(1,1.5). 再取(1,1.5)的中點x2=1.25，用計算器可算得f(1.25)-0.87.因為f(1.25)f(1.5)

16、0，所以x0(1.25,1.5).,同理可得，x0(1.375,1.5)，x0(1.375,1.4375). 由于|1.375-1.4375|=0.06250.1， 此時，區(qū)間(1.375,1.4375)的兩個端點精確到0.1的近似值都是1.4. 所以，原方程精確到0.1的近似解為1.4.,例2. 求方程2x3+3x-3=0的一個近似解（誤差不超過0.1).,解：原方程即2x3+3x-3=0，令f(x)=2x3+3x-3，用計算器或計算機(jī)先作出函數(shù)f(x)=2x3+3x-3的對應(yīng)值表,表3-3,再作出函數(shù)f(x)=2x3+3x-3的圖象,圖3.1-6,根據(jù)所列的對應(yīng)值表和圖象可知，f(0)f(

17、1)0，說明這個函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點x0. 取區(qū)間(0,1)的中點x1=0.5，用計算器可算得f(0.5)=-1.25.因為f(0.5)f(1)0，所以x0(0.5,1). 再取(0.5,1)的中點x2=0.75，用計算器可算得f(0.75)0.09.因為f(0.5)f(0.75)0，所以x0(0.5,0.75).,同理可得，x0(0.625,0.75)，x0(0.6875,0.75)， x0(0.71875,0.75)，x0(0.734375,0.75) ， x0(0.734375,0.7421875) . 由于|0.734375-0.7421875|=0.00781250.1， 此時，區(qū)間(0.734375,0.7421875)的兩個端點精確到0.1的近似值都是0.7. 所以，原方程精確到0.1的近似解為0.7.,課堂練習(xí),1. 借助計算器或計算機(jī)，用二分法求函數(shù)f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(精確度0.1).,2. 借助計算器或計算機(jī)，用二分法求函數(shù)x=3-lgx在區(qū)間(2,3)內(nèi)的近似解(