數(shù)學(xué)思想方法與高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí).ppt

1、數(shù)學(xué)思想方法與高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí),郭志龍,福建仙游蓋尾中學(xué),一.高考對數(shù)學(xué)思想方法的要求：,1. 考試說明的要求:,一.高考對數(shù)學(xué)思想方法的要求：,1. 考試說明的要求:,“數(shù)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，注重對數(shù)學(xué)思想和方法的考查，注重對數(shù)學(xué)能力的考查”（考試說明（理科，2005年）第65頁）,一.高考對數(shù)學(xué)思想方法的要求：,1. 考試說明的要求:,“數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次的抽象和概括，它蘊涵在數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，因此，對于數(shù)學(xué)思想和方法的考查要與數(shù)學(xué)知識的考查結(jié)合進行，通過數(shù)學(xué)知識的考查，反映考生對數(shù)學(xué)思想和方法理解和掌握的程度考查時，要從學(xué)科整體意識和思想含義

2、上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測考生對中學(xué)數(shù)學(xué)知識中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度”（考試說明（理科，2005年）第64頁）,一.高考對數(shù)學(xué)思想方法的要求：,2.高考評價報告要求:,數(shù)學(xué)在培養(yǎng)和提高人的思維能力方面有著其他學(xué)科所不可替代的獨特作用，這是因為數(shù)學(xué)不僅僅是一種重要的“工具”或者“方法”，更重要的是一種思維模式，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)思想。高考數(shù)學(xué)科提出“以能力立意命題”，正是為了更好地考查數(shù)學(xué)思想，促進考生數(shù)學(xué)理性思維的發(fā)展。因此，要加強如何更好地考查數(shù)學(xué)思想的研究，特別是要研究試題解題過程的思維方法，注意考查不同思維方法的試題的協(xié)調(diào)和匹配，使考生的數(shù)學(xué)理性思維能力得到較全面的

3、考查。”(2005年普通高考數(shù)學(xué)科試題評價報告（教育部考試中心）),一.高考對數(shù)學(xué)思想方法的要求：,3.考試中心對教學(xué)與復(fù)習(xí)的建議:,在考試中心對數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的建議中指出：“數(shù)學(xué)思想方法較之?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識有更高的層次具有觀念性的地位，如果說數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可用文字和符號來記錄和描述，那么數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)意識，只能領(lǐng)會、運用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、處理和解決，中學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法有數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)和方程思想，分類討論思想，化歸和轉(zhuǎn)化思想”,“數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識的同時獲得，與此同時又應(yīng)該領(lǐng)會它們在形成知識中的作用，到了復(fù)習(xí)階段應(yīng)該對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)

4、學(xué)基本方法進行疏理、總結(jié)，逐個認(rèn)識它們的本質(zhì)特征、思維程序或者操作程序，逐步做到自覺地、靈活地施用于所要解決的問題 近幾年來，高考的每一道數(shù)學(xué)試題幾乎都考慮到數(shù)學(xué)思想方法或數(shù)學(xué)基本方法的運用，目的也是加強這些方面的考查.同樣,這些高考試題也成為檢驗數(shù)學(xué)知識,同時又是檢驗數(shù)學(xué)思想方法的良好素材,復(fù)習(xí)時可以有意識地加以運用.”,2005年對數(shù)學(xué)思想的考查,二. 數(shù)學(xué)思想方法的三個層次:,三.用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)解題,三.用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)解題,1.函數(shù)和方程思想-用變量和函數(shù)來思考,著名數(shù)學(xué)家克萊因說“一般受教育者在數(shù)學(xué)課上應(yīng)該學(xué)會的重要事情是用變量和函數(shù)來思考”,三.用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)解題,1.函數(shù)和方程思想

5、-用變量和函數(shù)來思考,用函數(shù)思想指導(dǎo)解題包括下面幾個內(nèi)容: A 視代數(shù)式為函數(shù)，用函數(shù)的性質(zhì)解題 B 用極值原理解題 C 構(gòu)造函數(shù)解題 D 解函數(shù)問題的幾個誤區(qū),A 視代數(shù)式為函數(shù)，用函數(shù)的性質(zhì)解題,A 視代數(shù)式為函數(shù)，用函數(shù)的性質(zhì)解題,例1 甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/小時，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米/小時）的平方成正比，且比例系數(shù)為b，固定部分為a元 （1）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米/小時）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域 （2）為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大的速度行 駛？

6、 (1997年,全國高考),A 視代數(shù)式為函數(shù)，用函數(shù)的性質(zhì)解題,例2 已知曲線 與 有公共點，求實數(shù) a 的取值范圍,B 用極值原理解題,例3 設(shè)a0為常數(shù)，且 （）證明對任意 ， ； （）假設(shè)對任意 ，有 anan-1 ，求a0的取值范圍。 （2003年,新課程卷）,B 用極值原理解題,例4 設(shè) ， 其中a為實數(shù)，n是給定的自然數(shù)，且 ，如果f(x)在 (-,1上有意義，求a的取值范圍 (1990年, 全國高考),B 用極值原理解題,例5 定義在-1,1上的奇函數(shù) f(x) 滿足 f( 1 ) =1，且當(dāng) a,b-1,1，a+b0時，有 0 (I) 證明當(dāng) 時， f(x) 3x ； (II

7、) 若 f(x)m2+2am+1對所有x-1,1，a-1,1 上 恒成立，求m的取值范圍,B 用極值原理解題,例6 對于在區(qū)間m,n上有意義的兩個函數(shù)f(x)和g(x) ， 如果對任意的xm,n , 均有| f(x)- g(x)|1 , 則稱 f(x)與g(x)在m,n上是接近的，否則稱f(x)與g(x) 在m,n上是非接近的 現(xiàn)有兩個函數(shù)f1(x)= loga(x-3a)與 ， 給定區(qū)間a+2,a+3 （I）若f1 (x)與f2 (x)在給定區(qū)間a+2,a+3都有意義，求 實數(shù)a 的取值范圍； (II) 討論 f1 (x)與 f2 (x)在給定區(qū)間a+2,a+3上是否是 接近的,C 構(gòu)造函數(shù)

8、解題,例7 設(shè)二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c(a0) 方程 f(x)-x=0的 兩個根x1 , x2滿足0 x1x2 (I) 當(dāng)x(0, x1)時，證明x f(x)x1 ； (II) 設(shè)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=x0對稱， 證明x0 (1997年, 全國高考),C 構(gòu)造函數(shù)解題,例8 函數(shù)y= logax (a0，a0)具有性質(zhì)， 請舉出一個符合條件的函數(shù)g(x)滿足 ，其定 義域D滿足,C 構(gòu)造函數(shù)解題,例9 已知 i , m , n 是正整數(shù)，且1imn (I) 證明 niAim miAin； (II) 證明 (1+m)n(1+n)m （2001年,全國高考）,C 構(gòu)造函數(shù)解題,

9、例10 若a,b R，且a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，求a+b,D解函數(shù)問題的幾個誤區(qū),）定義域和值域 例11 已知函數(shù) （1）定義域是R ，求a的取值范圍. （2）值域是R ，求a的取值范圍.,D解函數(shù)問題的幾個誤區(qū),）定義域和有意義 例12 已知函數(shù) . (1) 若此函數(shù)在(-,1上有意義，求a的取值范圍. (2) 若此函數(shù)的定義域為(-,1 ，求a的取值范圍.,D解函數(shù)問題的幾個誤區(qū),）值域和取值范圍 例13 已知函數(shù)f(x)=3x2-(2m+6)x+m+3. (1)若f(x)0恒成立，求m的取值范圍. (2) 若f(x)的值域為 ，求m的取值范圍.,D解函數(shù)問題的幾個

10、誤區(qū),）自身對稱和互相對稱 例14 設(shè) f (x)定義在實數(shù)集R上. （）若f (1+x)= f (1-x) ，求f (x)圖象的對稱軸. （）若y=f(1+x)與y=f(1-x)的圖像關(guān)于直線l 對稱， 求直線l 的方程.,D解函數(shù)問題的幾個誤區(qū),V)恒成立,能成立,恰成立 例15 求實數(shù)a的范圍: (1) x2-ax-a0恒成立. (2) 存在x,使-x2+ax+a0成立. (3) 設(shè)a1,不等式 的 解集為(1,+). ,2 數(shù)形結(jié)合思想-圖形幫助解題,數(shù)與形是事物的兩個方面，正是基于對數(shù)與形的抽象研究才產(chǎn)生了數(shù)學(xué)這門學(xué)科，才能使人們能夠從不同側(cè)面認(rèn)識事物，數(shù)形結(jié)合思想就是要使抽象的數(shù)學(xué)

11、語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，華羅庚先生說過:“數(shù)與形本是兩依倚,焉能分作兩邊飛. 數(shù)缺形時少直觀, 形少數(shù)時難入微.”.數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的解題思想，用這種思想指導(dǎo)，一些幾何問題可以用代數(shù)方法來處理，例如解析幾何，一些代數(shù)問題又可以用幾何圖形幫助解決，下面主要講如何用圖形幫助解題，這也是高考命題中主要考查的一個內(nèi)容,2 數(shù)形結(jié)合思想-圖形幫助解題,A 利用圖形求解的個數(shù) 例1 圓x2+2x+y2+4y-3=0到直線x+y+1=0的距離等于 的點共有（） （）個 （）個 （）個（）個 （1991年，全國高考）,用圖形分析法求解的個數(shù)，實際上是轉(zhuǎn)化為求圖象交點的個數(shù)

12、,2 數(shù)形結(jié)合思想-圖形幫助解題,求最值問題實際上是探討圖形的極端位置,B 利用圖形求最值 例2 如果實數(shù)x,y滿足等式(x-2)2+y2=3，那么 的最大值 是（） （） （）（）（） （1990年，全國高考 ),2 數(shù)形結(jié)合思想-圖形幫助解題,C 利用圖形求參數(shù)的范圍,例3 橢圓 的焦點為F1 ,F2 ,點P為其上的動點, 當(dāng)F1PF2為鈍角時, 點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是_ (2002年，新課程卷) .,2 數(shù)形結(jié)合思想-圖形幫助解題,C 利用圖形求參數(shù)的范圍,例4 已知兩條直線l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a為實數(shù),當(dāng)這兩條 直線的夾角在 內(nèi)變動時,a的變化范圍是( ). (0,

13、1) (B)( (C )( (D) (2000年，新課程卷),2 數(shù)形結(jié)合思想-圖形幫助解題,C 利用圖形求參數(shù)的范圍,求參數(shù)的范圍實質(zhì)上是弄清參數(shù)的幾何意義，然后討論參數(shù)所代表的幾何意義的變化狀態(tài),例5 設(shè)函數(shù)f (x ) = 若f (x0 )1，則x0 的取值范圍是（ ）。 (A) (-1,1) (B) (-1,+) (C) (-,-2)(1,+) (D) (-,-1)(1,+) (2003年，新課程卷),2 數(shù)形結(jié)合思想-圖形幫助解題,D 利用圖形解不等式,例6 設(shè)函數(shù) ,其中a0, 解不等式f(x)1； 求a的取值范圍，使f(x)在(0,+)上單調(diào) （2000年，全國高考）,2 數(shù)形結(jié)

14、合思想-圖形幫助解題,D 利用圖形解不等式,用圖形解不等式實際上是研究圖象中符合條件的變量的變化范圍,例7 已知 i , m , n 是正整數(shù)，且1imn (II) 證明 (1+m)n(1+n)m （2001年,全國高考）,2 數(shù)形結(jié)合思想-圖形幫助解題,E 利用圖形求值,例8 求 的值 （1992年，全國高考）,2 數(shù)形結(jié)合思想-圖形幫助解題,E 利用圖形求值,用圖形分析法求值實際上是構(gòu)造幾何圖形解題 ,例9過原點的直線與圓x2+y2+4x+3=0相切,若切點在第三象限,則該直線的方程是( ). (A) (B) (C) (D) (2000年, 新課程卷),3分類討論思想-分情況解決問題,例1 設(shè)a為常數(shù),函數(shù)f(x) =x2+|x-a|+1, x R. (I) 討論f(x)的奇偶性; (II)求f(x)的最小值. (2002年，全國高考),3分類討論思想-分情況解決問題,例2 設(shè)a0,求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。 (2003年,新課程卷，理工),3分類討論思想-分情況解決問題,例3 某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分 （如圖），現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相 鄰部分不能栽種同樣的顏色的花，不同的栽種方法有_ 種（以數(shù)字作答） （2003年,新課程卷）,3分類討論思想-分情況解決問題,4 化歸思想-化生題為熟題,4