2012屆高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 2-5函數(shù)的奇偶性與周期性經(jīng)典實(shí)用學(xué)案（PPT） 新人教版

1、基礎(chǔ)知識(shí) 一、函數(shù)的奇偶性 1一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果對(duì)于定義域內(nèi)每一個(gè)x，都有f(x) ，那么函數(shù)f(x)就叫奇函數(shù)；都有f(x) ，函數(shù)f(x)叫偶函數(shù)，奇偶函數(shù)的定義域是 (大前提),f(x),f(x),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的,2函數(shù)可分為(按奇偶性)： 、 、 、 任何一個(gè)定義域?qū)ΨQ(chēng)的非奇非偶函數(shù)都可寫(xiě)成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和，即f(x),奇函數(shù),偶函數(shù),既奇,且偶函數(shù),非奇非偶函數(shù),3基本性質(zhì)：在公共定義域上，兩函數(shù)有：奇奇 ，偶偶 ，奇奇 ，偶偶 ，奇奇 ，偶偶 (分母不為零) 奇函數(shù)的反函數(shù)是 ，若奇函數(shù)的定義域包含0時(shí)，則 . 4圖象特征：奇函數(shù)圖象關(guān)于 對(duì)稱(chēng)；偶函數(shù)圖象關(guān)于

2、 對(duì)稱(chēng)；反之亦然,奇,偶,偶,偶,偶,偶,奇函數(shù),f(0)0,原點(diǎn),y軸,5判定方法：首先看函數(shù)的 ，若對(duì)稱(chēng)，再看： f(x)是奇函數(shù)f(x) f(x)f(x) 圖象 對(duì)稱(chēng)； f(x)是偶函數(shù)f(x) f(x)f(x) f(x)f(|x|) 圖象關(guān)于 對(duì)稱(chēng),定義域是否關(guān)于原點(diǎn),對(duì)稱(chēng),f(x),0,1(f(x)0),關(guān)于原點(diǎn),f(x),0,1(f(x)0),f(x),y軸,6推廣：yf(ax)是偶函數(shù)f(ax) f(x) f(x)關(guān)于 對(duì)稱(chēng)；類(lèi)似地，f(ax)f(bx)f(x)關(guān)于x 對(duì)稱(chēng) yf(bx)是奇函數(shù)f(bx) f(x)關(guān)于 成中心對(duì)稱(chēng)圖形；類(lèi)似地，f(ax)f(bx)f(x)關(guān)于(

3、，0)中心對(duì)稱(chēng),f(ax),f(2ax),xa,f(bx),(b,0),7一些重要類(lèi)型的奇偶函數(shù)： 函數(shù)f(x)axax為 函數(shù)，函數(shù)f(x)axax為 函數(shù)； 函數(shù)f(x) (a0且a1)為 函數(shù)； 函數(shù)f(x)loga為 函數(shù)； 函數(shù)f(x)loga(x)為 函數(shù),奇,奇,奇,奇,偶,二、函數(shù)的周期性 1對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè) 常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的 值時(shí)，都有 ，那么函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫f(x)的 如果所有的周期中存在一個(gè) ，那么這個(gè) 就叫f(x)的最小正周期 2周期函數(shù) 有最小正周期，若T0是f(x)的周期，則kT(kZ，k0)也一定是f(x)的周期，周

4、期函數(shù)的定義域無(wú) 界,非零,每一個(gè),f(xT)f(x),周期,最小的正數(shù),最小正數(shù),不一定,上、下,3設(shè)a為非零常數(shù)，若對(duì)f(x)定義域內(nèi)的任意x，恒有下列條件之一成立：f(xa)f(x)；f(xa) ；f(xa) ；f(xa) ；f(xa) ；f(xa)f(xa)，則f(x)是 函數(shù)， 是它的一個(gè)周期(上述式子分母不為零),周期,2a,若f(x)同時(shí)關(guān)于xa與xb對(duì)稱(chēng)(ab)，則f(x)是周期函數(shù)， 是它的一個(gè)周期；若f(x)關(guān)于xa對(duì)稱(chēng)同時(shí)關(guān)于點(diǎn)(b,0)對(duì)稱(chēng)(b0)，則f(x)是一個(gè)周期函數(shù)，周期T ；若f(x)關(guān)于(a,0)對(duì)稱(chēng)同時(shí)關(guān)于(b,0)對(duì)稱(chēng)，則f(x)是一個(gè)周期函數(shù)，周期T

5、,2(ba),4(ba),2(ba),易錯(cuò)知識(shí) 一、分段函數(shù)的奇偶性判斷失誤 1函數(shù)f(x) 的奇偶性為_(kāi) 答案：偶函數(shù),二、判斷函數(shù)奇偶性時(shí)忽視了定義域 2函數(shù)f(x)x21，x(1,3的奇偶性為_(kāi) 答案：非奇非偶函數(shù) 3函數(shù)f(x) 的奇偶性為_(kāi) 答案：奇函數(shù),三、錯(cuò)誤認(rèn)為對(duì)于奇函數(shù)總有f(0)0. 4設(shè)f(x) 是奇函數(shù)，(a，b，c Z)且f(1)2，f(2)3，則a_，b_，c_. 答案：110,四、偶函數(shù)和周期函數(shù)的概念理解錯(cuò)誤 5已知函數(shù)yf(x)滿足條件f(x1)f(x1)，且當(dāng)x1,0時(shí)，f(x)3x ，則f(log 5)的值等于_ 答案：1,五、奇、偶函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用失誤 6

6、設(shè)f(x)、g(x)都是R上的奇函數(shù)，x|f(x)0 x|4x10，x|g(x)0 x|2x5，則集合x(chóng)|f(x)g(x)0的解集為_(kāi) 答案：(5，4)(4,5),解析：f(x)，g(x)都是奇函數(shù)，f(x)g(x)是偶函數(shù)，由對(duì)稱(chēng)性可知，只需求f(x)0，g(x)0的解集， 由條件可知：f(x)0的解集為(4,10)，g(x)0的解集為(2,5)， 的解集為(4,5)， 故f(x)g(x)的解集為(5，4)(4,5) 失分警示：此解錯(cuò)在忽視“f(x)，g(x)都是奇函數(shù)，因而f(x)g(x)是偶函數(shù)”的性質(zhì)運(yùn)用，導(dǎo)致結(jié)論出錯(cuò),回歸教材 1下列函數(shù)中奇函數(shù)有() f(x)x2，(xR)f(x)

7、3x5，x(0，) f(x)x3x，xRf(x)lgx3，x(0，) A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè) 解析：由函數(shù)奇偶性的定義可知f(x)x3x是奇函數(shù)，故選B. 答案：B,2若yf(x)，xR是奇函數(shù)，則下列各點(diǎn)一定在函數(shù)yf(x)的圖象上的是() A(a，f(a)B(a，f(a) C(a，f(a) D(a，f(a) 解析：yf(x)，xR是奇函數(shù)，f(x)f(x) f(a)f(a) 故選D. 答案：D,3(2008遼寧卷)若函數(shù)y(x1)(xa)為偶函數(shù)，則a() A2 B1 C1 D2 答案：C,4定義在R上的奇函數(shù)yf(x)，它的周期為T(mén)(T0)，則f( )_. 解析：f( )f( ) 又f

8、( )f(T )f( ) 故f( )0. 答案：0,5(2009重慶，12)若f(x) a是奇函數(shù)，則a_. 解析：f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)， 答案：,【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性,命題意圖本題主要考查對(duì)函數(shù)奇偶性定義的理解 解答(1)由 0，得定義域?yàn)?,1)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故f(x)為非奇非偶函數(shù),(3)當(dāng)x0，則 f(x)(x)2(x)x2xf(x) 當(dāng)x0時(shí)，x0則 f(x)(x)2(x)x2xf(x) 對(duì)任意x(，0)(0，) 都有f(x)f(x) 故f(x)為偶函數(shù) 另解：畫(huà)函數(shù)f(x) 的圖象圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故f(x)為偶函數(shù) f(x)還可寫(xiě)成f(x)x2|x|故為

9、偶函數(shù),(5)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽 當(dāng)a0時(shí)，f(x)f(x) f(x)是偶函數(shù) 當(dāng)a0時(shí)，f(a)a22，f(a)a22|a|2 f(a)f(a)，且f(a)f(a)2(a2|a|2) 2(|a|)20 f(x)為非奇非偶函數(shù),總結(jié)評(píng)述第一，求函數(shù)定義域，看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若不對(duì)稱(chēng)，則該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)第二，若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，函數(shù)表達(dá)式能化簡(jiǎn)的，則對(duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)，以便于判斷；第三，利用定義域進(jìn)行等價(jià)變形判斷第四，分段函數(shù)應(yīng)分段討論，要注意根據(jù)x的范圍取相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式或利用圖象判斷,判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)|x|(x21)；,解析：(1)此函數(shù)的定

10、義域?yàn)镽. f(x)|x|(x)21|x|(x21)f(x)， f(x)是偶函數(shù) (2)此函數(shù)的定義域?yàn)?0，)，由于定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) (3)函數(shù)ylg 的定義域?yàn)?1,1)，f(x)lg lg( )1lg f(x)，此函數(shù)為奇函數(shù).,【例2】(2009北京海淀區(qū)期中練習(xí))定義在R上的函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且f(x5)f(x)，若f(2)1，f(3)a，則() Aa3 Ca1 解析f(x5)f(x)，f(3)f(25)f(2)，又f(x)為奇函數(shù)，f(2)f(2)，又f(2)1，a1，選擇C. 答案C,設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且yf(x)的圖象關(guān)

11、于直線x 對(duì)稱(chēng)，則f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_. 解析：f(x)在R上為奇函數(shù)， f(x)f(x)，且有f(0)0. 又yf(x)的圖象關(guān)于x 對(duì)稱(chēng)， f( x)f( x)，,f(1x)f ( x) f ( x) f(x)f(x) f(2x)f(1x)f(2x)f(x) 函數(shù)的周期為2，且f(1)0. f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(1)f(0)f(1)f(0)f(1)0. 答案：0 總結(jié)評(píng)述：本題考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性等函數(shù)性質(zhì).,【例3】(2009朝陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng) (1)求f(0)的值； (2)證

12、明函數(shù)f(x)是周期函數(shù)； (3)若f(x)x(0x1)，求xR時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式，并畫(huà)出滿足條件的函數(shù)f(x)至少一個(gè)周期的圖象,解析(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，又f(x)的定義域?yàn)镽，令x0，則f(0)f(0)，所以f(0)0. (2)證明：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)f(x) 又f(x)關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng)，所以f(x)f(2x)， 即f(x2)f(x) 所以f(x4)f(x2)2f(x2) f(x)f(x) 所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù).,(3)解：設(shè)1x0，則0x1，所以f(x)x，又f(x)f(x)， 所以當(dāng)1x0時(shí)，f(x)x，即f(x

13、)x.又因?yàn)閒(0)0， 所以當(dāng)1x1時(shí)，f(x)x. 當(dāng)1x3時(shí)，3x1，則12x1， 所以f(2x)2x，而f(x)關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng)， 所以f(2x)f(x)，所以f(x)2x(1x3)，,則f(x) 則f(x) 總結(jié)提示(1)若奇函數(shù)f(x)在x0處有定義，則f(0)0.(2)若函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有f(ax)f(ax)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱(chēng)，反之也成立,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈x|x0，且滿足對(duì)于任意x1、x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2) (1)求f(1)的值； (2)判斷f(x)的奇偶性并證明； (3)如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3

14、，且f(x)在(0，)上是增函數(shù)，求x的取值范圍,解：(1)令x1x21，有f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0. (2)令x1x21，有f(1)(1)f(1)f(1)解得f(1)0. 令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)， f(x)f(x)f(x)為偶函數(shù),(3)f(44)f(4)f(4)2，f(164)f(16)f(4)3. 又f(3x1)f(2x6)3 即f(3x1)(2x6)f(64)(*) f(x)在(0，)上是增函數(shù)， (*)等價(jià)不等式組 或,即 或 3x5或,總結(jié)評(píng)述：這種利用函數(shù)滿足某一等式，判斷其奇偶性問(wèn)題，主要是利用取特殊值法，如本題中可令x11，x2x，使式子中出現(xiàn)f(x)與f(x)，然后再一步步地考慮還需求f(1)，f(1)，仍然用取特殊值法求解抽象函數(shù)不等式，主要是利用函數(shù)的單調(diào)性再結(jié)合函數(shù)其他性質(zhì)脫去符號(hào)“f”,1奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)，因此討論函數(shù)奇偶性首先要看其定