高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 空間的垂直關(guān)系學(xué)案 理 新人教A版

1、空間的垂直關(guān)系導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題自主梳理1直線與平面垂直(1)判定直線和平面垂直的方法定義法利用判定定理：一條直線和一個平面內(nèi)的兩條_直線都垂直，則該直線與此平面垂直推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也_這個平面(2)直線和平面垂直的性質(zhì)直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)_直線垂直于同一個平面的兩條直線_垂直于同一直線的兩個平面_2直線與平面所成的角平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的_所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的

2、角一直線垂直于平面，說它們所成角為_；直線l或l，則它們成_角3平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定方法定義法利用判定定理：一個平面過另一個平面的_，則這兩個平面垂直(2)平面與平面垂直的性質(zhì)兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于_的直線與另一個平面垂直4二面角的平面角以二面角棱上的任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)分別作與棱_的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角自我檢測1平面平面的一個充分條件是()A存在一條直線l，l，lB存在一個平面，C存在一個平面，D存在一條直線l，l，l2(2010浙江)設(shè)l，m是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是()A若lm，m，則lB若l，lm，則mC若

3、l，m，則lmD若l，m，則lm3(2011長沙模擬)對于不重合的兩個平面與，給定下列條件：存在平面，使得，都垂直于；存在平面，使得，都平行于；存在直線l，直線m，使得lm；存在異面直線l、m，使得l，l，m，m.其中，可以判定與平行的條件有()A1個 B2個C3個 D4個4(2011十堰月考)已知m，n是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是()A若m，n，則mnB若，則C若m，m，則D若m，n，則mn5(2011大綱全國)已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為_探究點(diǎn)一線面垂直

4、的判定與性質(zhì)例1RtABC所在平面外一點(diǎn)S，且SASBSC，D為斜邊AC的中點(diǎn)(1)求證：SD平面ABC；(2)若ABBC.求證：BD平面SAC.變式遷移1在四棱錐VABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD.證明：ABVD.探究點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì)例2(2011邯鄲月考)如圖所示，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面為正方形，O1、O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD內(nèi)的射影是O.求證：平面O1DC平面ABCD.變式遷移2(2011江蘇)如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點(diǎn)

5、求證：(1)直線EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.探究點(diǎn)三直線與平面，平面與平面所成的角例3(2009湖北)如圖，四棱錐SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD2a，ADa，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且DEa(02)(1)求證：對任意的(0,2，都有ACBE；(2)設(shè)二面角CAED的大小為，直線BE與平面ABCD所成的角為，若tan tan 1，求的值變式遷移3(2009北京)如圖，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，點(diǎn)D、E分別在棱PB、PC上，且DEBC.(1)求證：BC 平面PAC.(2)當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時，求AD與平面PAC所成角的正弦值(3

6、)是否存在點(diǎn)E使得二面角ADEP為直二面角？并說明理由轉(zhuǎn)化與化歸思想綜合應(yīng)用例(12分)已知四棱錐PABCD，底面ABCD是A60的菱形，又PD底面ABCD，點(diǎn)M、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn). (1)證明：DN平面PMB；(2)證明：平面PMB平面PAD.多角度審題(1)在平面PMB內(nèi)找到(或構(gòu)造)一條直線與DN平行即可；(2)要證面PMB面PAD，只需證明MB面PAD即可【答題模板】證明(1)取PB中點(diǎn)Q，連接MQ、NQ，因?yàn)镸、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn)，所以QNBCMD，且QNMD，故四邊形QNDM是平行四邊形，于是DNMQ.又MQ平面PMB，DN平面PMBDN平面PMB.6分(2)PD

7、平面ABCD，MB平面ABCD，PDMB.又因?yàn)榈酌鍭BCD是A60的菱形，且M為AD中點(diǎn)，所以MBAD.又ADPDD，所以MB平面PAD.又MB平面PMB，平面PMB平面PAD.12分【突破思維障礙】立體幾何的證明問題充分體現(xiàn)線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化思想，其思路為：1證明線面垂直的方法：(1)線面垂直的定義：a與內(nèi)任何直線都垂直a；(2)判定定理1：l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面平行的性質(zhì)：，aa；(5)面面垂直的性質(zhì)：，l，a，ala.2證明線線垂直的方法：(1)定義：兩條直線的夾角為90；(2)平面幾何中證明線線垂直的方法；(3)線面垂直的性質(zhì)：a，bab；(4)線面垂直的性質(zhì)：a，

8、bab.3證明面面垂直的方法：(1)利用定義：兩個平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2011濱州月考)已知直線a，b和平面，且a，b，那么是ab的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件2已知兩個不同的平面、和兩條不重合的直線m、n，有下列四個命題：若mn，m，則n；若m，m，則；若m，mn，n，則；若m，n，則mn.其中正確命題的個數(shù)是()A0 B1 C2 D33設(shè)，是三個不重合的平面，l是直線，給出下列四個命題：若，l，則l；若l，l，則；若l上有兩點(diǎn)到的距離相等，則l；若，則

9、.其中正確命題的序號是()A B C D4(2011浙江)下列命題中錯誤的是()A如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面5平面的斜線AB交于點(diǎn)B，過定點(diǎn)A的動直線l與AB垂直，且交于點(diǎn)C，則動點(diǎn)C的軌跡是()A一條直線 B一個圓C一個橢圓 D雙曲線的一支二、填空題(每小題4分，共12分)6如圖所示，四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱PAa，PBPDa，則它的5個面中，互相垂直的面有_對7(2011金華模擬)如圖所示，正方體A

10、BCDA1B1C1D1的棱長是1，過A點(diǎn)作平面A1BD的垂線，垂足為點(diǎn)H，有下列三個命題：點(diǎn)H是A1BD的中心；AH垂直于平面CB1D1；AC1與B1C所成的角是90.其中正確命題的序號是_8正四棱錐SABCD底面邊長為2，高為2，E是邊BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在表面上運(yùn)動，并且總保持PEAC，則動點(diǎn)P的軌跡的周長為_三、解答題(共38分)9(12分)(2010山東)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點(diǎn)，且ADPD2MA.(1)求證：平面EFG平面PDC；(2)求三棱錐PMAB與四棱錐PABCD的體積之比10(12分)(20

11、09天津)如圖，在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，ADCD，DB平分ADC，E為PC的中點(diǎn)，ADCD1，DB2.(1)證明：PA平面BDE；(2)證明：AC平面PBD；(3)求直線BC與平面PBD所成的角的正切值11(14分)(2011杭州調(diào)研)如圖所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)(1)求直線B1C與DE所成角的余弦值；(2)求證：平面EB1D平面B1CD；(3)求二面角EB1CD的余弦值學(xué)案44空間的垂直關(guān)系自主梳理1(1)相交垂直(2)任意平行平行2射影直角03.(1)一條垂線(2)交線4.垂直自我檢測1D2.B3.B4.D5.課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引線面垂直

12、的判斷方法是：證明直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線即從“線線垂直”到“線面垂直”證明(1)取AB中點(diǎn)E，連接SE，DE，在RtABC中，D、E分別為AC、AB的中點(diǎn)，故DEBC，且DEAB，SASB，SAB為等腰三角形，SEAB.SEAB，DEAB，SEDEE，AB面SDE.而SD面SDE，ABSD.在SAC中，SASC，D為AC的中點(diǎn)，SDAC.SDAC，SDAB，ACABA，SD平面ABC.(2)若ABBC，則BDAC，由(1)可知，SD面ABC，而BD面ABC，SDBD.SDBD，BDAC，SDACD，BD平面SAC.變式遷移1證明平面VAD平面ABCD，ABAD，AB平面ABCD，AD平面

13、VAD平面ABCD，AB平面VAD.VD平面VAD，ABVD.例2解題導(dǎo)引證明面面垂直，可先證線面垂直，即設(shè)法先找到其中一個平面的一條垂線，再證明這條垂線在另一個平面內(nèi)或與另一個平面內(nèi)的一條直線平行證明如圖所示，連接AC，BD，A1C1，則O為AC，BD的交點(diǎn)，O1為A1C1，B1D1的交點(diǎn)由棱柱的性質(zhì)知：A1O1OC，且A1O1OC，四邊形A1OCO1為平行四邊形，A1OO1C，又A1O平面ABCD，O1C平面ABCD，又O1C平面O1DC，平面O1DC平面ABCD.變式遷移2證明(1)如圖，在PAD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AP，AD的中點(diǎn)，所以EFPD.又因?yàn)镋F平面PCD，PD平面PCD，所

14、以直線EF平面PCD.(2)連接BD.因?yàn)锳BAD，BAD60，所以ABD為正三角形因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以BFAD.因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因?yàn)锽F平面BEF，所以平面BEF平面PAD.例3解題導(dǎo)引高考中對直線與平面所成的角及二面角的考查是熱點(diǎn)之一有時在客觀題中考查，更多的是在解答題中考查求這兩種空間角的步驟：(幾何法)根據(jù)線面角的定義或二面角的平面角的定義，作(找)出該角，再解三角形求出該角，步驟是作(找)認(rèn)(指)求(1)證明如圖所示，連接BD，由底面ABCD是正方形可得ACBD.SD平面ABCD，BD是BE在平面AB

15、CD上的射影，ACBE.(2)解如圖所示，由SD平面ABCD，CD平面ABCD，SDCD.又底面ABCD是正方形，CDAD.又SDADD，CD平面SAD.過點(diǎn)D在平面SAD內(nèi)作DFAE于F，連接CF，則CFAE，故CFD是二面角CAED的平面角，即CFD.在RtBDE中，BD2a，DEa，tan .在RtADE中，ADaCD，DEa，AEa，從而DF.在RtCDF中，tan ，由tan tan 1，得1222.由(0,2，解得，即為所求變式遷移3(1)證明PA底面ABC，PABC.又BCA90，ACBC.又ACPAA，BC平面PAC.(2)解D為PB的中點(diǎn)，DEBC，DEBC.又由(1)知，B

16、C平面PAC，DE平面PAC，垂足為點(diǎn)E.DAE是AD與平面PAC所成的角PA底面ABC，PAAB.又PAAB，ABP為等腰直角三角形ADAB.在RtABC中，ABC60，BCAB.在RtADE中，sinDAE.AD與平面PAC所成的角的正弦值為.(3)解DEBC，又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC.又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE.AEP為二面角ADEP的平面角PA底面ABC，PAAC，PAC90.在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AEPC.這時，AEP90，故存在點(diǎn)E使得二面角ADEP是直二面角課后練習(xí)區(qū)1C2.D3.C4D兩個平面，垂直時，設(shè)交線為l，則在平面內(nèi)與l

17、平行的直線都平行于平面，故A正確；如果平面內(nèi)存在直線垂直于平面，那么由面面垂直的判定定理知，故B正確；兩個平面都與第三個平面垂直時，易證交線與第三個平面垂直，故C正確；兩個平面，垂直時，平面內(nèi)與交線平行的直線與平行，故D錯誤5A65解析面PAB面PAD，面PAB面ABCD，面PAB面PBC，面PAD面ABCD，面PAD面PCD.7解析由于ABCDA1B1C1D1是正方體，所以AA1BD是一個正三棱錐，因此A點(diǎn)在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故正確；又因?yàn)槠矫鍯B1D1與平面A1BD平行，所以AH平面CB1D1，故正確；從而可得AC1平面CB1D1，即AC1與B1C垂直，所成的角

18、等于90.8.解析如圖取CD的中點(diǎn)F，SC的中點(diǎn)G，連接EF，GF，GE.則AC平面GEF，故動點(diǎn)P的軌跡是EFG的三邊又EFDB，GEGFSB，EFFGGE.9(1)證明因?yàn)镸A平面ABCD，PDMA，所以PD平面ABCD.又BC平面ABCD，所以PDBC.(2分)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BCDC.又PDDCD，所以BC平面PDC.(4分)在PBC中，因?yàn)镚、F分別為PB、PC的中點(diǎn)，所以GFBC，所以GF平面PDC.又GF平面EFG，所以平面EFG平面PDC.(6分)(2)解因?yàn)镻D平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，不妨設(shè)MA1，則PDAD2，所以VPABCDS正方形ABCDPD.(8分)由題意可知，DA平面MAB，且PDMA，所以DA即為點(diǎn)P到平面MAB的距離，所以VPMAB122.(10分)所以VPMABVPABCD14.(12分)10(1)證明設(shè)ACBDH，連接EH.在ADC中，因?yàn)锳DCD，且DB平分ADC，所以H為AC的中點(diǎn)，又由題設(shè)，知E為PC的中點(diǎn)，故EHPA.又EH平面BDE，且PA平面