高三數學總復習學案3

1、學案學案 3簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞 導學目標：導學目標： 1.了解邏輯聯(lián)結詞“或、且、非”的含義. 2.理解全稱量詞與存在量詞的意義.3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定 自主梳理自主梳理 1邏輯聯(lián)結詞 命題中的或，且，非叫做邏輯聯(lián)結詞“p 且 q” 記作 pq，“p 或 q” 記作 pq，“非 p”記作綈 p. 2命題 pq，pq，綈 p 的真假判斷 pqpqpq綈 p 真真真真假 真假假真假 假真假真真 假假假假真 3.全稱量詞與存在量詞 (1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示含 有全稱量詞的命題，叫

2、做全稱命題，可用符號簡記為xM，p(x)，它的否定xM，綈 p(x) (2)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表 示含有存在量詞的命題，叫做特稱命題，可用符號簡記為xM，p(x)，它的否定x M，綈 p(x) 自我檢測自我檢測 1命題“xR，x22x10 CxR，x22x10 DxR，x22x10 答案C 解析因要否定的命題是特稱命題，而特稱命題的否定為全稱命題對 x22x10 BxN*，(x1)20 CxR，lg x1 DxR，tan x2 答案B 解析對于 B 選項 x1 時，(x1)20. 5(2009遼寧)下列 4 個命題： p1：x(0，)，( )x

3、log x； 1 2 1 3 p3：x(0，)，( )xlog x； 1 2 1 2 p4：x(0， )，( )xlog x. 1 3 1 2 1 3 其中的真命題是() Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4 答案D 解析取 x ，則 log x1，log xlog321， 1 2 1 2 1 3 p2正確 當 x(0， )時，( )x1，p4正確 1 3 1 2 1 3 探究點一判斷含有邏輯聯(lián)結詞的命題的真假 例 1 寫出由下列各組命題構成的“pq” 、“pq” 、“綈 p”形式的復合命題，并判 斷真假 (1)p：1 是素數；q：1 是方程 x22x30 的根； (2)p：

4、平行四邊形的對角線相等；q：平行四邊形的對角線互相垂直； (3)p：方程 x2x10 的兩實根的符號相同；q：方程 x2x10 的兩實根的絕對值 相等 解題導引正確理解邏輯聯(lián)結詞“或” 、“且” 、“非”的含義是解題的關鍵，應根據組 成各個復合命題的語句中所出現的邏輯聯(lián)結詞進行命題結構與真假的判斷其步驟為：確 定復合命題的構成形式；判斷其中簡單命題的真假；根據其真值表判斷復合命題的真 假 解(1)pq：1 是素數或是方程 x22x30 的根真命題 pq：1 既是素數又是方程 x22x30 的根假命題 綈 p：1 不是素數真命題 (2)pq：平行四邊形的對角線相等或互相垂直假命題 pq：平行四邊

5、形的對角相等且互相垂直假命題 綈 p：有些平行四邊形的對角線不相等真命題 (3)pq：方程 x2x10 的兩實根的符號相同或絕對值相等假命題 pq：方程 x2x10 的兩實根的符號相同且絕對值相等假命題 綈 p：方程 x2x10 的兩實根的符號不相同真命題 變式遷移 1(2011廈門月考)已知命題 p：xR，使 tan x1，命題 q：x23x20 的解集是x|1x2，給出下列結論： 命題“pq” 是真命題；命題“p綈 q” 是假命題；命題“綈 pq” 是真命題； 命題“綈 p綈 q”是假命題，其中正確的是() A B C D 答案D 解析命題 p：xR，使 tan x1 是真命題，命題 q：

6、x23x20 的解集是x|1x . 1 2 (2)， 使 cos()cos cos . (3)x，yN，都有 xyN. (4)x0，y0Z，使得x0y03.2 解題導引判定一個全(特)稱命題的真假的方法： (1)全稱命題是真命題，必須確定對集合中的每一個元素都成立，若是假命題，舉反例即 可 (2)特稱命題是真命題，只要在限定集合中，至少找到一個元素使得命題成立 解(1)真命題， 因為 x2x1(x )2 . 1 2 3 4 3 4 1 2 (2)真命題，如 ， ，符合題意 4 2 (3)假命題，例如 x1，y5，但 xy4N. (4)真命題，例如 x00，y03 符合題意 變式遷移 2(201

7、1日照月考)下列四個命題中，其中為真命題的是() AxR，x230 BxN，x21 CxZ，使 x51 DxQ，x23 答案C 解析由于xR 都有 x20，因而有 x233，所以命題“xR，x230” 為假命 題； 由于 0N，當 x0 時，x21 不成立，所以命題“xN，x21”為假命題； 由于1Z，當 x1 時，x51，所以命題“xZ，使 x51”為真命題； 由于使 x23 成立的數只有，而它們都不是有理數，因此沒有任何一個有理數的平方3 能等于 3，所以命題“xQ，x23”為假命題 探究點三全稱命題與特稱命題的否定 例 3 寫出下列命題的“否定” ，并判斷其真假 (1)p：xR，x2x

8、0； 1 4 (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：xR，x22x20； (4)s：至少有一個實數 x，使 x310. 解題導引(1)全(特)稱命題的否定與一般命題的否定有著一定的區(qū)別， 全(特)稱命題的否 定是將其全稱量詞改為存在量詞(或把存在量詞改為全稱量詞)，并把結論否定；而一般命題 的否定則是直接否定結論即可 (2)要判斷“綈 p”命題的真假，可以直接判斷，也可以判斷 p 的真假因為 p 與綈 p 的 真假相反且一定有一個為真，一個為假 解(1)綈 p：xR，x2x 0， 是真命題， 這是由于xR， x22x2(x1)2110 成立 (4)綈 s：xR，x310，是假命題，這是由

9、于 x1 時，x310. 變式遷移 3(2009天津)命題“存在 x0R,2x00”的否定是() A不存在 x0R,2x00 B存在 x0R,2x00 C對任意的 xR,2x0 D對任意的 xR,2x0 答案D 解析本題考查全稱命題與特稱命題的否定 原命題為特稱命題， 其否定應為全稱命題， 而“”的否定是“”，所以其否定為“對任意的 xR,2x0” 轉化與化歸思想的應用 例 (12 分)已知命題 p：“x1,2，x2a0” ，命題 q：“x0R，x 2ax02 2 0 a0” ，若命題“p 且 q”是真命題，求實數 a 的取值范圍 【答題模板】【答題模板】 解由“p 且 q”是真命題， 則 p

10、 為真命題，q 也為真命題 3 分 若 p 為真命題，ax2恒成立， x1,2，a1. 6 分 若 q 為真命題， 即 x22ax2a0 有實根， 4a24(2a)0， 即 a1 或 a2， 10 分 綜上，所求實數 a 的取值范圍為 a2 或 a1. 12 分 【突破思維障礙】【突破思維障礙】 含有邏輯聯(lián)結詞的命題要先確定構成命題的(一個或兩個)命題的真假，求出參數存在的 條件，命題 p 轉化為恒成立問題，命題 q 轉化為方程有實根問題，最后再求出含邏輯聯(lián)結詞 的命題成立的條件若直接求 p 成立的條件困難，可轉化成求綈 p 成立的條件，然后取補 集 【易錯點剖析】【易錯點剖析】 “p 且 q

11、” 為真是全真則真，要區(qū)別“p 或 q” 為真是一真則真，命題 q 就是方程 x22ax 2a0 有實根，所以 0.不是找一個 x0使方程成立 1邏輯聯(lián)結詞“或”“且”“非”的含義的理解 (1)“或”與日常生活用語中的“或”意義有所不同，日常用語“或”帶有“不可兼有” 的意思，如工作或休息，而邏輯聯(lián)結詞“或”含有“同時兼有”的意思，如 x9. (2)命題“非 p” 就是對命題“p”的否定，即對命題結論的否定；否命題是四種命題中的一 種，是對原命題條件和結論的同時否定 2 判斷復合命題的真假， 要首先確定復合命題的構成形式， 再指出其中簡單命題的真假， 最后根據真值表判斷 3全稱命題“xM，p(

12、x)”的否定是一個特稱命題“xM，綈 p(x)” ， 特稱命題“xM，p(x)”的否定是一個全稱命題“xM，綈 p(x)” (滿分：75 分) 一、選擇題(每小題 5 分，共 25 分) 1(2011宣城模擬)已知命題 p：xR，x23x30，則() A綈 p：xR，x23x30，且綈 p 為真命題 B綈 p：xR，x23x30，且綈 p 為假命題 C綈 p：xR，x23x30，且綈 p 為真命題 D綈 p：xR，x23x30，且綈 p 為假命題 答案C 解析命題 p 是一個特稱命題，它的否定綈 p：對所有的 xR，都有 x23x30 為 真故答案為 C.命題的否定要否定量詞，即全稱量詞的否定

13、為存在量詞，存在量詞的否定為 全稱量詞，而且要否定結論 2已知命題 p： xR，ax22x30，如果命題綈 p 是真命題，那么實數 a 的取值范 圍是() Aa Ba 1 3 1 3 C00 對一切 xR 恒成立，這時應有Error!解得 a .因此當命題 p 是假命題，即命題綈 p 是 1 3 真命題時， 實數 a 的范圍是 a . 1 3 3(2011龍巖月考)已知條件 p：|x1|2，條件 q：xa，且綈 p 是綈 q 的充分不必要條 件，則 a 的取值范圍是() Aa1 Ba1 Ca3 Da3 答案A 解析 綈 p 是綈 q 的充分不必要條件的等價命題為 q 是 p 的充分不必要條件，

14、即 qp， 而 pq，條件 p 化簡為 x1 或 x0，則 a0” ，則它的否命題是() Aa，bR，如果 ab0，則 a0 Ba，bR，如果 ab0，則 a0 Ca，bR，如果 ab0，則 a0，a0 的否定分別為 ab0， a0，故選 B. 5(2011寧波調研)下列有關命題的說法正確的是() A命題“若 x21，則 x1”的否命題為“若 x21，則 x1” B“x1”是“x25x60”的必要不充分條件 C命題“xR，使得 x2x10”的否定是“xR，均有 x2x13”的否定是_ 答案xR，|x2|x4|3 7已知命題 p：“xR，mR 使 4x2x1m0” ，若命題綈 p 是假命題，則實

15、 數 m 的取值范圍為_ 答案m1 解析命題綈 p 是假命題，即命題 p 是真命題，也就是關于 x 的方程 4x2x1m0 有 實數解，即 m(4x2x1)，令 f(x)(4x2x1)，由于 f(x)(2x1)21，所以當 x-Ray 時 f(x)1，因此實數 m 的取值范圍是 m1. 8(2010安徽)命題“存在 xR，使得 x22x50”的否定是 _ 答案對任意 xR，都有 x22x50 解析因特稱命題的否定是全稱命題，所以得：對任意 xR，都有 x22x50. 三、解答題(共 38 分) 9(12 分)分別指出由下列命題構成的“pq”“pq”“綈 p”形式的命題的真假 (1)p：42,3

16、，q：22,3； (2)p：1 是奇數，q：1 是質數； (3)p：0，q：x|x23x50R； (4)p：55，q：27 不是質數 解(1)p 是假命題，q 是真命題， pq 為真命題，pq 為假命題， 綈 p 為真命題(3 分) (2)1 是奇數， p 是真命題 又1 不是質數， q 是假命題 因此 pq 為真命題，pq 為假命題，綈 p 為假命題(6 分) (3)0，p 為假命題 又x23x50x， 3 29 2 3 29 2 x|x23x50 x|x0 對一切 xR 恒成立， q：函數 f(x)(32a)x是增函數，若 p 或 q 為真，p 且 q 為假，求實數 a 的取值范圍 解設 g(x)x22ax4， 由于關于 x 的不等式 x22ax40 對一切 xR 恒成立，所以函數 g(x)的圖象開口向上 且與 x 軸沒有交點， 故 4a2160，2a1，a1.(6 分) 又由于 p 或 q 為真，p 且 q 為假，可知 p 和 q 一