微分方程模型（緝私艇追擊走私船問題）

1、一. 建模目的 目的在于提高學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題建立微分方程模型的能力，學(xué)會(huì)求微分方程解析解與數(shù)值解的方法，并會(huì)做簡(jiǎn)單的計(jì)算機(jī)仿真。,二. 問題的提出 海上邊防緝私艇發(fā)現(xiàn)距c公里處有一走私船正以勻速a沿直線行駛,緝私艇 立即以最大速度b追趕,在雷達(dá)的引導(dǎo)下，緝私艇的方向始終指向走私船。問 緝私艇何時(shí)追趕上走私船?并求出緝私艇追趕的路線。,x,y,c,o,5.3.2 緝私艇追擊走私船問題,假設(shè)：,0,(c, 0),x,y,D,(1) 建立坐標(biāo)系； (2) 緝私船在(c,0)處發(fā)現(xiàn)走私船在 (0,0)處； (3) 走私船逃跑方向?yàn)閥軸方向； (4) t時(shí)刻，走私船到達(dá)R(0,at) 緝私艦到達(dá)D(x,

2、y)； (5) 緝私艦的運(yùn)動(dòng)軌跡為y=y(x),三.模型的建立,R,化簡(jiǎn)：,對(duì)t求導(dǎo)：,化簡(jiǎn)：,（1）,三.模型的建立,(2),結(jié)合(1)、(2)得到如下微分方程：,問題：是否存在解析解？,四. 模型求解,(1) 求解析解,令：,，,，,1),當(dāng) x = 0 時(shí)，,，,c=3千米，a=0.4千米/秒， 分別取b=0.6,0.8,1.2千米/秒時(shí)， 緝私艇追趕路線的圖形。,追趕時(shí)間分別為： t=9，5，2.8125（分鐘）,Matlab繪圖,2),，,3),，,當(dāng),時(shí)，,，,緝私艇不可能追趕上走私船。,(2) 用MATLAB軟件求解析解,MATLAB軟件5.3以上版本提供的解常微分方程解析解的指

3、令是 dsolve，完整的調(diào)用格式是: dsolve(eqn1,eqn2, .) 其中eqn1,eqn2, .是輸入宗量，包括三部分：微分方程、初始 條件、指定變量，若不指定變量，則默認(rèn)小寫字母t為獨(dú)立變量。,微分方程的書寫格式規(guī)定：當(dāng)y是因變量時(shí)，用“Dny”表示y的n階導(dǎo)數(shù)。,例 求微分方程,的通解。,dsolve(Dy=x+x*y,x),Ans=-1+exp(1/2*x2)*C1,dsolve(Dy=1/2*(x/c)r-(c/x)r),y(c)=0,x),ans=1/2*exp(-r*(log(c)-log(x)*cr*(1/c)r/(r+1)*x+ 1/2*exp(r*(log(c)

4、-log(x)/(-1+r)*x- 1/2*c*(-(1/c)r*cr+cr*(1/c)r*r+r+1)/(r2-1),Matlab,(3) 用MATLAB軟件求數(shù)值解,c=3，a=0.4，b=0.8，,程序zx.m function y=zx(t,y) y=0.5*(t/3)0.5-(3/t)0.5),執(zhí)行下面的命令：ode23(zx,3,0.0005,0),matlab,若想看圖中“o”點(diǎn)的坐標(biāo)可執(zhí)行下面的命令： t,y=ode23(zx,3,0.0005,0) plot(t,y),此時(shí)緝私艇的位置坐標(biāo)是（0.00050000000000，1.96013657712118）,執(zhí)行下面的命令

5、: ode45(zx,3,0.0005,0),若想看圖中“o”點(diǎn)的坐標(biāo)可執(zhí)行下面的命令： t,y=ode45(zx,3,0.0005,0) plot(t,y),此時(shí)緝私艇的位置坐標(biāo)是（0.0005，1.9675 ）,(4) 用MATLAB軟件仿真法,當(dāng)建立動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的微分方程模型很困難時(shí)， 我們可以用計(jì)算機(jī)仿真法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析研究。 所謂計(jì)算機(jī)仿真就是利用計(jì)算機(jī)對(duì)實(shí)際動(dòng)態(tài)系 統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和行為進(jìn)行編程、模擬和計(jì)算，以此 來預(yù)測(cè)系統(tǒng)的行為效果。,方向?yàn)閥軸正方向，,：,緝私艇的位置：,走私船的位置：,走私船初始位在點(diǎn) (0,0)，,緝私艇的初始位在點(diǎn) (c,0)，,，,追趕方向可用方向余弦表示為：,時(shí)

6、間步長(zhǎng)為,，,則在時(shí)刻,時(shí)：,仿真算法：,第一步：設(shè)置時(shí)間步長(zhǎng), 速度a, b及初始位置,，,第二步：,計(jì)算動(dòng)點(diǎn)緝私艇D在時(shí)刻,時(shí)的坐標(biāo),，,compare,計(jì)算走私船R在時(shí)刻,時(shí)的坐標(biāo),，,第三步：計(jì)算緝私艇與走私船這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的距離：,根據(jù)事先給定的距離，判斷緝私艇是否已經(jīng)追上了走私船，從而判斷 退出循環(huán)還是讓時(shí)間產(chǎn)生一個(gè)步長(zhǎng)，返回到第二步繼續(xù)進(jìn)入下一次循環(huán)；,第四步：當(dāng)從上述循環(huán)退出后，由點(diǎn)列,和,可分別繪,制成兩條曲線即為緝私艇和走私船走過的軌跡曲線。,取c=3千米，a=0.4千米/分鐘，b=0.8千米/分鐘，,程序zhuixiantu.m c=3; a=0.4/60; b=0.8/

7、60; jstxb=;jstyb=;zscxb=;zscyb=; d=0.01;dt=2;t=0; jstx=c;jsty=0;zscx=0;zscy=0; while (sqrt(jstx-zscx)2+(jsty-zscy)2)d) t=t+dt; jstx=jstx-b*dt*jstx/sqrt(jstx2+(a*t-jsty)2); jstxb=jstxb,jstx; jsty=jsty+b*dt*(a*t-jsty)/sqrt(jstx2+(a*t-jsty)2); jstyb=jstyb,jsty; zscy=a*t; zscyb=zscyb,zscy; end zscxb=zer

8、os(length(zscyb); plot(jstxb,jstyb,zscxb,zscyb,*),matlab,歷時(shí)：296秒，,艇：（0.00004135527497，1.97150212967435）,船：（0，1.97333333333333）,五. 結(jié)果分析,用求解析解的方法算得的解是最為精確的； 用數(shù)值方法計(jì)算的結(jié)果依賴于迭代終值的設(shè)定，減小迭代終值可以提高計(jì)算精度； 用計(jì)算機(jī)仿真法計(jì)算的結(jié)果依賴于時(shí)間迭代步長(zhǎng)的選取和程序終止條件的設(shè)定，修改終止條件的設(shè)定和減小時(shí)間迭代步長(zhǎng)可以提高計(jì)算精度，減小誤差。,六. 實(shí)驗(yàn)任務(wù),1. 有一只獵狗在B點(diǎn)位置發(fā)現(xiàn)了一只兔子在正東北方距離它200米的地 方O處，此時(shí)兔子開始以8米/秒的速度向正西北方距離為120米的洞口A全 速跑去，假設(shè)獵狗在追趕兔子的時(shí)候始終朝著兔子的方向全速奔跑，用計(jì) 算機(jī)仿真法等多種方法完成下面的實(shí)驗(yàn)： (1) 問獵狗能追上兔子的最小速度是多少？ (2) 在獵狗能追上兔子的情況下，獵狗跑過的路程是多少？ (3) 畫出獵狗追趕兔子奔跑的曲線圖。 (4) 假設(shè)在追趕過程中，當(dāng)獵狗與兔子之間的距離為30米時(shí)，兔子由于 害怕, 奔跑的速度每秒減半，而獵狗卻由于興奮奔跑的速度每秒增 加0.1倍，在這種