高斯消元法解線性方程組.ppt

1、A,1,3.4 高斯消元法解線性方程組,一、線性方程組的矩陣表示,二、用高斯消元法求解線性方程組,三、小結,A,2,在第1章的1.4節(jié)，我們學習過用Gramer法則解形如,的線性方程組，也討論過齊次線性方程組,的求解問題.,A,3,事實上,方程組,與之對應的齊次線性方程組,都可以用矩陣形式表示為:,為n階系數矩陣,為未知數矩陣,為常數矩陣,A,4,1、非齊次線性方程組,當,時，方程組（1）有唯一解；,當,2、對于齊次線性方程組,當,時，方程組（2）解唯一：只有零解；,當,時，方程組（2）有無窮多解，有非零解；,以上由克蘭姆法則得到的結論都是針對n階線性方程組來說的，而對于未知量個數與方程個數不

2、相等的線性方程組，我們用高斯消元法來討論,方程組（1）無解或有無窮多解,它是必然有解的。,線性方程組解的情況如下：,A,5,線性方程組的 一般形式：,矩陣表示：,其中,請注意它們的行數、列數,3.4 高斯消元法解線性方程組,一、線性方程組的矩陣表示,A,6,對應的齊次線性方程組：,矩陣表示形式：,其中,A,7,二、用高斯消元法求解線性方程組,下面通過例題，來學習一般線性方程組的解法，這種方法，常稱為高斯消元法.此消元法 中方程組的消元步驟對應矩陣的初等,行變換。,A,8,解：,A,9,A,10,所以原方程組有唯一的一組解：,A,11,解,例1 用消元法解齊次線性方程組,A,12,其中,是自由未

3、知量,A,13,例2 用消元法解線性方程組,解 將系數矩陣與常數列矩陣排在一起,稱為線性方程組的增廣矩陣,記為:,高斯消元法解線性方程組,實際就是對增廣矩陣作 初等行變換.下面我們來一步步解這個方程組。,A,14,解:,A,15,再把得到的最后的矩陣寫成方程組形式, 得,這時,未知量,是可以任意取值的,稱為自由未知量,所以得方程組的解為：,在求出方程組的解后,要注明自由未知量. 自由未 知量的取法是不一唯的,但它的個數是確定的。 （即未知量的個數實際方程個數）,A,16,上面解題中，最簡形階梯矩陣,單位陣,階梯,下面給出一個更為形象的最簡形階梯矩陣,單位陣,A,17,補例 求解非齊次線性方程組

4、,解,對增廣矩陣 進行初等行變換：,此時，可以得到方程組無解的結論,（從第三行發(fā)現到一個問題）,A,18,三、小結,通過上面兩個例題，可歸納出解線性方程組 高斯消元法的一般步驟：,(1)將線性方程組的增廣矩陣，通過初等行變換 化為行最簡階梯矩陣；,（2）將最簡階梯矩陣還原成線性方程組，求出方 程組的一般解，標出自由未知量；,（3）取自由未知量為任意常數字母，寫出方程組 的全部解，指出常數字母的任意性.,A,19,高斯(Garl Friederich Gauss，17771855),高斯生于德國的布倫茲維克，他是近代數學偉大的奠基者之一，在歷史上影響之大，可以和阿基米德、牛頓、歐拉并列.,高斯很小就顯示出了他的數學才能,小時候,其 父并不想讓他上學,由于看父親算賬,指出錯誤,之處,才被其父送入小學讀書,當時是班里最小的學生.但成績很,出色。1796年高斯發(fā)現正十七邊形的尺規(guī)作圖法，這是從歐幾,1855年2月23日清晨，高斯于睡夢中去世。,他