機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

1、.,機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,.,第一章：緒論,優(yōu)化設(shè)計(jì)（Optimum Design)是60年代發(fā)展起來(lái)的一門新的設(shè)計(jì)方法，是最優(yōu)化技術(shù)和計(jì)算技術(shù)在設(shè)計(jì)領(lǐng)域中應(yīng)用的結(jié)果。,解析法,數(shù)值計(jì)算法,優(yōu)化方法,微分求極值,迭代逼近最優(yōu)值,計(jì)算機(jī),優(yōu)化設(shè)計(jì),.,機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)是使某項(xiàng)機(jī)械設(shè)計(jì)在規(guī)定的各種設(shè)計(jì)限制條件下，優(yōu)選設(shè)計(jì)參數(shù)，使某項(xiàng)或幾項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)獲得最優(yōu)值。,什么叫機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì),工程設(shè)計(jì)上的“最優(yōu)值”(Optimum)或“最佳值”系指在滿足多種設(shè)計(jì)目標(biāo)和約束條件下所獲得的最令人滿意和最適宜的值。,.,一、從傳統(tǒng)設(shè)計(jì)到優(yōu)化設(shè)計(jì),機(jī)械設(shè)計(jì)一般需要經(jīng)過(guò)調(diào)查研究(資料檢索)、擬訂方案(設(shè)計(jì)模型)、分析計(jì)算(論證方

2、案)、繪圖和編制技術(shù)文件等一系列的工作過(guò)程。,圖1-1 傳統(tǒng)的機(jī)械設(shè)計(jì)過(guò)程,.,圖13 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程框圖,.,優(yōu)化設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)相比，具有如下三個(gè)特點(diǎn)：,(1)設(shè)計(jì)的思想是最優(yōu)設(shè)計(jì)；,(2)設(shè)計(jì)的方法是優(yōu)化方法；,(3)設(shè)計(jì)的手段是計(jì)算機(jī)。,二、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的發(fā)展概況,近幾十年來(lái)，隨著數(shù)學(xué)規(guī)劃論和電子計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展而產(chǎn)生的，它首先在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、化學(xué)工程、航空和造船等部門得到應(yīng)用。,1.優(yōu)化設(shè)計(jì)的應(yīng)用領(lǐng)域,.,國(guó)內(nèi)近年來(lái)才開(kāi)始重視，但發(fā)展迅速，在機(jī)構(gòu)綜合、機(jī)械的通用零部件的設(shè)計(jì)、工藝設(shè)計(jì)方面都得到應(yīng)用。,2.目前機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的應(yīng)用領(lǐng)域,在機(jī)械設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用較晚，從國(guó)際范圍來(lái)說(shuō)，是在上世紀(jì)60

3、年代后期才得到迅速發(fā)展的。,優(yōu)化設(shè)計(jì)本身存在的問(wèn)題和某些發(fā)展趨勢(shì)主要 有以下幾方面：,.,1)目前優(yōu)化設(shè)計(jì)多數(shù)還局限在參數(shù)最優(yōu)化這種數(shù)值量?jī)?yōu)化問(wèn)題。結(jié)構(gòu)型式的選擇還需進(jìn)一步研究解決。,.,2)優(yōu)化設(shè)計(jì)這門新技術(shù)在傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)中普及率還不高。,3)把優(yōu)化設(shè)計(jì)與CAD、專家系統(tǒng)結(jié)合起來(lái)是優(yōu)化設(shè)計(jì)發(fā)展的趨勢(shì)之一。,.,三、本課程的主要內(nèi)容,1.建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型,2.選擇合適的優(yōu)化方法,3.編制計(jì)算機(jī)程序，求得最佳設(shè)計(jì)參數(shù),.,第一章 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)概述,第一節(jié) 應(yīng)用實(shí)例 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題來(lái)源于生產(chǎn)實(shí)際?，F(xiàn)在舉典型實(shí)例來(lái)說(shuō)明優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本問(wèn)題。,圖1-1所示的人字架由兩個(gè)鋼管構(gòu)成，其頂點(diǎn)受外力2F=3

4、 N。人字架的跨度2B=152cm,鋼管壁厚T=0.25cm, 鋼管材料的彈性模量E=2.1 Mpa，材料密度=7.8 / ，許用壓應(yīng)力 = 420MPa。求在鋼管壓應(yīng)力 不超過(guò)許用壓應(yīng)力 和失穩(wěn)臨界應(yīng)力 的條件下，人字架的高h(yuǎn)和鋼管平均直徑D，使鋼管總質(zhì)量m為最小。,.,圖2-2 人字架的受力,.,人字架的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題歸結(jié)為：,使結(jié)構(gòu)質(zhì)量,但應(yīng)滿足強(qiáng)度約束條件,穩(wěn)定約束條件,.,鋼管所受的壓力,失穩(wěn)的臨界力,鋼管所受的壓應(yīng)力,.,鋼管的臨界應(yīng)力,強(qiáng)度約束條件,可以寫成,穩(wěn)定約束條件,可以寫成,.,人字架的總質(zhì)量,這個(gè)優(yōu)化問(wèn)題是以D和h為設(shè)計(jì)變量的二維問(wèn)題，且只有兩個(gè)約束條件，可以用解析法求解

5、。,除了解析法外，還可以采用作圖法求解。,.,1-3人字架優(yōu)化設(shè)計(jì)的圖解,.,第三節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,一、設(shè)計(jì)變量,在優(yōu)化設(shè)計(jì)的過(guò)程中，不斷進(jìn)行修改、調(diào)整， 一直處于變化的參數(shù)稱為設(shè)計(jì)變量。,設(shè)計(jì)變量的全體實(shí)際上是一組變量，可用一個(gè)列向量表示：,.,圖2-4 設(shè)計(jì)空間,.,二、約束條件,一個(gè)可行設(shè)計(jì)必須滿足某些設(shè)計(jì)限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡(jiǎn)稱約束。,約束,性能約束,側(cè)面約束,針對(duì)性能要求,只對(duì)設(shè)計(jì)變量的取值范 圍限制（又稱邊界約束）,（按性質(zhì)分）,按數(shù)學(xué)表達(dá)形式分：,.,約束,等式約束,不等式約束,可行域：凡滿足所有約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)，它在設(shè)計(jì)空間的活動(dòng)范圍。,一般情況下，其設(shè)

6、計(jì)可行域可表示為：,.,圖2-5 二維問(wèn)題的可行域,.,三、目標(biāo)函數(shù),目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計(jì)變量的函數(shù)，是設(shè)計(jì)中所追求的目標(biāo)。如：軸的質(zhì)量，彈簧的體積，齒輪的承載能力等。,在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，用目標(biāo)函數(shù)的大小來(lái)衡量設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣，故目標(biāo)函數(shù)也可稱評(píng)價(jià)函數(shù)。,目標(biāo)函數(shù)的一般表示式為：,.,優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的就是要求所選擇的設(shè)計(jì)變量使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最佳值，即使,通常,目標(biāo)函數(shù),單目標(biāo)設(shè)計(jì)問(wèn)題,多目標(biāo)設(shè)計(jì)問(wèn)題,目前處理多目標(biāo)設(shè)計(jì)問(wèn)題的方法是組合成一個(gè)復(fù)合的目標(biāo)函數(shù)，如采用線性加權(quán)的形式，即,.,四、優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型是對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象。,優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式為：,.,數(shù)學(xué)模型的分類：

7、,(1)按數(shù)學(xué)模型中設(shè)計(jì)變量和參數(shù)的性質(zhì)分：,確定型模型,隨機(jī)型模型,設(shè)計(jì)變量和參數(shù)取值確定,設(shè)計(jì)變量和參數(shù)取值隨機(jī),(2)按目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的性質(zhì)分：,a.目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)都是設(shè)計(jì)變量的線形函數(shù) 稱為線性規(guī)劃問(wèn)題，其數(shù)學(xué)模型一般為：,.,b.若目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計(jì)變量的二次函數(shù)、約束是線性函數(shù)，則為二次規(guī)劃問(wèn)題。其一般表達(dá)式為：,.,五、優(yōu)化問(wèn)題的幾何解釋,無(wú)約束優(yōu)化：在沒(méi)有限制的條件下，對(duì)設(shè)計(jì)變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。,其極小點(diǎn)在目標(biāo)函數(shù)等值面的中心。,約束優(yōu)化：在可行域內(nèi)對(duì)設(shè)計(jì)變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。,其極小點(diǎn)在可行域內(nèi)或在可行域邊界上。,.,.,.,.,.,.,第四節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的基本解法

8、,求解優(yōu)化問(wèn)題的方法：,解析法,數(shù)值法,數(shù)學(xué)模型復(fù)雜時(shí)不便求解,可以處理復(fù)雜函數(shù)及沒(méi)有數(shù)學(xué)表達(dá)式 的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題,.,圖1-11 尋求極值點(diǎn)的搜索過(guò)程,.,第二章 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),機(jī)械設(shè)計(jì)問(wèn)題一般是非線性規(guī)劃問(wèn)題。,實(shí)質(zhì)上是多元非線性函數(shù)的極小化問(wèn)題，因此，機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)是建立在多元函數(shù)的極值理論基礎(chǔ)上的。,機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題分為：,無(wú)約束優(yōu)化,約束優(yōu)化,無(wú)條件極值問(wèn)題,條件極值問(wèn)題,.,第一節(jié) 多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度,一、方向?qū)?shù),從多元函數(shù)的微分學(xué)得知，對(duì)于一個(gè)連續(xù)可微函數(shù)f(x)在某一點(diǎn) 的一階偏導(dǎo)數(shù)為：,它表示函數(shù)f(x)值在 點(diǎn)沿各坐標(biāo)軸方向的變化率。,有一個(gè)二維函數(shù)，如圖2-1所

9、示。,.,圖2-1 函數(shù)的方向?qū)?shù),.,其函數(shù)在 點(diǎn)沿d方向的方向?qū)?shù)為,.,二、二元函數(shù)的梯度,.,即,.,三、多元函數(shù)的梯度,沿d方向的方向向量,即,.,圖2-5 梯度方向與等值面的關(guān)系,.,若目標(biāo)函數(shù)f(x)處處存在一階導(dǎo)數(shù)，則極值點(diǎn) 的必要條件一階偏導(dǎo)數(shù)等于零，即,滿足此條件僅表明該點(diǎn)為駐點(diǎn)，不能肯定為極值 點(diǎn)，即使為極值點(diǎn)，也不能判斷為極大點(diǎn)還是極 小點(diǎn)，還得給出極值點(diǎn)的充分條件,設(shè)目標(biāo)函數(shù)在 點(diǎn)至少有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則,在這一點(diǎn)的泰勒二次近似展開(kāi)式為：,第二節(jié) 多元函數(shù)的泰勒展開(kāi),.,.,泰勒展開(kāi)寫成向量矩陣形式,.,（1） F(X*)=0； 必要條件 （2）Hesse矩陣G(X

10、*)為正定。 充分條件,多元函數(shù)f(x)在 處取得極值，則極值的條件為,為無(wú)約束極小點(diǎn)的充分條件,其Hesse矩陣G(X*)為正定的。,則極小點(diǎn)必須滿足,為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的極值條件,.,同學(xué)考慮二元函數(shù)在 處取得極值的充分必要條件。,各階主子式大于零,例：求函數(shù)的 極值,.,第四節(jié) 凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃,前面我們根據(jù)函數(shù)極值條件確定了極小點(diǎn),則函數(shù)f(x)在 附近的一切x均滿足不等式,所以函數(shù)f(x)在 處取得局部極小值，稱 為 局部極小點(diǎn)。,而優(yōu)化問(wèn)題一般是要求目標(biāo)函數(shù)在某一區(qū)域內(nèi) 的全局極小點(diǎn)。,函數(shù)的局部極小點(diǎn)是不是一定是全局極小點(diǎn)呢？,.,圖2-7 下凸的一元函數(shù),.,一、凸集,的線段

11、都全部包含在該集合內(nèi)，就稱該點(diǎn)集為凸集， 否則為非凸集。,一個(gè)點(diǎn)集（或區(qū)域），如果連接其中任意兩點(diǎn),.,凸集的性質(zhì),二、凸函數(shù),函數(shù)f(x）為凸集定義域內(nèi)的函數(shù)，若對(duì)任何的,.,稱,是定義在凸集上的一個(gè)凸函數(shù)。,.,三、凸性條件,1.根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)（函數(shù)的梯度）來(lái)判斷函數(shù)的凸性,設(shè)f(x)為定義在凸集R上，且具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù) 的函數(shù)，則f(x)在R上為凸函數(shù)的充要條件是對(duì)凸 集R內(nèi)任意不同兩點(diǎn) ，不等式,恒成立。,2.根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)（ Hesse矩陣)來(lái)判斷函數(shù)的凸性,.,設(shè)f(x)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的 函數(shù)，則f(x)在R上為凸函數(shù)的充要條件,Hesse矩陣在R上處處半正定。,

12、四、凸規(guī)劃,對(duì)于約束優(yōu)化問(wèn)題,.,凸規(guī)劃的性質(zhì)：,3.凸規(guī)劃的任何局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解,.,第五節(jié) 等式約束優(yōu)化問(wèn)題的極值條件,約束優(yōu)化,等式約束,不等式約束,求解這一問(wèn)題的方法,消元法,拉格朗日乘子法,.,1.消元法（降維法）,以二元函數(shù)為例討論。,二、拉格朗日乘子法（升維法）,對(duì)于具有L個(gè)等式約束的n維優(yōu)化問(wèn)題,處有,將原來(lái)的目標(biāo)函數(shù)作如下改造：,.,拉格朗日函數(shù),待定系數(shù),新目標(biāo)函數(shù)的極值的必要條件,例2-4 用拉格朗日乘子法計(jì)算在約束條件,的情況下，目標(biāo)函數(shù),的極值點(diǎn)坐標(biāo)。,.,第六節(jié) 不等式約束優(yōu)化問(wèn)題的極值條件,在工程中大多數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，可表示為不等式約束條件的優(yōu)化問(wèn)題。,有必要

13、引出非線性優(yōu)化問(wèn)題的重要理論，是不等式 約束的多元函數(shù)的極值的必要條件。,庫(kù)恩-塔克（Kuhn-Tucker）條件,一、一元函數(shù)在給定區(qū)間上的極值條件,一元函數(shù)f(x)在給定區(qū)間a,b上的極值問(wèn)題，可以 寫成下列具有不等式約束條件的優(yōu)化問(wèn)題：,.,拉格朗日乘子法，除了可以應(yīng)用于等式的極值問(wèn)題，還可 以用于不等式的極值問(wèn)題。,需引入松弛變量，將不等式約束變成等式約束。,設(shè)a1和b1為兩個(gè)松弛變量，則上述的不等式約束可寫為：,.,則該問(wèn)題的拉格朗日函數(shù),根據(jù)拉格朗日乘子法，此問(wèn)題的極值條件：,.,由,（起作用約束）,（不起作用約束）,同樣 ，來(lái)分析 起作用何不起作用約束。,因此，一元函數(shù)在給定區(qū)間

14、的極值條件，可以表示為：,.,多元,庫(kù)恩-塔克條件,分析極值點(diǎn) 在區(qū)間的位置，有三種情況,.,.,即,.,即,.,從以上分析可以看出，對(duì)應(yīng)于不起作用的約束的拉格朗日乘子取零值，因此可以引入起作用約束的下標(biāo)集合。,一元函數(shù)在給定區(qū)間的極值條件，可以改寫為：,極值條件中只考慮起作用的約束和相應(yīng)的乘子。,.,二、庫(kù)恩-塔克條件,仿照一元函數(shù)給定區(qū)間上極值條件的推導(dǎo)過(guò)程， 可以得到具有不等式約束多元函數(shù)極值條件：,用起作用約束的下標(biāo)集合表示,.,用梯度形式表示，可得,或,庫(kù)恩-塔克條件的幾何意義：在約束極小點(diǎn)處，函數(shù)的負(fù)梯度一定能表示成所有起作用約束在該點(diǎn)梯度的非負(fù)線性組合。,.,下面以二維問(wèn)題為例，

15、說(shuō)明K-T條件的幾何意義,.,角錐之內(nèi)，即線性組合的系數(shù)為正，是在,取得極值的必要條件。,.,三、庫(kù)恩-塔克條件應(yīng)用舉例,若給定優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為,K-T條件,.,.,第三章一維搜索方法,采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求函數(shù)極值點(diǎn)的迭代計(jì)算：,K+1次迭代的搜索方向,搜索的最佳步長(zhǎng)因子,稱為一維搜索。,是優(yōu)化搜索方法的基礎(chǔ)。,求解一元函數(shù) 的極小點(diǎn),，可用解析法。,.,上式求的極值，即求導(dǎo)數(shù)為零。,則,從上式看，需要求導(dǎo)進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于函數(shù)關(guān)系復(fù)雜的， 解析法十分不便。,數(shù)值法的基本思路：確定 的搜索區(qū)間，在不斷縮小 區(qū)間，最終獲得近似值。,.,第二節(jié) 搜索區(qū)間的確定和區(qū)間消去法原理,一、確定搜索區(qū)間的外推法

16、,.,圖3-2 正向搜索的外推法,.,圖3-3 反向搜索的外推法,.,三、區(qū)間消去法原理,.,.,為了避免多計(jì)算函數(shù)值，將第三種情況合并到前兩種 情況中。,.,三、一維搜索方法的分類,從前面的分析可知，每次縮短區(qū)間，只需要在區(qū)間內(nèi)在插入一 點(diǎn)并計(jì)算其函數(shù)值。,而插入點(diǎn)的位置，可以由不同的方法來(lái)確定。就形成了不同的一維搜索方法。,第三節(jié)一維搜索的試探法,最常用的一維搜索試探法是黃金分割法，又稱0.618法。,.,要求插入點(diǎn)a1、a2的位置相對(duì)于區(qū)間a,b兩端點(diǎn)具有對(duì)稱性。,除對(duì)稱要求外，黃金分割法還要求在保留下來(lái)的區(qū)間再插入一點(diǎn) 所形成的區(qū)間新三段，與原來(lái)區(qū)間的三段具有相同的比例分布。,.,2,

17、所謂的“黃金分割”是指將一線段分成兩段的方法，使整段長(zhǎng) 與較長(zhǎng)段的長(zhǎng)度比值等于較長(zhǎng)段與較短段的比值，即,.,.,第四節(jié)一維搜索的插值方法,假定要在某一區(qū)間內(nèi)尋找函數(shù)的極小點(diǎn)的位置，雖然沒(méi)有函數(shù) 表達(dá)式，但能夠給出若干試驗(yàn)點(diǎn)處的函數(shù)值。,我們可以根據(jù)這些點(diǎn)處的函數(shù)值，利用插值的方法建立函數(shù)的近似表達(dá)式，進(jìn)而求處函數(shù)的極小點(diǎn)，作為原來(lái)函數(shù)的極小點(diǎn)的近似值。這種方法稱作插值法，也稱函數(shù)逼近法。,一、牛頓法（切線法）,函數(shù)很接近，因此，在 點(diǎn)附近用一個(gè)二次函數(shù) 逼近。,.,即,依次繼續(xù)下去，可得牛頓法迭代公式：,.,牛頓法的幾何解釋：,.,牛頓法的計(jì)算步驟：,給定初始點(diǎn) ，控制誤差 ，并令k=0。,1

18、）計(jì)算,2）求,.,優(yōu)點(diǎn)：收斂速度快。,缺點(diǎn)：每一點(diǎn)都要進(jìn)行二階導(dǎo)數(shù)，工作量大；,要求初始點(diǎn)離極小點(diǎn)不太遠(yuǎn)，否則有可能使極小化 發(fā)散或收斂到非極小點(diǎn)。,二、二次插值（拋物線法）,，作出如下的二次插值多項(xiàng)式,它應(yīng)滿足條件,（1）,.,從極值的必要條件求得,（2）,（3）,要求出系數(shù) 和 ，聯(lián)立方程組（1）、（2）、（3）。,.,令,所以,則,.,.,.,.,.,第四章無(wú)約束優(yōu)化方法,第一節(jié) 概述,從第一章列舉的機(jī)械設(shè)計(jì)問(wèn)題，大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題是約束優(yōu)化問(wèn)題。,約束優(yōu)化問(wèn)題的求解轉(zhuǎn)化為一系列的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn) 題實(shí)現(xiàn)的。,因此，無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的解法是優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的基本組 成部分，也是優(yōu)化方法的基礎(chǔ)。,無(wú)約

19、束優(yōu)化問(wèn)題的極值條件,.,解析法,數(shù)值法,數(shù)學(xué)模型復(fù)雜時(shí)不便求解,可以處理復(fù)雜函數(shù)及沒(méi)有數(shù)學(xué)表達(dá)式 的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題,搜索方向問(wèn)題是無(wú)約束優(yōu)化方法的關(guān)鍵。,各種無(wú)約束優(yōu)化方法的區(qū)別：確定搜索方向的方法不同。,無(wú)約束優(yōu)化方法分類,利用目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù),利用目標(biāo)函數(shù)值,（最速下降法、共軛梯度法、牛頓法）,（坐標(biāo)輪換法、鮑威爾等）,.,.,第二節(jié) 最速下降法,優(yōu)化設(shè)計(jì)追求目標(biāo)函數(shù)值最小，若搜索方向取該點(diǎn)的負(fù)梯度 方向，使函數(shù)值在該點(diǎn)附近的范圍內(nèi)下降最快。,按此規(guī)律不斷走步，形成以下迭代算法：,以負(fù)梯度方向?yàn)樗阉鞣较颍苑Q最速下降法或梯度法。,搜索方向確定為負(fù)梯度方向，還需確定步長(zhǎng)因子,即求一

20、維搜索的最佳步長(zhǎng)，既有,.,由此可知，在最速下降法中，相鄰兩個(gè)迭代點(diǎn)上的函數(shù) 梯度相互垂直。而搜索方向就是負(fù)梯度方向，因此相鄰 兩個(gè)搜索方向互相垂直。,.,.,.,.,第三節(jié)牛頓型方法,在第三章中，我們已經(jīng)討論了一維搜索的牛頓方法。,得出一維情況下的牛頓迭代公式,對(duì)于多元函數(shù)，在,泰勒展開(kāi)，得,.,這是多元函數(shù)求極值的牛頓法迭代公式。,對(duì)牛頓法進(jìn)行改進(jìn)，提出“阻尼牛頓法”,.,.,第四節(jié)共軛方向及共軛方向法,為了克服最速下降法的鋸齒現(xiàn)象，提高收斂速度，發(fā)展了 一類共軛方向法。搜索方向是共軛方向。,一、共軛方向的概念,共軛方向的概念是在研究二次函數(shù),時(shí)引出的。,首先考慮二維情況,.,如果按最速下

21、降法，選擇負(fù)梯度方向?yàn)樗阉鞣较?，?huì)產(chǎn)生鋸齒現(xiàn)象。,為避免鋸齒的發(fā)生，取下一次的迭代搜索方向直接指向極 小點(diǎn)，如果選定這樣的搜索方向，對(duì)于二元二次函數(shù)只需 進(jìn)行兩次直線搜索就可以求到極小點(diǎn)。,.,應(yīng)滿足什么條件？,對(duì)于二次函數(shù) 在 處取得極小點(diǎn)的必要條件,等式兩邊同乘 得,是對(duì)G的共軛方向。,.,三、共軛方向法,1、選定初始點(diǎn) ，下降方向 和收斂精度，k=0。,2、沿 方向進(jìn)行一維搜索，得,3、判斷 是否滿足，若滿足則打印,否則轉(zhuǎn)4。,4、提供新的共軛方向 ，使,5、置 ，轉(zhuǎn)2。,.,.,第五節(jié) 共軛梯度法,共軛梯度法是共軛方向法的一種，共軛向量有迭代點(diǎn) 的負(fù)梯度構(gòu)造出來(lái)，所以稱共軛梯度法。,從

22、點(diǎn) 出發(fā)，沿G某一共軛方向 作一維搜索,到達(dá),而在點(diǎn) 、 處的梯度分別為：,.,.,圖4-9 共軛梯度法的幾何說(shuō)明,.,.,第六節(jié)變尺度法,變尺度法的基本思想：,前面討論的梯度法和牛頓法，它們的迭代公式可以看作下列 公式的特例。,變尺度法是對(duì)牛頓法的修正，它不是計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)的矩陣和 它的逆矩陣，而是設(shè)法構(gòu)造一個(gè)對(duì)稱正定矩陣H來(lái)代替Hesse 矩陣的逆矩陣。并在迭代過(guò)程中，使其逐漸逼近H-1 。,由于對(duì)稱矩陣H在迭代過(guò)程中是不斷修正改變的，它對(duì)于一 般尺度的梯度起到改變尺度的作用，因此H又稱變尺度矩陣。,.,一、尺度矩陣的概念,變量的尺度變換是放大或縮小各個(gè)坐標(biāo)。,通過(guò)尺度變換可以把函數(shù)的偏心程

23、度降低到最低限度。,對(duì)于一般二次函數(shù),如果進(jìn)行尺度變換,.,則在新的坐標(biāo)系中，函數(shù)的二次項(xiàng)變?yōu)?選擇這樣變換的目的：降低二次項(xiàng)的偏心程度。,若矩陣G是正定的，則總存在矩陣Q使,使得函數(shù)偏心度變?yōu)榱恪?用Q-1 右乘等式兩邊，得,再用Q左乘等式兩邊，得,所以,.,說(shuō)明二次函數(shù)矩陣G的逆矩陣，可以通過(guò)尺度變換矩陣Q 求得。,這樣，牛頓法迭代過(guò)程中的牛頓方向可寫成：,三、變尺度法的一般步驟,.,.,第七節(jié) 坐標(biāo)輪換法,坐標(biāo)輪換法是每次搜索只允許一個(gè)變量變化，其余變量保持 不變，即沿坐標(biāo)方向輪流進(jìn)行搜索的尋優(yōu)方法。,它把多變量的優(yōu)化問(wèn)題輪流地轉(zhuǎn)化成單變量的優(yōu)化問(wèn)題。,因此又稱變量輪換法。,其基本原理是

24、將一個(gè)多維的無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列較低維的最優(yōu)化問(wèn)題來(lái)求解，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是先將(n-1)個(gè)變量固定不動(dòng)，只對(duì)第一個(gè)變量進(jìn)行一維搜索得到最優(yōu)點(diǎn)x1（1）。然后，又保持(n-1)個(gè)變量不變，再對(duì)第二個(gè)變量進(jìn)行一維搜索到x2（1）等等。,.,.,圖412 坐標(biāo)輪換法原理圖（動(dòng)畫演示）,.,2. 搜索方向與步長(zhǎng)的確定,（1）搜索方向的確定,對(duì)于第k輪第i次的計(jì)算,第k輪第I次的迭代方向，它輪流取n維坐標(biāo)的單位向量。,.,3.搜索步長(zhǎng)的確定,關(guān)于 值通常有以下幾種取法 （1）加速步長(zhǎng)法 （2）最優(yōu)步長(zhǎng)法 最優(yōu)步長(zhǎng)法就是利用一維最優(yōu)搜索方法來(lái)完成每一次迭代，即 此時(shí)可以采用0.618方法或二次插值方

25、法來(lái)計(jì)算 的值。,.,圖413 加速步長(zhǎng)法的搜索路線,.,圖414 最優(yōu)步長(zhǎng)法的搜索路線,.,4 . 坐標(biāo)輪換法存在的問(wèn)題,圖415 坐標(biāo)輪換法在各種不同情況下的效能 （a）搜索有效；（b）搜索低效；（c）搜索無(wú)效,.,第八節(jié) Powell法（方向加速法）,Powell法是利用共軛方向可以加速收斂的性質(zhì)所形成的一種搜索算法。,一、共軛方向的生成,.,.,二、基本算法,.,三、改進(jìn)的算法,在鮑維爾基本算法中，每一輪迭代都用連結(jié)始點(diǎn)和終點(diǎn) 所產(chǎn)生出的搜索方向去替換原來(lái)向量組中的第一個(gè)向量， 而不管它的“好壞”。,改進(jìn)的算法是：首先判斷原向量組是否需要替換。如需要 替換，在產(chǎn)生新的向量。,.,.,第

26、六章 約束優(yōu)化方法,根據(jù)求解方式的不同，可分為直接解法和間接解法兩類。,機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的問(wèn)題，大多屬于約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，其數(shù)學(xué)模型為：,直接解法是在滿足不等式約束的可行設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)直接求 出問(wèn)題的約束最優(yōu)解。,屬于這類方法的有：隨機(jī)實(shí)驗(yàn)法、隨機(jī)方向搜索法、 復(fù)合形法、可行方向法等。,.,間接解法是將約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題來(lái) 解的一種方法。,由于間接解法可以選用已研究比較成熟的無(wú)約束優(yōu)化方法， 并且容易處理同時(shí)具有不等式約束和等式約束的問(wèn)題。因而在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)得到廣泛的應(yīng)用。,間接解法中具有代表性的是懲罰函數(shù)法。,直接解法的基本思想：,在由m個(gè)不等式約束條件gu(x)0所確定的可行域

27、內(nèi)，選擇一個(gè)初始點(diǎn)x(0)，然后確定一個(gè)可行搜索方向S，且以適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)沿S方向進(jìn)行搜索，取得一個(gè)目標(biāo)函數(shù)有所改善的可行的新點(diǎn)x(1)，即完成了一次迭代。以新點(diǎn)為起始點(diǎn)重復(fù)上述搜索過(guò)程，每次均按如下的基本迭代格式進(jìn)行計(jì)算：,.,x(k+1) x(k)+(k) S(k) (k=0,1,2,) 逐步趨向最優(yōu)解，直到滿足終止準(zhǔn)則才停止迭代。,.,直接解法的原理簡(jiǎn)單，方法實(shí)用，其特點(diǎn)是：,1）由于整個(gè)過(guò)程在可行域內(nèi)進(jìn)行，因此，迭代計(jì)算不論 何時(shí)終止，都可以獲得比初始點(diǎn)好的設(shè)計(jì)點(diǎn)。,2）若目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，可行域?yàn)橥辜瑒t可獲得全域 最優(yōu)解，否則，可能存在多個(gè)局部最優(yōu)解，當(dāng)選擇的初始 點(diǎn)不同，而搜索到不同

28、的局部最優(yōu)解。,3）要求可行域有界的非空集。,.,a) 可行域是凸集；b)可行域是非凸集,.,間接解法的求解思路：,將約束函數(shù)進(jìn)行特殊的加權(quán)處理后，和目標(biāo)函數(shù)結(jié)合起來(lái)， 構(gòu)成一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè) 或一系列的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。,新目標(biāo)函數(shù),加權(quán)因子,然后對(duì)新目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無(wú)約束極小化計(jì)算。,.,.,第二節(jié)隨機(jī)方向法,隨機(jī)方向法的基本思路：,在可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)，利用隨機(jī)數(shù)的概率特性，產(chǎn) 生若干個(gè)隨機(jī)方向，并從中選擇一個(gè)能使目標(biāo)函數(shù)值下降 最快的隨機(jī)方向作為搜索方向d。,從初始點(diǎn)x0出發(fā)，沿d 方向以一定步長(zhǎng)進(jìn)行搜索，得到新點(diǎn) X，新點(diǎn)x應(yīng)滿足約束條件且f(x)f(x0)

29、，至此完成一次迭代。,基本思路如圖所示。,隨機(jī)方向法程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，搜索速度快，是解決小型機(jī)械優(yōu) 化問(wèn)題的十分有效的算法。,.,.,一、隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生,下面介紹一種常用的產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的數(shù)學(xué)模型,驟計(jì)算：,令,.,在任意(a,b)區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)數(shù),二、初始點(diǎn)的選擇,隨機(jī)方向法的初始點(diǎn)x0必須是一個(gè)可行點(diǎn)，既滿足全部不等式約束條件。,初始點(diǎn)可以通過(guò)隨機(jī)選擇的方法產(chǎn)生。,1）輸入設(shè)計(jì)變量的下限值和上限值，即,2）在區(qū)間（0，1）內(nèi)產(chǎn)生n個(gè)偽隨機(jī)數(shù),3）計(jì)算隨機(jī)點(diǎn)x的各分量,.,4）判別隨機(jī)點(diǎn)x是否可行，若隨機(jī)點(diǎn)可行，用x代替x0為 初始點(diǎn)；若非可行點(diǎn)，轉(zhuǎn)到步驟2）重新產(chǎn)生隨機(jī)點(diǎn)，只 到可行為止。,三、可行搜

30、索方向的產(chǎn)生,產(chǎn)生可行隨機(jī)方向的方法：從k個(gè)隨機(jī)方向中， 選取一個(gè) 較好的方向。其計(jì)算步驟為：,.,2)取一試驗(yàn)步長(zhǎng)a0，按下式計(jì)算k個(gè)隨機(jī)點(diǎn),3）檢驗(yàn)k個(gè)隨機(jī)點(diǎn)是否為可行點(diǎn)，除去非可行點(diǎn)，計(jì)算余下 的可行點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，比較其大小，選出目標(biāo)函數(shù)最小的點(diǎn) XL 。,4)比較XL 和X0兩點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，若f(XL) f(X0)，則步長(zhǎng)0 縮小，專步驟1）重新計(jì)算，直至f(XL) f(X0)為止。如果0 縮小到很小，仍然找不到一個(gè)XL，使f(XL) f(X0)則說(shuō)明X0是一個(gè)局部極小點(diǎn)，此時(shí)可更換初始點(diǎn)，轉(zhuǎn)步驟1）。,.,產(chǎn)生可行搜索方向的條件為：,則可行搜索方向?yàn)椋?四、搜索步長(zhǎng)的確定,步長(zhǎng)由

31、加速步長(zhǎng)法確定。,.,五、隨機(jī)方向法的計(jì)算步驟,第三節(jié)復(fù)合形法,復(fù)合形法是求解約束優(yōu)化問(wèn)題的一種重要的直接解法。,它的基本思路是在可行域內(nèi)構(gòu)造一個(gè)具有k個(gè)頂點(diǎn)的初始復(fù)合形。對(duì)該復(fù)合形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行比較，找到目標(biāo)函數(shù)最大的頂點(diǎn)（最壞點(diǎn)），然后按一定的法則求出目標(biāo)函數(shù)值有所下降的可行的新點(diǎn)，并用此點(diǎn)代替最壞點(diǎn)，構(gòu)成新的復(fù)合形，復(fù)合形的形狀沒(méi)改變一次，就向最優(yōu)點(diǎn)移動(dòng)一步，直至逼近最優(yōu)點(diǎn)。,由于復(fù)合形的形狀不必保持規(guī)則的圖形，對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)無(wú)特殊要求，因此這種方法適應(yīng)性強(qiáng)，在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中應(yīng)用廣泛。,.,.,初始復(fù)合形生成的方法：,1）由設(shè)計(jì)者決定k個(gè)可形點(diǎn)，構(gòu)成初始復(fù)合形。設(shè)計(jì)變量少時(shí)

32、適用。,2）由設(shè)計(jì)者選定一個(gè)可形點(diǎn)，其余的k-1個(gè)可形點(diǎn)用隨機(jī)法 產(chǎn)生。,.,3）由計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成初始復(fù)合形的所有頂點(diǎn)。,二、復(fù)合形法的搜索方法,1.反射,1）計(jì)算復(fù)合形各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，并比較其大小，求出 最好點(diǎn)XL、最壞點(diǎn)XH 及 次壞點(diǎn)XG，即,.,2）計(jì)算除去最壞點(diǎn)XH 外的（k-1）個(gè)頂點(diǎn)的中心XC,3）從統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)來(lái)看，一般情況下，最壞點(diǎn)XH和中心點(diǎn)XC 的連線方向?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)的下降方向。,.,4）判別反射點(diǎn)XR的位置,若XR 為可行點(diǎn)，則比較XR 和XH 兩點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，如果f(XR) =f(XH),則將縮小0.7倍，重新計(jì)算新的反射點(diǎn)，若仍不行，繼續(xù)縮小，直至f(XR) 1

33、。,內(nèi)點(diǎn)法的特點(diǎn)： 1初始點(diǎn)必須為嚴(yán)格內(nèi)點(diǎn) 2不適于具有等式約束的數(shù)學(xué)模型 3迭代過(guò)程中各個(gè)點(diǎn)均為可行設(shè)計(jì)方案 4一般收斂較慢 5初始罰因子要選擇得當(dāng)6罰因子為遞減，遞減率c有0c1。,.,三、混合懲罰函數(shù)法,1. 混合懲罰函數(shù)法及其算法步驟,在構(gòu)造懲罰函數(shù)時(shí)，可以同時(shí)包括障礙項(xiàng)與懲罰項(xiàng)，并將懲罰因子統(tǒng)一用r（k）表示：,由于內(nèi)點(diǎn)法容易處理不等式約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，而外點(diǎn)法又容易處理等式約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，因而可將內(nèi)點(diǎn)法與外點(diǎn)法結(jié)合起來(lái)，處理同時(shí)具有等式約束和不等式約束的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。,.,這種同時(shí)處理等式和不等式約束的懲罰函數(shù)法稱為混合懲罰函數(shù)法?；旌蠎土P函數(shù)法與前述內(nèi)點(diǎn)法和外點(diǎn)法一樣，也屬于序

34、列無(wú)約束極小化(SUMT)方法中的種方法。,.,第八章機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例,第一節(jié)應(yīng)用技巧,一、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般過(guò)程,機(jī)械設(shè)計(jì)的全過(guò)程一般可分為：,1.建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。 2.選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法。 3.編寫計(jì)算機(jī)程序。 4.準(zhǔn)備必須的初始數(shù)據(jù)并上機(jī)計(jì)算。 5.對(duì)計(jì)算機(jī)求得的結(jié)果進(jìn)行必要的分析。,.,二、建立數(shù)學(xué)模型的基本原則,數(shù)學(xué)模型的建立要求確切、簡(jiǎn)潔的反映工程問(wèn)題的客 觀實(shí)際。,數(shù)學(xué)模型的三要素：設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件。,1.設(shè)計(jì)變量的選擇,在充分了解設(shè)計(jì)要求的基礎(chǔ)上，應(yīng)根據(jù)各設(shè)計(jì)參數(shù) 對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響程度分析其主次，應(yīng)盡量減少設(shè)計(jì) 變量的數(shù)目，以簡(jiǎn)化優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。,應(yīng)注意各設(shè)計(jì)

35、變量應(yīng)相互獨(dú)立，否則會(huì)使目標(biāo)函數(shù) 出現(xiàn)“山脊”或“溝谷”，給優(yōu)化帶來(lái)困難。,.,3.約束條件的確定,2.目標(biāo)函數(shù)的確定,把最重要的指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)，其余的次要的指標(biāo)可 作為約束條件。,對(duì)于一般機(jī)械，可按重量最輕或體積最小的要求建立目標(biāo)函數(shù)；,對(duì)應(yīng)力集中現(xiàn)象尤其突出的構(gòu)件，則以應(yīng)力集中系數(shù)最小為追 求的目標(biāo)。,對(duì)于精密儀器，應(yīng)按其精度最高或誤差最小的要求建立目標(biāo)函 數(shù)。,約束條件是就工程設(shè)計(jì)本身而提出的對(duì)設(shè)計(jì)變量取值 范圍的限制條件。,.,三、數(shù)學(xué)模型的尺度變換,1.目標(biāo)函數(shù)的尺度變換,.,2.設(shè)計(jì)變量的尺度變換,當(dāng)各設(shè)計(jì)變量之間在量級(jí)上相差很大時(shí)，在給定的搜索 方向上各自的靈敏度相差也很大。靈

36、敏度大的搜索變化 快，靈敏度小的搜索變化慢。為了消除這種差別，可以 對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行重新標(biāo)度。使它成為無(wú)量綱或規(guī)格化的 設(shè)計(jì)變量，這種處理稱設(shè)計(jì)變量的尺度變換。,.,3.約束函數(shù)的規(guī)格化,約束函數(shù)的尺度變換稱規(guī)格化。,由于各約束函數(shù)所表達(dá)的意義不同，使得各約束函數(shù) 值在量級(jí)上相差很大。,例如某熱壓機(jī)框架的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，許用應(yīng)力為 = 150MPa，而下橫梁的許用撓度=0.5mm，約束函數(shù) 為：,.,兩者對(duì)數(shù)值變化的靈敏度相差很大，這對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì) 是不利的。,例如采用懲罰函數(shù)時(shí)，兩者在懲罰項(xiàng)中的作用相差 很大，靈敏度高的約束條件在極小化過(guò)程中首先得到 滿足，而靈敏度小的幾乎得不到考慮。,這樣，各約束函數(shù)得取值范圍都限制在0，1之 間，起到穩(wěn)定搜索過(guò)程和加速收斂的作用。,.,第二節(jié)機(jī)床主軸結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì),一、數(shù)學(xué)模型的建立,.,在設(shè)計(jì)這根主軸時(shí)，有兩個(gè)重要因素需要考慮。一 是主軸的自重；一是主軸伸出端c點(diǎn)的撓度。,對(duì)于普通機(jī)床，不要求過(guò)高的加工精度，對(duì)機(jī)床主 軸的優(yōu)化設(shè)計(jì)，以選取主軸的自重最輕為目標(biāo)，外伸 端的撓度為約束條件。,當(dāng)主軸的材料選定時(shí)，其設(shè)計(jì)方