大學(xué)應(yīng)用物理第三章能量守恒定律

1、第三章 能量定理和守恒定律,本章內(nèi)容,知識要點及教學(xué)要求,A類：,動量定理和動量守恒定律；,質(zhì)點和剛體的角動量定理和角動量守恒定律；,功和能：保守力做功、勢能、變力做功、動能定理、功能原理、機械能守恒定律以及能量轉(zhuǎn)換和守恒定律。,B類：,剛體轉(zhuǎn)動的功和能之間的關(guān)系；,碰撞。,教學(xué)要求,掌握動量定理和動量守恒定律，并能分析、解決簡單的力學(xué)問題；,理解功的概念，能計算直線運動情況下變力的功。理解保守力作功的特點及勢能的概念，會計算重力、彈性力和引力勢能；,掌握質(zhì)點的動能定理，能正確地用于質(zhì)點平面運動的力學(xué)問題；,掌握運用守恒定律分析問題的思想和方法，能分析簡單系統(tǒng)在平面內(nèi)運動的力學(xué)問題；,掌握剛體

2、繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理。會計算定軸轉(zhuǎn)動剛體的力矩作功。能運用轉(zhuǎn)動動能定理分析、計算簡單力學(xué)問題；,掌握角動量概念、角動量定理和角動量守恒定律，并能用它們分析解決簡單的力學(xué)問題；,了解碰撞的概念，掌握完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞的規(guī)律。,重點：,掌握并靈活運用三個運動定理及其守恒定律。,三個運動定理及其守恒定律在應(yīng)用時對所研究對象的劃分和選取、守恒定律條件的審核，以及綜合性力學(xué)問題的分析求解。,難點：,授課學(xué)時：,1216,3.1預(yù)備知識,一、中學(xué)物理知識要點,1.恒力的功:,或：,2.功率：,平均功率：,瞬時功率：,3.動量：,4.沖量：,二、相關(guān)知識,數(shù)學(xué)知識 矢量的運算及其分解； 多重微分與

3、積分； 梯度的概念； 物理知識 描述圓周運動的物理量及質(zhì)點作圓周運動時所遵循的規(guī)律； 右手螺旋法則。,3.2.1動量定理 動量守恒定律,一、質(zhì)點的動量定理,由牛頓運動定律：,有：,力F 的元沖量,（動量定理的微分形式）,結(jié)論：,質(zhì)點動量的增量等于合外力乘以作用時間的增量。,對上式積分有：,（動量定理積分形式）,x,y,z,O,結(jié)論：質(zhì)點動量的增量等于合力對質(zhì)點作用的沖量 質(zhì)點動量定理,討論,物理意義：,質(zhì)點動量的變化依賴于作用力的時間累積過程,合力對質(zhì)點作用的沖量,質(zhì)點動量矢量的變化,矢量性：,沖量的方向與動量的增量方向相同,動量定理在直角坐標(biāo)系中的投影式：,沖量的任何分量等于在它自己方向上的

4、動量分量的增量,在力的整個作用時間內(nèi)，平均力的沖量等于變力的沖量,平均力,利用沖力：增大沖力，減小作用時間沖床 避免沖力：減小沖力，增大作用時間輪船靠岸時的緩沖,應(yīng)用：,二、質(zhì)點系的動量定理,設(shè)有一系統(tǒng)由n個質(zhì)點組成，由牛頓第二定律可得：,對于第一個質(zhì)點：,即 ：,同理，對于第二個質(zhì)點：,對于第三個質(zhì)點：,對于第n個質(zhì)點：,以上各式相加并考慮到：,（質(zhì)點系動量定理） （微分形式）,兩邊積分：,（質(zhì)點系動量定理） （積分形式）,表示：某段時間內(nèi)，質(zhì)點系動量的增量，等于作用在質(zhì)點系上所有外力在同一時間內(nèi)的沖量的矢量和 質(zhì)點系動量定理,討論,只有外力可改變系統(tǒng)的總動量,內(nèi)力可改變系統(tǒng)內(nèi)單個質(zhì)點的動量

5、 內(nèi)部作用復(fù)雜,應(yīng)用動量定理的解題思路,例 ：一質(zhì)量為0.05kg、速率為10ms-1的剛球,以與鋼板法線呈45角的方向撞擊在鋼板上,并以相同的速率和角度彈回來 .設(shè)碰撞時間為0.05s.求在此時間內(nèi)鋼板所受到的平均沖力 .,解 建立如圖坐標(biāo)系, 由動量定理得,方向沿 軸反向,三、動量守恒定律,當(dāng),質(zhì)點系動量守恒定律,動量守恒的分量表述,如果系統(tǒng)所受外力的矢量和并不為零，但合外力在某個坐標(biāo)軸上的分量為零，那么，系統(tǒng)的總動量雖不守恒，但它在該坐標(biāo)軸的分動量則是守恒的，亦稱總動量在該方向守恒。,說明,動量守恒定律適用于慣性系,守恒的條件：系統(tǒng)所受的合外力為零。,動量守恒定律是物理學(xué)中最普遍、最基本

6、的定律之一。也適用于高速，微觀領(lǐng)域,例：質(zhì)量為M的車在光滑的水平面上運動，一質(zhì)量為m的人站在車上。而車以速率 向右運動，現(xiàn)在人以相對于車的速率 向左跑動。試求人在左端跳離車前，車的速度為多大?,解：設(shè)人跳離車前車的速率為,此時，人相對于地的速率為,根據(jù)動量守恒定律有：,例： 如圖所示，質(zhì)量為M的滑塊正沿著光滑水平地面向右滑動，一質(zhì)量為m的小球?qū)Φ匾运较蛴宜俣?與滑塊斜面相碰撞，碰后小球豎直彈起，速率為 (對地)，若碰撞時間為 ，試計算此過程中，滑塊對地的平均作用力和滑塊速度增量。,解：根據(jù)質(zhì)點系動量定理，在豎直方向有：,設(shè)滑塊碰撞前后速度分別為V及V，在水平方向系統(tǒng)不受外力作用，故動量守恒。

7、,課后作業(yè),P118 6,3.2.2 動能定理 能量守恒定律,一、變力的功,a,b,求：質(zhì)點M 在變力作用下，沿曲線軌跡由a 運動到b，變力作的功。,一段上的功：,M,在,在ab一段上的功為：,說明：,合力的功等于各分力的功的代數(shù)和,在直角坐標(biāo)系中：,在自然坐標(biāo)系中：,功是標(biāo)量，且有正負(fù),一般來說，功的值與質(zhì)點運動的路徑有關(guān),工程上常采用示功圖來計算功。如圖所示，圖示曲線與橫軸圍的面積在數(shù)值上就等于功的絕對值。,質(zhì)量為10kg 的質(zhì)點，在外力作用下做平面曲線運動，該質(zhì) 點的速度為 ,開始時質(zhì)點位于坐標(biāo)原點。,解,在質(zhì)點從 y = 16m 到 y = 32m 的過程中，外力做的功。,求,例,，,

8、求,t = 02s內(nèi)F 作的功及t = 2s 時的功率。,解,例 已知 m = 2kg , 在 F = 12t 作用下由靜止做直線運動,二、保守力的功 勢能,1.幾種常見力的功,（1）重力的功,m,G,如圖所示，任一位移元可表示為：,重力在任一位移元上所作的元功為：,重力mg 在曲線路徑 M1M2 上的功為,結(jié)論,重力的功只與始、末位置有關(guān)，而與質(zhì)點所行經(jīng)的路徑無關(guān)。,質(zhì)點上升時，重力作負(fù)功；質(zhì)點下降時，重力作正功。,（2）引力作功,M,a,b,m,上的元功為,在位移元,萬有引力F在全部路程中的功為,結(jié)論,萬有引力的功，也是只與始、末位置有關(guān)，而與行經(jīng)的路徑無關(guān)。,質(zhì)點移近質(zhì)點時，萬有引力作正

9、功；質(zhì)點A遠(yuǎn)離質(zhì)點O 時，萬有引力作負(fù)功。,（3）彈性力的功 （演示）,彈簧彈性力：,彈性力作的元功為：,由x1 到x2 路程上彈性力的功為,結(jié)論,彈性力的功只與始、末位置有關(guān)，而與質(zhì)點所行經(jīng)的路徑無關(guān)。,彈簧的變形減小時，彈性力作正功；彈簧的變形增大時，彈性力作負(fù)功。,（4）摩擦力的功,在這個過程中所作的功為,摩擦力,摩擦力方向始終與質(zhì)點速度方向相反,結(jié)論,摩擦力的功，不僅與始、末位置有關(guān)，而且與質(zhì)點所行經(jīng)的路徑有關(guān) 。,保守力與非保守力,保守力：作功只與初始和終了位置有關(guān)而與路徑無關(guān)的力 萬有引力、重力、彈性力 非保守力：作功與路徑有關(guān)的力摩擦力,保守力作功特點的數(shù)學(xué)表達(dá)式,表示：在保守力

10、作用下，物體沿任一閉合曲線路徑繞行一周，保守力F所作的功為零。,勢能：與物體間相互作用及相對位置有關(guān)的能量 .,重力功：,引力功：,彈力功：,重力勢能：,引力勢能：,彈性勢能：,保守力的功：,勢能和保守力的微分關(guān)系,表示：保守力等于勢能梯度的負(fù)值，這就是勢能和保守力的微分關(guān)系。,討論,勢能是狀態(tài)函數(shù),勢能具有相對性，勢能大小與勢能零點的選取有關(guān) .,勢能是屬于系統(tǒng)的 .,勢能計算：,令,勢能曲線,三、質(zhì)點的動能定理,表示：作用于質(zhì)點的合力在某一路程中對質(zhì)點所作的功，等于質(zhì)點在同一路程的始、末兩個狀態(tài)動能的增量。,說明,Ek 是一個狀態(tài)量, W是過程量。,動能定律只用于慣性系。,把所有質(zhì)點的方程

11、相加有:,表示：作用于質(zhì)點系的所有力作的功等于系統(tǒng)動能增量。這就是質(zhì)點系的動能定理。,四、質(zhì)點系動能定理,把質(zhì)點動能定理應(yīng)用于質(zhì)點系內(nèi)所有質(zhì)點，其中第i個質(zhì)點為：,五、質(zhì)點系的功能原理,對質(zhì)點系動能定理可寫成:,其中,定義：,，則系統(tǒng)機械能的增量為：,功能原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式,討論,只能適用于慣性系；,功與能量的區(qū)別：功是能量變化與轉(zhuǎn)化的量度，是過程量。能量是狀態(tài)量，與狀態(tài)有關(guān)。,功能原理與質(zhì)點系動能定理不同之處是功能原理將保守內(nèi)力作的功用勢能差來代替。因此，在用功能原理解題的過程中，計算功時，要注意將保守內(nèi)力的功除外。,課后作業(yè),P119 9,六、機械能守恒定律,當(dāng) 和 時，有 ，即：,機械能守

12、恒定律,守恒定律是對一個系統(tǒng)而言的,守恒條件,說明,討論,如圖的系統(tǒng)，物體 A，B 置于光滑的桌面上，物體 A 和 C, B 和 D 之間摩擦因數(shù)均不為零，首先用外力沿水平方向相向推壓 A 和 B， 使彈簧壓縮，后拆除外力， 則 A 和 B 彈開過程中， 對 A、B、C、D 組成的系統(tǒng),（A）動量守恒，機械能守恒 .,（B）動量不守恒，機械能守恒 .,（C）動量不守恒，機械能不守恒 .,（D）動量守恒，機械能不一定守恒 .,例：一根長為l，質(zhì)量為M的勻質(zhì)細(xì)直棒。求（1）將它由平放在地面變?yōu)樨Q直在地面，至少需要對它作多少功?（2）使其由豎直于地面的位置從靜止開始無滑動地倒下，當(dāng)它倒在地面瞬時，棒

13、頂端速度為多大？,解:（1）取初始位置為重力勢能的勢能零點，在棒和地球組成的系統(tǒng)內(nèi)，由功能原理有,（2）同理分析，對棒和地球組成的系統(tǒng)有：,棒頂端落地瞬時速率為：,例 兩個質(zhì)量分別為m1，m2的木塊A和B，用一個質(zhì)量忽略不計、倔強系數(shù)為k的彈簧連接起來，放置在光滑水平面上使A緊靠墻壁，如圖,現(xiàn)用力推木塊B使彈簧壓縮，然后釋放，已知 ，求：（1）釋放后，A、B木塊速度相等時的瞬時速度的大??；（2）釋放后，彈簧的最大伸長量。,解：（1）彈簧和地球組成的系統(tǒng)內(nèi),彈簧恢復(fù)到原長時，A將要離開墻壁，設(shè)此時B的速度為 ，由機械能守恒，有:,A離開墻壁后，系統(tǒng)在光滑水平面上運動，系統(tǒng)動量守恒、機械能守恒，故

14、有:,當(dāng) 時，解得:,（2）彈簧有最大伸長時，,七、剛體定軸轉(zhuǎn)動動能定理,1.力矩所做的功,力的累積過程力矩的空間累積效應(yīng),O,. P,功的定義,力矩作功的微分形式,對一有限過程,若 M = C,( 積分形式 ）,討論,合力矩的功,力矩的功就是力的功。,內(nèi)力矩作功之和為零。,若剛體在恒力矩的作用下，dt時間內(nèi)，轉(zhuǎn)過了角度d， 則：,表示：力矩的功率等于力矩與角速度的乘積。當(dāng)功率一定時，轉(zhuǎn)速越大，力矩越?。晦D(zhuǎn)速越小，力矩越大。,2 力矩的功率,定義：,3. 轉(zhuǎn)動動能定理, 力矩功的效果,表示：繞定軸轉(zhuǎn)動剛體在任一過程中動能的增量，等于在該過 程中作用在剛體上所有外力所作功的總和。 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動

15、剛動能定理,對于一有限過程，剛體的角速度從 變成 ，那么,例 一根長為 l ，質(zhì)量為 m 的均勻細(xì)直棒，可繞軸 O 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時它在水平位置,解,由動能定理,求 它由此下擺 角時的 ,此題也可用機械能守恒定律方便求解,八、能量守恒定律,能量不能消失，也不能創(chuàng)造，只能從一種形式轉(zhuǎn)換為另一種形式。對一個封閉系統(tǒng)來說，不論發(fā)生何種變化，各種形式的能量可以互相轉(zhuǎn)換，但它們總和是一個常量。這一結(jié)論稱為能量轉(zhuǎn)換和守恒定律。,例如：利用水位差推動水輪機轉(zhuǎn)動，能使發(fā)電機發(fā)電，將機械能轉(zhuǎn)換為電能。,電流通過電熱器能發(fā)熱，把電能又轉(zhuǎn)換為熱能。,機械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在機械運動范圍內(nèi)的體現(xiàn),

16、能量守恒定律可以適用于任何變化過程,功是能量交換或轉(zhuǎn)換的一種度量,討論,課后作業(yè),P96 例3-19,3.2.3 角動量定理 角動量守恒定律,一、質(zhì)點的角動量定理,O,S,1. 質(zhì)點的角動量,說明,角動量是矢量,其大小為,其方向用右手螺旋法則確定.,特例：質(zhì)點作圓周運動,質(zhì)點的角動量與質(zhì)點的動量及位矢(取決于固定點的選擇)有關(guān),角動量的單位：,當(dāng)質(zhì)點作勻速直線運動時，質(zhì)點的角動量L保持不變。,2.質(zhì)點的角動量定理,表示：作用于質(zhì)點的合力對參考點O的力矩，等于質(zhì)點對該點O的角動量隨時間的變化率，這就是質(zhì)點角動量定理的微分形式。,與牛頓第二定律在形式相似M對應(yīng)F，L對應(yīng)P,力矩的時間積累，稱為力矩

17、的沖量或沖量矩,(質(zhì)點動量矩定理的積分形式),表示：質(zhì)點所受合力矩的沖量矩等于質(zhì)點的角動量的增量,說明,沖量矩是質(zhì)點動量矩變化的原因,質(zhì)點動量矩的變化是力矩對時間的積累結(jié)果,3. 質(zhì)點角動量守恒定律,質(zhì)點動量矩守恒定律,通常對有心力：,動量矩守恒定律是物理學(xué)的基本定律之一，它不僅適用于宏觀體系，也適用于微觀體系，且在高速低速范圍均適用,討論,過O點, M=0,動量矩守恒,質(zhì)點角動量守恒的條件是M=0，有兩種情況：, ，即質(zhì)點所受的合外力為零。,合力不為零，但合外力矩為零。,例,一質(zhì)量為m的物塊拴在穿過小孔的細(xì)繩的一端，在光滑的水平臺面上以角速度 作半徑為 的圓周運動，如圖所示。自 時刻起，手拉

18、著繩的另一端以勻速向下運動，使半徑逐漸減小。試求,（1）角速度與時間的關(guān)系 ?,（2）繩子拉力與時間的關(guān)系F（t）？,解：（1）選小球為研究對象，,二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理,1. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量,O,剛體上任一質(zhì)點對 Z 軸的角動量都具有相同的方向。,2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理,由轉(zhuǎn)動定律,（動量矩定理積分形式）,為剛體在t時間間隔內(nèi)所受的沖量矩。,表示：定軸轉(zhuǎn)動剛體所受合外力矩的沖量矩等于其角動量的增量。,3. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律（演示）,對定軸轉(zhuǎn)動剛體,說明,變形體繞某軸轉(zhuǎn)動時，若其上各點(質(zhì)元)轉(zhuǎn)動的角速度相同，則變形體對該軸的動量矩,守 恒條件,內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動量.,角動量守恒定律是自然界的一個基本定律.,當(dāng)變形體所受合外力矩為零時，變形體的動量矩也守恒,如圖所示，一長為l、質(zhì)量為M的桿可繞支點O自由轉(zhuǎn)動。一質(zhì)量為m、速度為的子彈射入距支點為a的桿內(nèi)，并留在其中。若桿的偏轉(zhuǎn)角為300，問子彈的初速為多少。,解：把子彈和桿看作一個系統(tǒng)。系