2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學 (新課標Ⅱ卷) word版

1、20162016 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學理科數(shù)學 注意事項：注意事項： 1. 1.本試卷分第卷本試卷分第卷( (選擇題選擇題) )和第卷和第卷( (非選擇題非選擇題) )兩部分兩部分. .第卷第卷 1 1 至至 3 3 頁，第卷頁，第卷 3 3 至至 5 5 頁頁. . 2. 2.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應的位置答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應的位置. . 3. 3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效. . 4. 4. 考試結束后，將本試題和答題卡一并

2、交回考試結束后，將本試題和答題卡一并交回. . 第卷第卷 一一. . 選擇題：本題共選擇題：本題共 1212 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有分，在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的一項是符合題目要求的. . （1）已知z (m3)(m1)i在復平面內對應的點在第四象限，則實數(shù) m 的取值范 圍是（） ， （B） (1，3)3) （C） (1,+) （D） (-， （A） (31) （2）已知集合 A 1,2,3 ， B x |(x 1)(x 2) 0,xZ Z ，則A B （ ） ， ， 2， 3（D）1， 01 ， ， 2， 3， 2（C

3、）01 （A）1（B）1 （3）已知向量 a a (1,m)，b b=(3,2) ，且 (a a+ +b b) b b ，則 m=（） （A）8（B）6（C）6（D）8 22x y 2x8y 13 0 的圓心到直線 ax y 1 0 的距離為 1，（4） 圓則 a= （） 43 （A） 3 （B） 4 （C） 3 （D）2 （5）如圖，小明從街道的E 處出發(fā)，先到F 處與小紅會合，再一起到位于G 處的老年 公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（） （A）24（B）18（C）12（D）9 （6）右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為 （A）20（

4、B）24（C）28（D）32 （7）若將函數(shù) y=2sin 2x 的圖像向左平移個單位長度，則平移后圖像的對稱軸為（） 12 kkkk （A）x=(kZ Z)（B）x=+(kZ Z)（C）x=(kZ Z)（D）x=+ 2626212212 (kZ Z) （8）中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，右圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖 .執(zhí)行該程序框 圖，若輸入的 x=2，n=2，依次輸入的 a 為 2，2，5，則輸出的 s=（） （A）7（B）12（C）17（D）34 3 （9）若 cos( )=，則 sin 2 =（） 45 7117 （A）（B）（C）（D） 255525 （10） 從區(qū)間 0,1隨機

5、抽取 2n 個數(shù) x 1 x 2,， ，n， xy 1 y 2， ，n， 構成 n 個數(shù)對x 1,y1 ， y x 2 , y 2 ，x n , y n ，其中兩數(shù)的平方和小于1 的數(shù)對共有 m 個，則用隨機模擬的方法 得到的圓周率的近似值為（） 4n2n4m2m （A） m （B） m （C） n （D） n x2y2 （11）已知 F1，F(xiàn)2是雙曲線 E： 2 2 1的左，右焦點，點M 在 E 上，M F1與x 軸 ab 垂直，sinMF 2F1 （A） 2 （B） 1 ,則 E 的離心率為（） 3 3 （C） 3 （D）2 2 x1 y f (x) （12）已知函數(shù) f (x)(xR )

6、 滿足 f (x) 2 f (x) ，若函數(shù)y 與圖 x 像的交點為(x 1, y1),(x2 , y 2 ),(x m , y m ), 則(x y ) （） ii i1 m （A）0（B）m（C）2m（D）4m 第 II 卷 本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)題第(21)題為必考題， 每個試題考生都 必須作答.第(22)題第(24)題為選考題，考生根據(jù)要求作答. 二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分 45 (13)ABC 的內角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c， 若 cos A=， cos C=， a=1， 則 b= . 513 (14)、 是兩個平面，m、n

7、是兩條直線，有下列四個命題： （1）如果 mn，m，n，那么 . （2）如果 m，n，那么 mn. （3）如果 ，m，那么 m. （4）如果 mn，那么 m 與 所成的角和 n 與 所成的角相等. 其中正確的命題有.(填寫所有正確命題的編號） （15）有三張卡片，分別寫有1 和 2，1 和 3，2 和 3。甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲 看了乙的卡片后說： “我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是 2” ，乙看了丙的卡片后說： “我與丙 的卡片上相同的數(shù)字不是1” ，丙說： “我的卡片上的數(shù)字之和不是5” ，則甲的卡片上的數(shù)字 是。 （16） 若直線 y=kx+b 是曲線 y=lnx+2 的切線， 也

8、是曲線y=ln （x+1） 的切線， 則 b=。 三.解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.（本小題滿分 12 分） S n 為等差數(shù)列an的前 n 項和，且a1=1 ，S7 28.記b n =lga n ，其中x表示不超過 x 的最大整數(shù)，如 0.9 =0， lg99 =1. （I）求b 1 ，b 11 ，b 101 ； （II）求數(shù)列b n的前 1 000 項和. 18.（本小題滿分 12 分） 某險種的基本保費為 a（單位：元） ，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年 度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關聯(lián)如下： 上年度出險次 數(shù) 保費 一 年 內 出 險次數(shù) 概

9、率 0 0.30 0 0.85a 1 a 1 0.15 2 1.25a 2 0.20 3 1.5a 3 0.20 4 1.75a 4 0.10 5 2a 設該險種一續(xù)保人一年內出險次數(shù)與相應概率如下： 5 0. 05 （I）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率； （II）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率； （III）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值. 19.（本小題滿分 12 分） 如圖，菱形 ABCD 的對角線 AC 與 BD 交于點 O，AB=5，AC=6，點 E,F 分別在 AD,CD 上， 5 ，EF 交 BD 于點 H.將DEF 沿

10、EF 折到DEF的位置，OD 10. 4 （I）證明：DH 平面 ABCD； （II）求二面角B DAC的正弦值. AE=CF= 20. （本小題滿分 12 分） x2y2 1的焦點在x軸上， 已知橢圓 E:A 是 E 的左頂點， 斜率為 k(k0)的直線交 E 于 A,M t3 兩點，點 N 在 E 上，MANA. （I）當 t=4，AM AN時，求AMN 的面積； （II）當2 AM AN時，求 k 的取值范圍. （21） （本小題滿分 12 分） (I)討論函數(shù)f(x) x 2 xe 的單調性，并證明當x0 時，(x2)ex x2 0; x 2 exaxa g x） =(x 0) 有最小

11、值.設 g（x）的最小值為(II)證明：當a0,1)時，函數(shù)（ 2x h(a)，求函數(shù)h(a)的值域. 請考生在請考生在 2222、2323、2424 題中任選一題作答題中任選一題作答, ,如果多做如果多做, ,則按所做的第一題計分則按所做的第一題計分, ,做答時請寫清題做答時請寫清題 號號 （22） （本小題滿分 10 分）選修 4-1：幾何證明選講 如圖，在正方形 ABCD，E,G 分別在邊 DA,DC 上（不與端點重合） ，且 DE=DG，過 D 點作 DFCE，垂足為 F. (I) 證明：B,C,G,F四點共圓； (II)若 AB=1，E 為 DA 的中點，求四邊形 BCGF 的面積.

12、 （23） （本小題滿分 10 分）選修 44：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系 xoy 中，圓 C 的方程為（x+6）2+y2=25. （I）以坐標原點為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C 的極坐標方程； （II）直線 l 的參數(shù)方程是（t 為參數(shù)）,l 與 C 交于 A、B 兩點，AB=， 求 l 的斜率。 （24） （本小題滿分 10 分） ，選修 45：不等式選講 已知函數(shù)f x x 11 x，M 為不等式 f(x) 2 的解集. 22 （I）求 M； （II）證明：當 a,bM 時，a+b1+ab。 20162016 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

13、 理科數(shù)學答案理科數(shù)學答案 第卷第卷 一一. .選擇題：選擇題： （1） 【答案】A （2） 【答案】C （3） 【答案】D （4） 【答案】A （5） 【答案】B （6） 【答案】C （7） 【答案】B （8） 【答案】C （9） 【答案】D （10） 【答案】C （11） 【答案】A （12） 【答案】B 第卷第卷 二、填空題二、填空題 (13)【答案】 21 13 (14) 【答案】 （15） 【答案】1 和 3 （16） 【答案】1ln2 三三. .解答題解答題 17.（本題滿分 12 分） 【答案】 （）b 1 0，b 11 1，b 101 2； （）1893. 【解析】 試題分析：

14、 （）先求公差、通項an，再根據(jù)已知條件求b 1 ，b 11 ，b 101 ； （）用分段函數(shù)表 示bn，再由等差數(shù)列的前n項和公式求數(shù)列bn的前 1 000 項和 試題解析： （）設a n 的公差為d，據(jù)已知有721d 28，解得d 1. 所以a n 的通項公式為a n n. b 1 lg1 0,b 11 lg111,b 101 lg101 2. 0, 1, （）因為bn 2, 3, 1 n 10, 10 n 100, 100 n 1000, n 1000. 所以數(shù)列b n 的前1000項和為190 2900311893. 考點：等差數(shù)列的的性質，前n項和公式，對數(shù)的運算. 【結束】 18.

15、（本題滿分 12 分） 【答案】 （）根據(jù)互斥事件的概率公式求解； （）由條件概率公式求解； （）記續(xù)保人 本年度的保費為X，求X的分布列，再根據(jù)期望公式求解. 【解析】 試題解析： （）設A表示事件： “一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費” ，則事件A發(fā)生當 且僅當一年內出險次數(shù)大于1，故P(A) 0.20.2 0.10.05 0.55. （）設B表示事件： “一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%” ，則事件B發(fā)生當且 僅當一年內出險次數(shù)大于3，故P(B) 0.10.05 0.15. 又P(AB) P(B)，故P(B| A) P(AB)P(B)0.153 . P(A)P(A)0.5511

16、因此所求概率為 3 . 11 （）記續(xù)保人本年度的保費為X，則X的分布列為 X0.85a P0.30 a 1.25a1.5a1.75a 0.200.200.10 2a 0.050.15 EX 0.85a0.30a0.151.25a0.201.5a0.201.75a0.102a0.05 1.23a 因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23 考點： 條件概率，隨機變量的分布列、期望. 【結束】 19.（本小題滿分 12 分） 【答案】 （）詳見解析； （） 【解析】 試題分析： （）證AC/EF，再證DH OH，最后證DH 平面ABCD； （）用向 量法求解. 試題解析：（I）由已知得

17、 AC BD，ADCD，又由AE CF得 2 95 . 25 AECF ，故 ADCD AC/EF. 因此EF HD，從而EF DH.由AB5,AC 6得DO B0 由EF/AC得 AB2 AO2 4. OHAE1 .所以OH 1，DH DH 3. DOAD4 2 于是DH2OH 2 321210 DO ， 故DH OH. 又D H EF，而OH EF H， 所以DH 平面ABCD. z z DD A A E E O O H H C C F F x x D D y y B B （II） 如圖， 以H為坐標原點，HF的方向為x軸的正方向， 建立空間直角坐標系H xyz， 則H 0,0,0，A3,

18、1,0，B0,5,0，C3,1,0，D0,0,3， AB (3,4,0)， AC 6,0,0，AD3,1,3. 設m x 1, y1,z1 是 平 面 ABD 的 法 向 量 ， 則 3x 1 4y 1 0 mAB 0 ，即，所以可以取m 4,3,5.設n x 2 , y 2 ,z 2 是平面 3x 1 y 1 3z 1 0 mAD 0 6x 2 0 nAC 0 ，即，所以可以取n 0,3,1.于是ACD的法向量，則 3x2 y 2 3z 2 0 nAD 0 cos m,n mn m n 147 52 95 ，sin m,n . 因 此 二 面 角 252550 10 2 95 . 25 B

19、D A 的正弦值是C 考點：線面垂直的判定、二面角. 【結束】 20.（本小題滿分 12 分） 【答案】 （） 【解析】 試題分析： （）先求直線AM的方程，再求點M的縱坐標，最后求AMN的面積； （） 設M x 1,y1 ， ，將直線AM 的方程與橢圓方程組成方程組，消去y，用k表示x1，從而表 示| AM |，同理用k表示| AN |，再由2 AM AN求k. 144 ； （） 49 32, 2 . x2y2 1， 試題解析： （I）設M x 1,y1 ，則由題意知 y 1 0，當t 4時，E的方程為 43 A2,0. 由已知及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為 .因此直線AM的方程為y

20、x 2. 4 x2y21212 1得7y212y 0.解得y 0或y ，所以y1.將x y 2代入 4377 因此AMN的面積S AMN 2 11212144 . 27749 （II）由題意t 3，k 0，A t,0. 將直 2 線 2 AM的方程y k(x t)代入 x2y2 1 t3 得 3tk x 2 t tk 2xt2k23t 0. t 3tk2 t2k23t 由x 1 t 得x 1 ，故AM x 1 t 223tk 3tk 1k2 6 t2k2 3tk2 . 6k t1k2 1 由題設，直線AN的方程為y ，xt，故同理可得AN 3k2tk 2k 由2 AM AN得，即k32t 3k

21、2k 1. 223tk3k t 當k 32時上式不成立， 2 3k2k 1k33k2k 2 k 2k 1 因此t .t 3等價于 0， 33k32k 2k 2 k 2 0 k 2 0 k 2 即 3 ，或 3 ，解得 32 k 2. 0.由此得 3k 2 k 20k 2 0 因此k的取值范圍是32, 2. 考點：橢圓的性質，直線與橢圓的位置關系. 【結束】 （21） （本小題滿分 12 分） 1 e2 【答案】 （）詳見解析； （）( , . 2 4 【解析】 試題分析： （）先求定義域， 用導數(shù)法求函數(shù)的單調性， 當x(0,)時，f (x) f (0)證 ex0 明結論； （）用導數(shù)法求函數(shù)

22、g(x)的最值，在構造新函數(shù)h(a) ，又用導數(shù)法求 x 0 2 解. 試題解析： （）f (x)的定義域為(,2)(2,). (x1)(x2)ex(x2)exx2ex f (x) 0, 22(x2)(x2) 且僅當x 0時，f (x) 0，所以f (x)在(,2),(2,)單調遞增， 因此當x(0,)時，f (x) f (0) 1, 所以(x2)e (x2),( x2)e x2 0 xx (x2)exa(x2)x2 2 ( f (x)a), （II）g(x) x3x 由（I）知，f (x) a單調遞增，對任意a0,1), f (0) a a 1 0, f (2) a a 0, 因此，存在唯一

23、x0(0,2,使得f (x0)a 0,即g (x0) 0， 當0 x x0時，f (x) a 0,g (x) 0,g(x)單調遞減； 當x x0時，f (x) a 0,g (x) 0,g(x)單調遞增. 因此g(x)在x x0處取得最小值，最小值為 ex0a(x 0 1)ex0+f (x 0 )(x 0 1)ex0 g(x 0 ) . 22x 0 x 0 x 0 2 ex(x1)exexex0 ) 0, 于是h(a) ，由(單調遞增 2x2(x2)x2 x 0 2 1e0ex0e2e2 所以，由x0(0,2,得 h(a) . 202x 0 2224 1 e2ex 因為單調遞增，對任意( , ,

24、存在唯一的x 0 (0,2,a f (x 0 )0,1), 24x2 1 e2 使得h(a) ,所以h(a)的值域是( , , 24 1 e2 綜上，當a0,1)時，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是( , . 2 4 考點： 函數(shù)的單調性、極值與最值. 【結束】 請考生在請考生在 2222、2323、2424 題中任選一題作答題中任選一題作答, ,如果多做如果多做, ,則按所做的第一題計分則按所做的第一題計分, ,做答時請寫清做答時請寫清 題號題號 （22） （本小題滿分 10 分）選修選修 4-14-1：幾何證明選講：幾何證明選講 【答案】 （）詳見解析； （） 【解析】 試 題

25、分 析 ： （ ） 證DGF CBF,再 證B, C, G, F四 點 共 圓 ； （ ） 證 明 1 . 2 RtBCGRtBFG,四邊形BCGF的面積S是GCB面積S GCB 的 2 倍. 試題解析： （I）因為DF EC,所以DEF CDF, 則有GDF DEF FCB, DFDEDG , CFCDCB 所以DGF CBF,由此可得DGF CBF, 因此CGF CBF 180 ,所以B,C,G,F四點共圓. （II）由B,C,G,F四點共圓，CGCB知FG FB，連結GB， 由G為RtDFC斜邊CD的中點，知GF GC,故RtBCGRtBFG, 因此四邊形BCGF的面積S是GCB面積SGCB的 2 倍，即 0 111 S 2S GCB 21. 222 考點： 三角形相似、全等，四點共圓 【結束】 （23） （本小題滿分 10