新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修1知識點總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)必修高中數(shù)學(xué)必修 1 1 知識點總結(jié)知識點總結(jié) 第一章第一章集合與函數(shù)概念集合與函數(shù)概念 【1.1.11.1.1】集合的含義與表示】集合的含義與表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有確定性、互異性和無序性. （2）常用數(shù)集及其記法 N 表示自然數(shù)集，N 或 N 表示正整數(shù)集， Z 表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集. （3）集合與元素間的關(guān)系 對象a與集合M的關(guān)系是aM，或者aM，兩者必居其一. （4）集合的表示法 自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾? 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合. 描述法：x|x具有的性質(zhì)，其中x為集合的代表元素. 圖示法：用

2、數(shù)軸或韋恩圖來表示集合. （5）集合的分類 含有有限個元素的集合叫做有限集.含有無限個元素的集合叫做無限集.不含有任何元素的集合叫做空集(). 【1.1.21.1.2】集合間的基本關(guān)系】集合間的基本關(guān)系 （6）子集、真子集、集合相等 名稱記號意義 (1)AA A 中的任一元素都屬 于 B (2) 性質(zhì)示意圖 A B 子集 （或 B A) AB A (3)若A B且B C，則AC (4)若A B且B A，則A B （1） A（A 為非空子集） A(B)A(B) B BA A 或 真子集 （或 BA） A B，且 B 中至 少有一元素不屬于 A B BA A (2)若AB且BC，則 AC 集合 相

3、等 A 中的任一元素都屬 A B 于 B， B 中的任一元素 都屬于 A (1)AB (2)BA A(B)A(B) （7）已知集合 真子集. A 有n(n 1)個元素，則它有2n個子集，它有2n 1個真子集，它有2n1個非空子集，它有2n2非空 【1.1.31.1.3】集合的基本運算】集合的基本運算 （8）交集、并集、補(bǔ)集 名稱記號意義性質(zhì)示意圖 交集 AI B x| x A,且 xB x| x A,或 xB 并集 AUB AI A A （2）AI （3）AI B A AI B B （1）AUA A （2）AU A （3）AUB A AUB B （1） 1AI (2AU( U A) U U A

4、) A AB B A A B B 補(bǔ)集 UA x| xU,且x A 痧 U (AI B) ( U A)U(? U B) 痧 U (AUB) ( U A)I (? U B) 【補(bǔ)充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法【補(bǔ)充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法 （1）含絕對值的不等式的解法 不等式解集 | x| a(a 0)x| a x a | x| a(a 0) 把 x| x a 或x a axb 看 成 一 個 整 體 ， 化 成 | x| a ， |ax b| c,| ax b| c(c 0) | x| a(a 0)型不等式來求解 （2）一元二次不等式的解法 判別式 b24a

5、c 二次函數(shù) 0 0 0 y ax2bxc(a 0) 的圖象 O O 一元二次方程 ax2bxc 0(a 0) 的根 bb24ac x 1,2 2a （其中x1 x 1 x 2 b 2a 無實根 x 2 ) x|x ax2bxc 0(a 0) 的解集 x| x x 1 或x x2 b 2a R ax2bxc 0(a 0) 的解集 x| x 1 x x 2 1.21.2函數(shù)及其表示函數(shù)及其表示 【1.2.11.2.1】函數(shù)的概念】函數(shù)的概念 （1）函數(shù)的概念 設(shè) 的數(shù) 記作 A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則f ，對于集合A中任何一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定 ）叫做集合 f (x)

6、和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合A，B 以及A到B的對應(yīng)法則 f f : A B A到B 的一個函數(shù)， 函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則 只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù) （2）區(qū)間的概念及表示法 設(shè)a,b是兩個實數(shù)，且a b，滿足a x b的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做a,b；滿足a x b的實數(shù) x 的集合叫做開區(qū)間，記做 (a,b)；滿足a x b，或a x b 的實數(shù) x 的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做 a,b)，(a,b；滿足x a,x a,x b,x b的實數(shù)x的集合分別記做a,),(a,),(,b,(,b) 注意：注意：對于集合x|a x b與區(qū)間(

7、a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必須 a b （3）求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則： f (x)是整式時，定義域是全體實數(shù) f (x)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù) f (x)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實數(shù)的集合 對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于 1 y tan x 中，x k 2 (k Z) 零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零 若 f (x)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集 對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知 等式a f (x)的定義域為a,

8、b，其復(fù)合函數(shù)fg(x)的定義域應(yīng)由不 g(x) b 解出 對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進(jìn)行分類討論 由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義 （4）求函數(shù)的值域或最值 求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最?。ù螅?shù)，這 個數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲狄虼饲蠛瘮?shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同求函數(shù)值域與最值 的常用方法： 觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值 配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函

9、數(shù)的值域或最值配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值 判別式法：若函數(shù)y f (x)可以化成一個系數(shù)含有 y 的關(guān)于x的二次方程a(y)x2 b(y)xc(y) 0 ，則在 a(y) 0時，由于x, y為實數(shù)，故必須有 b2(y)4a(y)c(y) 0，從而確定函數(shù)的值域或最值 不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值 換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問 題 反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值 數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方

10、法確定函數(shù)的值域或最值 函數(shù)的單調(diào)性法 【1.2.21.2.2】函數(shù)的表示法】函數(shù)的表示法 （5）函數(shù)的表示方法 表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種 解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系圖 象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系 （6）映射的概念 設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則 f ，對于集合A中任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它 ）叫做集合A到B的映射，記作 f : A B 對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合 給定一個集合 A，B 以及A到B的對應(yīng)法則 f A到集合B 的映射，且a A,bB如果元

11、素a和元素b對應(yīng)，那么我們把元素b叫做元素a的 象，元素a叫做元素b的原象 1.31.3函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的基本性質(zhì) 【1.3.11.3.1】單調(diào)性與最大（?。┲怠繂握{(diào)性與最大（?。┲?（1）函數(shù)的單調(diào)性 定義及判定方法 函數(shù)的 性 質(zhì) 定義圖象判定方法 如果對于屬于定義域 I 內(nèi)某 個區(qū)間上的任意兩個自變量 的值 x 1、x2,當(dāng) x x x x 時，都 1 12 2 有 f(xf(x )f(x)f(x ) )，那么就說 1 12 2 f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)增函數(shù) 函數(shù)的 單調(diào)性 如果對于屬于定義域 I 內(nèi)某 個區(qū)間上的任意兩個自變量 的值 x 1、x2，當(dāng) x x f(x ) )，那

12、么就說 1 12 2 f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)減函數(shù) （1）利用定義 y y y=f(X)y=f(X) f(x )f(x ) 1 （2）利用已知函數(shù)的 f(x )f(x ) 2 單調(diào)性 （3） 利用函數(shù)圖象 （在 某個區(qū)間圖 o o x x 1 x x 2 x x 象上升為增） （4）利用復(fù)合函數(shù) （1）利用定義 y y f(x )f(x ) 1 y=f(X)y=f(X) f(x )f(x ) 2 （2）利用已知函數(shù)的 單調(diào)性 （3） 利用函數(shù)圖象 （在 某個區(qū)間圖 x x 2 o o x x 1 x x 象下降為減） （4）利用復(fù)合函數(shù) 在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)

13、的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù) 減去一個增函數(shù)為減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù) 對于復(fù)合函數(shù)對于復(fù)合函數(shù) y fg(x)，令 ，令u g(x)，若，若 y f (u) 為增，為增，u g(x)為增，則為增，則 y fg(x)為增；若 為增；若 y f (u)為減， 為減，u g(x)為減，為減，則則y fg(x)為增；為增；若若y f (u)為增，為增，u g(x)為減，為減，則則y fg(x)為為 減；若減；若y f (u)為減，為減，u g(x)為增，則為增，則y fg(x

14、)為減為減 y y （2）打“”函數(shù) a f (x) x(a 0)的圖象與性質(zhì) x f (x)分別在(, a、 a,)上為增函數(shù)， 分別在 a,0) 、(0, a上為減函數(shù) （3）最大（小）值定義 一般地，設(shè)函數(shù)y f (x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足： （1）對于任意的xI，都有 o ox x f (x) M ； （2）存在x0I，使得 記作 f (x 0 ) M 那么，我們稱M是函數(shù) f (x) 的最大值， f max (x) M ，如果存在實數(shù)m滿足： （1）對于任意的xI，都有（2） f (x) m； 一般地，設(shè)函數(shù)y f (x)的定義域為I 存在x0I，使得 f (x 0 )

15、m 那么，我們稱m是函數(shù) f (x)的最小值，記作f max (x) m 【1.3.21.3.2】奇偶性】奇偶性 （4）函數(shù)的奇偶性 定義及判定方法 函數(shù)的 性 質(zhì) 定義圖象判定方法 如果對于函數(shù) f(x)定義域內(nèi) 任意一個 x，都有 f( f(x)=x)= f(x)f(x),那么函數(shù) f(x)叫做奇函奇函 數(shù)數(shù) 函數(shù)的 奇偶性如果對于函數(shù) f(x)定義域內(nèi) 任意一個x， 都有f( f(x)=x)=f(x)f(x), 那么函數(shù) f(x)叫做偶函數(shù)偶函數(shù) （1）利用定義（要先 判斷定義域是否關(guān)于 原點對稱） （2）利用圖象（圖象 關(guān)于原點對稱） （1）利用定義（要先 判斷定義域是否關(guān)于 原點對稱

16、） （2）利用圖象（圖象 關(guān)于 y 軸對稱） 若函數(shù) f (x)為奇函數(shù)，且在x 0處有定義，則f (0) 0 奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反 在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或 商）是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù) 補(bǔ)充知識函數(shù)的圖象補(bǔ)充知識函數(shù)的圖象 （1）作圖 利用描點法作圖： 確定函數(shù)的定義域；化解函數(shù)解析式； 討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性） ；畫出函數(shù)的圖象 利用基本函數(shù)圖象的變換作圖： 要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函

17、數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象 平移變換 h0,左移h個單位k0,上移k個單位 y f (x) y f (x h) y f (x) y f (x) k h0,右移|h|個單位k0,下移|k|個單位 伸縮變換 01,伸 y f (x) y f (x) 1,縮 0A1,縮 y f (x) y Af (x) A1,伸 對稱變換 y軸x軸 y f (x)y f (x) y f (x)y f (x) 直線yx原點 y f (x) y f (x)y f (x) y f1(x) 去掉y軸左邊圖象 y f (x) y f (| x|) 保留y軸右邊圖象，并作其關(guān)于y軸對稱圖象 保留x軸上方圖象

18、y f (x) y | f (x)| 將x軸下方圖象翻折上去 （2）識圖 對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、 對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、 奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系 （3）用圖 函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的 重要工具要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法 第二章第二章基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)( () ) 2.12.1指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 【2.1.12.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運算】指數(shù)與指數(shù)冪的運算 （1）根式的概念 如果x n n a,aR,xR,n 1，且n N ，那么

19、x叫做a的n次方根當(dāng)n是奇數(shù)時，a的n次方根用 符號 a 表示；當(dāng)n是偶數(shù)時，正數(shù)a的正的n次方根用符號 na 表示，負(fù)的n次方根用符號 na 表示；0 的n次方 根是 0；負(fù)數(shù)a沒有n次方根 式子 na 叫做被開方數(shù) a 為任意實數(shù)； a 叫做根式， 這里n叫做根指數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時，當(dāng)n為偶數(shù)時，a 0 n 根式的性質(zhì)：( （2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念 a (a 0) a)n a；當(dāng)n為奇數(shù)時，nan a；當(dāng)n為偶數(shù)時， nan|a| a (a 0) m n 正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a nam(a 0,m,nN , 且n 1)0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0 正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a m n

20、1 m 1 ( )n n ( )m(a 0,m,nN ,且n 1) 0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒 aa 有意義注意口訣：注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù) （3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì) ar as ars(a 0,r,sR) (ar)s ars(a 0,r,sR) r (ab) arbr(a 0,b 0,rR) 【2.1.22.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) （4）指數(shù)函數(shù) 函數(shù)名稱 定義函數(shù) 指數(shù)函數(shù) y ax(a 0 且a 1)叫做指數(shù)函數(shù) a 10 a 1 x x y y 圖象 y y a a (0,1)(0,1) y y a ax x y y y y 1 1y y 1 1 (0,1)

21、(0,1) O O 定義域 值域 x x R (0,) O O x x 過定點 奇偶性 單調(diào)性 圖象過定點(0,1)，即當(dāng)x 0時，y 1 在R上是減函數(shù) 非奇非偶 在R上是增函數(shù) ax1 (x 0) 函數(shù)值的 變化情況 ax1 (x 0) ax1 (x 0) ax1 (x 0) ax1 (x 0) ax1 (x 0) a 變化對 圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低 2.22.2對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù) 【2.2.12.2.1】對數(shù)與對數(shù)運算】對數(shù)與對數(shù)運算 （1）對數(shù)的定義 若ax N(a 0,且a 1)，則x 叫做以a為底N的對數(shù)，記作x loga N ，其中a叫

22、做底數(shù)，N叫做真數(shù) 負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù) 對數(shù)式與指數(shù)式的互化：x （2）幾個重要的對數(shù)恒等式 log a N ax N(a 0,a 1,N 0) log a 1 0，log a a 1，log a ab b （3）常用對數(shù)與自然對數(shù) 常用對數(shù)：lgN，即log10 （4）對數(shù)的運算性質(zhì)如果a 加法：loga N ；自然對數(shù)：lnN，即log e N （其中e 2.71828） 0,a 1,M 0,N 0，那么 M log a N log a (MN) 減法：loga M log a N log a M log a Mn(nR) alogaN N M N 數(shù)乘：nlog a log ab Mn l

23、og b Nn (b 0,且b 1)log a M(b 0,nR) 換底公式：loga N log b ab 【2.2.22.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) （5）對數(shù)函數(shù) 函數(shù) 名稱 定義 圖象 函數(shù) 對數(shù)函數(shù) y log a x(a 0 且a 1)叫做對數(shù)函數(shù) a 10 a 1 y y x x 1 1 y y loglog a a x x y y x x 1 1 y y loglog a a x x (1,0)(1,0) O O(1,0)(1,0)x xO Ox x 定義域 值域 過定點 奇偶性 單調(diào)性在(0,)上是增函數(shù) (0,) R 圖象過定點(1,0)，即當(dāng)x 1時， 非

24、奇非偶 在(0,)上是減函數(shù) y 0 log a x 0 (x 1) 函數(shù)值的 變化情況 log a x 0 (x 1) log a x 0 (x 1) log a x 0 (0 x 1) log a x 0 (x 1) log a x 0 (0 x 1) a 變化對 圖象的影響 (6)反函數(shù)的概念 設(shè)函數(shù) 在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高 y f (x)的定義域為A，值域為C，從式子y f (x) 中解出 x ，得式子x (y)如果對于y在C (y) ，x在A中都有唯一確定的值和它對應(yīng)， 那么式子x (y)表示x是y的函數(shù)，中的任何一個值， 通過式子x 函數(shù)x

25、(y) 叫做函數(shù)y f (x)的反函數(shù)，記作x f 1(y) ，習(xí)慣上改寫成 y f1(x) （7）反函數(shù)的求法 確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式 將x y f (x)中反解出x f 1(y) ； f1(y) 改寫成 y f1(x) ，并注明反函數(shù)的定義域 （8）反函數(shù)的性質(zhì) 原函數(shù) 函數(shù) y f (x)與反函數(shù)y f 1(x) 的圖象關(guān)于直線y x對稱 y f (x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)y f 1(x) 的值域、定義域 y f (x) 的圖象上，則P(b,a)在反函數(shù) y f1(x) 的圖象上若P(a,b)在原函數(shù) 一般地，函數(shù)y f (x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)

26、 2.32.3冪函數(shù)冪函數(shù) （1）冪函數(shù)的定義 一般地，函數(shù)y x叫做冪函數(shù)，其中x為自變量，是常數(shù) （2）冪函數(shù)的圖象 （3）冪函數(shù)的性質(zhì) 圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖象 關(guān)于y軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限 過定點：所有的冪函數(shù)在(0,)都有定義，并且圖象都通過點(1,1) 單調(diào)性：如果 0 ，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在0,)上為增函數(shù)如果 0，則冪函數(shù)的圖象在(0,) y 軸 q p 上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與 奇偶性：

27、當(dāng)為奇數(shù)時， 冪函數(shù)為奇函數(shù)， 當(dāng)為偶數(shù)時， 冪函數(shù)為偶函數(shù) 當(dāng) q p q （其中 p,q互質(zhì)，p 和qZ） ， p 是偶函數(shù)，若若 則 p 為奇數(shù)q為奇數(shù)時，則y x是奇函數(shù)，若 p 為奇數(shù)q為偶數(shù)時，則y x p 為偶數(shù)q為奇數(shù)時， y x q p 是非奇非偶函數(shù) 圖象特征：冪函數(shù) 在直線 y x,x(0,) ，當(dāng) 1時，若0 x 1，其圖象在直線y x 下方，若 x 1，其圖象 y x上方，當(dāng)1時，若0 x 1，其圖象在直線y x上方，若x 1，其圖象在直線y x下方 補(bǔ)充知識二次函數(shù)補(bǔ)充知識二次函數(shù) （1）二次函數(shù)解析式的三種形式 一般式： f (x) ax2bxc(a 0) 頂點式

28、： f (x) a(xh)2k(a 0)兩根式： f (x) a(x x 1)(x x2 )(a 0) （2）求二次函數(shù)解析式的方法 已知三個點坐標(biāo)時，宜用一般式 已知拋物線的頂點坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大（小）值有關(guān)時，常使用頂點式 若已知拋物線與 x 軸有兩個交點，且橫線坐標(biāo)已知時，選用兩根式求 （3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì) 二次函數(shù) f (x)更方便 f (x) ax2bxc(a 0)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為x b , 頂點坐標(biāo)是 2a b4acb2 (,) 2a4a 當(dāng)a 0時，拋物線開口向上，函數(shù)在(, bbb 上遞減，在,) 上遞增，當(dāng)x 2a2a2a 時， 4acb2 f m

29、in (x) 4a 時， ； 當(dāng)a 0時， 拋物線開口向下， 函數(shù)在(, bbb 在當(dāng)x 上遞增，,) 上遞減， 2a2a2a 4acb2 f max (x) 4a 二次函數(shù) f (x) ax2bxc(a 0)當(dāng) b24ac 0時，圖象與x 軸有兩個交點 M 1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2 |x 1 x 2 | （4）一元二次方程ax2 |a| bxc 0(a 0) 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整， 且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系

30、統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布 設(shè)一元二次方程ax2 bxc 0(a 0) 的兩實根為x1,x2，且x1 x 2 令 f (x) ax2bxc ，從以下四個方 面來分析此類問題：開口方向：a對稱軸位置：x kx 1x2 y b 判別式：端點函數(shù)值符號 2a b 2a x2 y f (k) 0 a 0 x k x1 O x2 x k x1 O x b x 2a x 1x2k f (k) 0 a 0 y a 0 f (k) 0 y x O b 2a x1 Ox2 k xx1 a 0 x2 k x x b 2a f (k) 0 x 1kx2 af(k)0 y a 0 y f (k) 0 x1 Ok

31、 x2 xx1O k x2 a 0 x f (k) 0 k 1x1x2k2 y f (k1) 0 a 0 y x f (k 2 ) 0 x2 k2 b 2a O k1 x1 xO k1 x1 x2 k2 x x b 2a f (k1) 0 a 0 f (k2) 0 有且僅有一個根 x 1（或 x2）滿足k1x1（或 x2）k2 f(k 1)f(k2) 0，并同時考慮f(k 1)=0 或 f(k2)=0 這兩 種情況是否也符合 y f (k1) 0 a 0 y f (k1) 0 Ok1 x1 k 2 x2 xO x1 k1 x2 k 2 x f (k 2 ) 0 a 0 f (k 2 ) 0 k 1x1k2p1x2p2 此結(jié)論可直接由推出 （5）二次函數(shù) f (x) ax2bxc(a 0) 在閉區(qū)間p,q上的最值 設(shè) f (x)在區(qū)間p,q上